连线导角构全等——2024年北京中考数学第27题

连线导角构全等

2024年北京中考数学第27题

在人教版数学八年级上册第12章全等三角形中，教材在给出全等三角形概念的同时，即给出了未来我们可能遇见的各类全等三角形基本图形，如下图：

我们在初中阶段接触到的全等三角形，其位置关系基本就是由这三种基本图形变化而来，因此识图也是平时教学中要重点强调的部分。

在2024年北京中考数学第27题中，巧妙构造全等则成为了解题成功的关键，方法很多，我们遵循学生常见思维，走寻常路，找破解之道。

题目

已知∠MAN=α(0° <α<45°)，点b，c分别在射线an，am上，将线段bc绕点b顺时针旋转180°-2α得到线段bd，过点d作an的垂线交射线am于点e.<>

(1)如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；

(2)如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明.

解析：

01

(1)连接CD，如下图：

由旋转可得等腰△BCD，而且其顶角∠CBD=180°-2α，可得其底角∠CDB=α，于是∠A=∠CDB=α，则AC=DC，同时由于DE⊥AN，故∠AED=90°-α，∠CDE=90°-α，于是∠CDE=∠AED，则DC=EC，所以AC=-EC，即点C是AE的中点；

02

(2)仍然由旋转出发，我们要比较AC与EF的数量关系，可将AC所在△ABC也绕点B旋转180°-2α，如下图：

这样我们很容易证明△ABC≌△GBD，经典的手拉手模型，于是AC被转移到GD处，接下来我们需要研究GD与EF的数量关系，由于EF是Rt△DEF的斜边，在前一问中，我们用到了斜边上中线等于斜边的一半，于是猜想会不会GD等于其斜边的一半？

取EF中点H，连接DH，如下图：

DH是斜边上的中线，于是可得等腰△DFH，由DF∥AN求出∠DFH=α，于是∠DHG=2α；

由前面构造的全等三角形可得∠A=∠BGD=α，而BA=BG得∠A=∠AGB=α，于是∠DGH=2α，从而∠DHG=∠DGH，所以GD=DH，最后得到EF=2DH=2GD=2AC；

其它解法：

(一)既然猜想EF=2AC，不妨先取EF中点H，连接DH，但我们无法证明△ABC与△HBD全等，事实上它们也并不全等，这就需要我们另辟蹊径了，过点H作HG⊥DF，过点C作CT⊥AB，取CD中点R，连接GR，TR，如下图：

强调：G，R，T三点是否共线需要证明！

由等腰△DHF可知G为DF中点，同时R是CD中点，于是GR是△CDF中位线，得GR∥AE；

由∠BTC=90°，∠BRC=90°，可知B，R，C，T四点共圆，于是∠BTR=∠BCR，而在等腰△BCD中，其底角∠BCR=α，于是∠A=∠BCR=α，可得TR∥AE，结合前面的GR∥AE，可证G，R，T共线；

接下来就很轻松了，易得平行四边形ATGF，易证△ACT≌△FHG，于是同样可得AC=FH，最后EF=2AC；

(二)先取EF中点H，然后将△BDH绕点B逆时针旋转180°-2α，如下图：

此法略超标，慎用！

由∠BAC=α，且∠BH'H=α，得四点共圆，于是∠BAH'=∠BHH'=α，即∠CAH'=2α；

令∠CDE=β，则∠BDH=2α+β，所以∠BCH'=2α+β，又∠BCD=α，∠DCF=∠DFH-β=α-β，所以∠H'CF=2α+β+α+α-β=4α，最后求得∠AH‘C=4α-2α=2α，故△ACH'是等腰三角形，同样可得EF=2AC；

(三)将△ABC旋转至△BDG后，以G为圆心，GD为半径构圆，交AM于H，L两点，如下图：

具体证明不再赘述，类似的解法还有更多，有兴趣的老师们可以尝试探究一下.

解题反思

2024年北京中考数学第27题，是一道十分优秀的几何综合题，对学生构图能力要求较高，全等三角形是其中的关键结论，不同的构造得不同的思路，条条大道通罗马。

此类探究两条线段长度的数量关系的问题，对作图也有一定要求，本题的辅助线是如何想到的，需要学生扎实的功底，引子便是线段BC绕点B顺时针旋转180°-2α，所以构造手拉手模型是最容易想到的，在此基础上，如何有效利用好构造出的全等三角形，便是区分真假学霸的条件了，第2问的小坑在于，若直接取EF中点，则得到的三角形并不是旋转过后的图形，而旋转△ABC后，得到的点G未必是EF中点，只有正确将旋转后的G点，和EF中点都画出来，才能发现其中的端详。

这对平时教学中，学生作图也提出了更精确的要求，虽然我们都是作草图，仅仅只是不需要尺规作图那么正规，然而刻度尺、三角尺等工具，还是尽可能用好，切忌徒手作图，相当多的伪证，其源头便是不准确作图。