量子模拟中的“北极星”——中国“天元”量子模拟器率先取得量子计算第二阶段重大进展

作者 | 林梅

编辑 | 白泽

特别感谢姚星灿教授、邵厚记博士的修改

编者按：中国科学技术大学潘建伟、陈宇翱、姚星灿、邓友金等人成功构建了求解费米子哈伯德模型的超冷原子量子模拟器“天元”，以超越经典计算机的模拟能力首次验证了该体系中的反铁磁相变，朝向获得费米子哈伯德模型的低温相图、理解量子磁性在高温超导机理中的作用迈出了重要的第一步。

为何命名为天元？根据中国科学技术大学科技史专家石云里教授提供的资料，“天元”，是宋元时期发展起来的来符号代数，将未知数设为“天元一”，用算筹列出矩阵式方程，通过运算求解，得出结果。这套方法当时在世界上也是领先的，叫做“天元术”。此外，天元也是围棋棋盘正中央的星位被称为天元，象征着众星烘托的“北极星”。命名为天元代表着科学家对它未来能够解决更多专用科学问题的希望。

吸铁石为什么能吸铁？——每个人孩提时应该都曾认真思考过这个问题。磁铁在生活中是一种很常见的存在，然而关于产生磁性最根本的原理，科学家至今无法详尽描述。

理论上，量子磁性来源于电子自旋相互作用，但是固体中的电子为何表现出这样的性质，又是如何形成这种状态的？进入微观、多体的世界，各种粒子的多种互动，给理论物理学家和实验物理学家都提出了大难题。这样的难题，经典方法解起来属实为难。

近日，量子模拟显示出了惊人的能力——利用量子模拟，科学家实现了半满*和偏离半满状态下的反铁磁相变，而反铁磁态的相变是哈伯德模型低温下最可信的理论预言，这种模拟平台的成功构建，第一次显示出量子模拟在解决经典计算无法解决的具有重要、实际价值的科学问题的能力，而且为今后进一步获得费米子哈伯德模型的低温相图，理解量子磁性在高温超导机理中的作用奠定了基础。

还原论：见一思百VS.微观世界：

More is different

量子力学发展早期，狄拉克、薛定谔等物理学家们发展出的理论框架，已经可以帮助我们理解微观世界的规律，也可以解决量子世界一些多粒子的问题。而在处理固体中的电子问题时，科学家利用了一些假设和近似，把电子与电子之间、电子与原子之间的相互作用都仅仅看作是”背景板“，而每个电子都是在某种”背景“中运动，比如现在仍在量化计算里被广泛使用的Hartree-Fock理论，就是这样，使用平均场方法，假设单电子是在某种平均场中运动。

人们当时乐观的认为，既然单电子的行为可以预测和计算，那多电子的行为就是把数量加多一点，解方程更精确些、关于“背景板”的假设更精准等。

这就是还原论的思路——知道了单独一棵树的生长规律，这个森林的长势总会弄清楚的。然而很快人们意识到他们过于乐观了——高温超导、反铁磁、莫特绝缘体等现象都不能用还原论去解决。

因此，1972年，凝聚态物理专家菲利普·安德森提出了著名的“More is different（多即不同）”思想。他指出，知道了少体世界的规律，并不能指导多体世界，单个粒子的规律并不能推导出整个宇宙，就像单独一个人是怎么维持生活的，并不代表整个人类社会会以同样的形式构成。当单体扩展成多体，我们需要新的物理。

化难为简——

从费米子·哈伯德模型到量子模拟

了解了多体的独特性，我们再回头看磁性问题具体难在哪里。

开头提到，量子磁性与体系中电子的自旋排布有关。但是，当电子自由度多、电子与电子之间的相互作用很强的时候，就不能将其看作“背景板”。这种体系被称为“强关联电子体系”。在这个体系中，电子与电子之间的关联强到可以和电子的动能相比差不多、甚至更高。

这个强关联体系是非常重要的，因为在这个体系里涌现出很多新奇的物理现象，比如高温超导，量子相变等。因此许多科学家致力于研究如何来描述这个体系，其中最重要的模型之一，就是费米子-哈伯德模型（Fermionic Hubbard Model，简称FHM）。

1963年J. Hubbard提出这个描述固体中关联电子性质的理论模型时，它还只叫哈伯德模型。后来我们将其用于研究凝聚态体系里的电子时，为了区别于研究玻色子的哈伯德模型，专门称呼它为费米子-哈伯德模型。

这个模型，说简单也简单，说难也实在难。

说它简单，是因为它的哈密顿量的结构简单，只包括两项，分别描述电子的两种行为：一项是势能项——描述的是电子与电子之间的相互作用，也就是库仑排斥作用，这是一种势能，你可以想象是每个电子和周围电子的“对话”；另一项是动能项——描述的是电子在晶格之间跳来跳去的隧穿行为，你可以理解这一项描述的是每个电子自己有多能蹦跶。可以想象，能将很多个电子在晶格之间碰撞、跳跃的复杂行为，抽象成两种行为的组合，对于物理学家来说，是十分有吸引力的。

但是真的用这个模型来做计算，就会发现，它又非常困难。

首先，这个模型在一维和无穷维之外的情况下没有解析解。于是，人们几十年来一直尝试数值解法。

但是对于实际的费米子系统，数值解也是困难重重——如果严格采取数值解，只能求解很小的系统，因为根据泡利不相容原理，每个格点可能存在4个状态——没有电子、有一个向上自旋的电子、有一个向下自旋的电子、有自旋向上、向下两个电子。而在量子的世界，这四种情况会是叠加存在的，运算量随规模指数上升，所以，系统规模稍微大一点，就不是经典算法可以暴力拿下的了；而如果用一些近似的方法，比如蒙特卡洛，去数值求解呢，又不适合费米子，因为费米子是交换反对称的，在低温下，这个“负号”的问题会导致结果不收敛。

之所以这些经典的方法都搞不定，根本原因在于这是一个复杂的量子体系。针对这样的问题，理查德·费曼早就指出了路径——利用人造的精确可控的量子系统来模拟其他复杂的量子系统。

所以，对于费米子哈伯德模型的模拟，人类又祭出了另一大法宝——量子模拟：科学家“造”一些可控、纯净的体系，来“模仿”费米子哈伯德模型所描述的的多体电子运动行为。

这种“模仿”就好像风洞——为了测试飞机在各种气流中的飞行情况，不必冒险让飞机上天，可以人工构建管道、控制各种气流，让飞机感受到实际飞行中的气流效果。

光晶格中的超冷原子就是一个非常好的平台。因为它系统纯净，原子间相互作用强度、隧穿速率及掺杂浓度可精确调控。大致的思路，就是把原子冷却到很低的温度（大约nK量级），装进由三束正交的周期性驻波场构成的三维光晶格系统中，就好像电子在晶体格点中运动一样。

20世纪末期和21世纪初，科学家分别实现了把玻色子和费米子装进光晶格的开创性工作，并且在21世纪初分别用光晶格超冷原子模拟出了玻色子和费米子哈伯德模型。大家于是知道了，将原子放在光晶格中，是可以模拟凝聚态物理中的相变行为的。

世界上最难的事——

进入经典算不动的区间

这些进展固然让人激动，但其实还没超出经典方法的算力范围，不过也充分证明了量子模拟这条路可行。正当科学家们摩拳擦掌准备大干一场的时候，现实给他们浇了盆热水。为啥是热水？因为在实验室里，要降到奈尔温度（反铁磁体的临界温度）以下实在太难了。

为了研究量子磁性，真正进入重要的参数区间，我们需要做到两点：1.让自旋起主导作用，可以想象，在温度很高的时候，电子们过于兴奋、横冲直撞，可以自由流动，体系就是一个金属，自旋是什么状态，根本看不清；只有当温度很低的时候，电子不太乱动了，自旋相互作用才得以显现。于是需要极低温将电子们的运动速度降到奈尔温度以下，才能看清它们的自旋状态。而量子体系极为复杂，有各种参数，在这样的情况下降温，难度系数指数级上升。2.制备又大又均匀的光晶格体系，也就是说，要具有平移不变性。而满足这两个条件的体系实验上非常难实现，科学家此前最多只能制备几十个原子的均匀小体系。所以低温下的很多强关联现象，一直是人类认知的盲区。

今天介绍的工作就是一个重大转机——来自中国科学技术大学的潘建伟、陈宇翱、姚星灿、邓友金等人创造性地将盒型光势阱和平顶光晶格技术相结合，实现了空间均匀的费米子哈伯德体系的绝热制备。该体系包含大约80万个格点，比目前主流实验的几十个格点规模提高了约4个数量级，且体系具有一致的哈密顿量参数，温度显著低于奈尔温度。在此基础上，研究团队通过精确调控相互作用强度、温度和掺杂浓度，直接观察到了反铁磁相变的确凿证据——自旋结构因子在相变点附近的幂指数临界发散现象，从而首次验证了费米子哈伯德模型包括掺杂条件下的反铁磁相变。

这不仅是量子模拟界的重大突破，未来对我们理解凝聚态物理的中的一些重要问题也可以提供一个绝佳的研究平台。

首先，我们来看，科学家是如何让体系满足前面说的两条苛刻的标准呢？

在下图中，原子好像被困在放鸡蛋的盒子里。这些“窝窝”叫做势阱。

通常情况下，量子模拟领域中常用的光学势阱是用激光横截面满足高斯分布的激光束产生的。因此产生的光晶格势阱也不均匀，最终导致深陷其中的原子密度分布也不均匀。而且，费米气体进入不均匀的光晶格格点之后，原子密度会进行再分配，也不可避免的产生加热效应。

为了解决这个问题，科学家另辟蹊径使用了新的技术路线，创造性地采取了盒子阱（box trap）+平顶光晶格技术的新办法。

盒型光势阱（box trap）技术由2013年剑桥的科研团队研发，在这种长的像盒子的势阱中，原子密度分布均匀，而且也可以最大限度地避免密度重排带来的加热效应。理论上讲，可以实现低温的费米简并气体。

为了让光晶格更加均匀，就要用到平顶光场技术，这样一来，平顶光场的干涉形成驻波是中心均匀的，然后盒型势阱像墙壁把中间的均匀晶格围起来。你可以想象，好像在光场边缘立起四堵无形的“墙”来，围在里面的是一个十分均匀、干脆利落的体系。

无论是box trap，还是平顶光晶格技术，都像是“整形手术”，本质都是对透镜聚焦前的入射平面光场进行位相调控，最终是要通过透镜的傅里叶变换，使得光场的强度分布达到我们想要的样子。说起来原理简单，但是技术上做到极限、让势阱尽可能完美，却十分不易。其中，平顶光晶格技术是首次被用于量子系统，需要考虑激光的相干性，难度可谓不小。

最后，实验平台是这样工作的的：超冷费米锂原子气体被放进一个圆柱形的box trap中，起初，原子之间没有相互作用，然后，科研人员通过调节势阱深度、磁场、激光的强度、频率等参数，就可以对体系的相互作用强度、温度、密度分布进行调整，以达到我们需要的相变。

平台搭建好了，我们还需要好的观测手段。对于量子磁性研究来说，我们需要观测自旋排布，这次实验，采用的是自旋敏感的相干布拉格散射技术，用以观测自旋的排列情况。

那么，为什么说这次科学家真的实现了奈尔温度以下的费米子哈伯德模型的模拟呢？

科学家选择了一个金标准——反铁磁相变。根据费米哈伯德模型的理论预言，在奈尔温度以下，原子几乎不存在热运动，处于基态，这时候的半满情况下，就会呈现自旋向上-向下-向上-向下交替出现的周期结构，这就是形成了反铁磁晶体。能否在这一关键点上符合理论预言，是检验体系能否对费米哈伯德模型进行量子模拟的关键。

这里，我们将反铁磁相变的关键序参量——自旋结构因子（spin structure factor,SSF）这个量作为反铁磁是否形成的表征。所谓自旋结构因子，是用来描述自旋排列的特征。具体到反铁磁相变的过程，体系从顺磁状态变为反铁磁状态，SSF会急剧增大，趋于发散。对于研究量子磁性来说，SSF就是一个很好用的判断工具。

通过调节体系的相互作用、温度和掺杂浓度，科学家确实观察到了SSF的急剧增加，也就是说，确实实现了反铁磁相变，在半填充时建立了反铁磁相。

根据系统哈密顿量的对称性，费米子哈伯德模型下，半满状态的反铁磁相变可以归类为统一的三维海森堡模型。实验结果表明，通过改变相互作用和改变温度，自旋结构因子的临界发散行为与幂函数吻合：S~x^-gamma，x表示离相变点的距离，gamma=1.396是海森堡普适类的临界指数。

而这项工作里，最值得一提的亮点是，体系通过调节掺杂浓度，从费米子哈伯德模型的基态——半满下的反铁磁相出发(哈伯德模型低温相图中，红星处标出的位置)，引入掺杂，观测了费米子哈伯德模型包括掺杂条件（偏离半满）下的反铁磁相变，这就进入到了经典计算无能为力的参数区间，在这里，实验结果超越当前经典计算的能力。

既是量子模拟的进步，

也是低温凝聚态物理的进步

也许，我们可以再把镜头拉远一点看待这项工作的意义：我们用超冷原子搭建了一个量子模拟器，可以用来成功的求解费米子哈伯德模型，确凿无疑地观察到了反铁磁相变。

这意味着，我们可以从两方面理解这项成果的意义：

第一方面，从量子计算或量子模拟的角度说，国际学术界为量子计算的发展设定了三个阶段：一是对特定问题的计算能力超越经典超级计算机，实现“量子计算优越性”。这一阶段的目标，美国谷歌公司“悬铃木”以及中国科大“九章”系列、“祖冲之号”系列量子计算原型机已经实现；二是实现专用量子模拟机以求解经典计算无法解决的有应用价值的重大科学问题；三是在量子纠错的辅助下实现通用容错量子计算机。众所周知，以高温超导为代表的强关联量子材料背后的机理具有重要的科学意义和巨大的潜在经济价值，而理论研究表明，掺杂条件下的反铁磁相变已经无法通过经典超级计算机进行准确数值模拟。这就意味着，这次工作实现了量子计算发展第二个阶段里的一个里程碑进展。这次，科学家构建量子模拟器验证包括掺杂条件下的反铁磁相变，是实现能够求解费米子哈伯德模型的专用量子模拟机的第一步。科学家们切切实实将量子优越性用于了科学上有意义的重要问题的求解。

第二方面，从凝聚态物理本身这个课题的角度来说，我们可以把完整的低温相图看成破解强关联量子体系的“藏宝图”，这次的工作，突破了经典计算的能力，掺杂条件下的反铁磁相变（下图中左下处蓝色部分）已经给出，这条路一旦开始，就不会停下来，随着量子模拟器做的更加强大，我们可以期待整个的低温相图都被画出，除了符合人们预料的反铁磁相变，晶格中的费米超流有些什么性质？相图最下方的高温超导相是否存在？在什么情况下出现？都等着我们去破解。我们完全可以期待，这样的模拟平台，未来可以产生超乎意外的新的物理现象，帮助我们理解电子强关联体系新的物理机制。

▲ 设想的哈伯德模型低温相图

一句话总结

这次实验手段的突破，通过把超冷费米气体放进大而均匀的光晶格，保证了费米子哈伯德模型中相互作用项和邻近跳跃项处处都比较均匀。在80万格点的大体系和奈尔温度以下的苛刻条件下，观察到了包括掺杂条件下的反铁磁相变，证明这个平台是一个可以用来对费米子哈伯德模型进行量子模拟的工具。所以，未来，我们可以用它对费米子哈伯德模型下的各种奇异的量子相进行研究，也可以用来对量子磁性、高温超导等重要问题提供一些崭新的理解。

*半满，指的是一个位点上只有一个粒子，相对的，如果一个位点上有自旋相反的两个粒子，就叫做全满，这个时候叫做能带绝缘体。

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