反演构图解压轴——2024年成都市中考数学第26题

反演构图解压轴

2024年成都市中考数学第26题

通常情况下选择几何综合题压轴的考卷，难度不会很低，2024年成都市中考数学第26题，取材于数学活动，层层设置问题，在几何情景中探究数量关系和位置关系，对学生构图能力要求较高。

本题组成图形极为简单，两个边长为3，4，5的直角三角形，绕其中一个顶点旋转，在这个过程中，首先经历特殊位置关系，求线段长，然后探究新的直角三角形存在性。在这个过程中，需要学生通过作图确定直角三角形，从而完成解答，考察了学生基本作图能力。

由于图形是动态的，并且在运动过程中探究存在性问题，因此如何准确作图非常关键，尽管我们解题时可以用草图来近似构图，但在解题之后，仍然需要多问自已，能否准确作图，这不禁令人想起了前不久张钦博士的那节示范课，其中提到了反演原理，因此借助本题解题思考，来加深对图形的理解。

题目

数学活动课上，同学们将两个全等的直角三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°.

【初步感知】

(1)如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究BD:CE的值；

【深入探究】

(2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长；

【拓展延伸】

(3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形，若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由.

解析：

01

(1)如下图：

△ABD∽△ACE，且相似比为3:5，故BD：CE=3：5;

02

(2)由于BM是Rt△ABC斜边上的中线，所以极易联想到斜边上的中线等于斜边的一半，所以我们可得到两个等腰三角形，分别是△ABM和△BCM，同时由于旋转，同样可得△ABD是等腰三角形，并且和△ABM还有一个公共角，于是本小题突破口就此打开，如下图：

△AMB∽△BAD，可以得对应边成比例，即AB:BD=MA:AB，得AB²=BD·MA，可求出BD=3.6；

由相似三角形还可以得到∠MAB=∠ADB，由旋转可知∠MAB=∠EAD，于是∠EAD=∠ADB，证明了DM∥AE；

借助这组平行线，我们得到第二组相似，△FMD∽△FAE，得比例线段FM:FA=DM:EA，不妨设FM=x，则x:(x+2.5)=(3.6-2.5):5，求出x=55/78，最后CF=CM-FM=70/39；

另一种思路：

连接CE，类比第1问，如下图：

依然有△ABD∽△ACE，∠ABD=∠ACE，又∠ABD+∠MBC=90°，且∠MBC=∠MCB，所以∠MCB+∠ACE=90°，即CE⊥BC，不妨过点A作AG⊥CE，在等腰△ACE中，由三线合一得点G是CE中点，易证矩形ABCG，得CG=AB=3，于是CE=6，再利用△ABD∽△ACE，相似比为3:5，求出BD=3.6；

后续解答同方法一，不再重复；

03

(3)本问的难点在于作图，而作图难点在于构思，想不到所以作不出图是很正常的，这也是区分学生能力的重要依据。

我们先从常规作图开始，用草图来解题，然后探究有无更高效的作图方法，最后研究作图原理。

在旋转过程中，△CDE可能成为直角三角形；

①∠DCE=90°时，如下图：

在等腰△ACE中，我们作AG⊥CE，由三线合一得点G是CE中点，再加上∠DCE=90°，可证GH∥CD，则GH是△CDE中位线，即点H是DE中点；

我们容易得到△ADH∽△ECD，其中AD=3，DH=2，于是EC:CD=3:2，在Rt△CDE中，设EC=3k，CD=2k，根据勾股定理得9k²+4k²=16，故k²=16/13，可求得△CDE面积为1/2·3k·2k=3k²=48/13；

②∠CDE=90°且点D在边AC上，如下图：

这种情形相对容易求，CD=5-3=2，DE=4，则△CDE面积为4；

③∠CDE=90°且点D在边AC延长线上，如下图：

这种情形也不算难，CD=5+3=8，DE=4，则△CDE面积为16；

③∠CED=90°，如下图：

过点A作AG⊥CE，易证矩形ADEG，且点G是CE中点，于是CE=6，DE=4，则△CDE面积为12.

综上，△CDE面积为48/13，4，16，12.

解题思考

继续第3问的作图思考，在我自已解题或学生解题过程中，通常是作草图，大致估测合适的位置，只要看上去像直角，便确定旋转后△ADE的位置，然后连接CD，CE，得到某种情形下的图形，用于解题没问题，但如果进一步作出准确的图，则上述方法行不通了。

我们重新审题，△ABC和△ADE，题目中描述是“其中一个纸片绕这个顶点旋转”，这个顶点已经确定是点A，但并未强调是哪个三角形绕另一个旋转，只不过在每个小问前面的描述中，“在纸片ADE绕点A旋转过程中”令我们先入为主地将△ABC“固定”住了，去旋转△ADE，所以在精确作图时遇到了障碍；

其实命题者已经留下了空间，促使我们在构图时不拘泥于旧有印象，所以我们调整下旋转主体，将△ADE“固定”，将△ABC绕顶点A旋转，点C旋转到某处，使得△CDE为直角三角形；这样我们就只需要观察△ADE的顶点D和E，以及绕点A旋转的点C，由于旋转过程中AE始终等于AC，所以点C在以A为圆心，半径为5的圆上，如下图：

将观察焦点集中于顶点C，D，E上，可以发现，几乎不用管点B在何处，问题转化成已知线段DE，点C在圆A上，当点C位于何处时，△CDE是直角三角形？

这个问题是我们已经解决过的，可以用“两线一圆”来解决，即分别过点D、E作DE的垂线，构造以D、E为直角顶点的直角三角形，再以DE为直径作圆，构造以C为直角顶点的直角三角形，如下图：

经过测量，这四处位置均为直角，完成了精确作图.

事实上，第3问解法中的图，也是基于这种方法，用软件作图，几何画板或GGB都能很好地完成，有兴趣的老师们可以尝试操作一下。

最后我们需要研究的是，为什么我们旋转△ADE作草图，和旋转△ABC精确作图，结果是一样的？我们如何让学生理解这种一致性？

回到题目本身的描述中来，正如前面所分析，命题者并未强调哪张纸片绕另一张纸片旋转，因此无论“固定”哪个三角形，结论应该是完全相同的，在每个小问的描述中，如果去掉“纸片ADE绕点A旋转过程中”，改为“其中一张纸片绕点A旋转过程中”，就没有固化作图思维了，当然以上仅为个人看法；

在解题过程中，学生一定会面临“存在几种情况”的疑惑，尽管可以依靠较强的想像力去估测可能的情形，但要准确知道结果，仍然需要反演构图，这也是一种逆向思维。

在解题教学中，不妨多准备几个备用图，让学生用手头的工具去画，去尝试，再相互交流，大胆猜想，小心验证，然后思考为什么。

在教师自已研题时，虽然我们可以借助软件作图，但用软件之前，仍然需要对图形结构有清晰的认知，以本题为例，若不是采用反演作图，恐怕也得靠鼠标拖动一个大致位置，在这种情况下，89.99°和90°区别很大。