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数学中最难以置信的成果之一是“李群”,从一粒沙中看整个世界

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抽象代数是现代数学的基础领域之一。它包含了广泛的子领域,并且有着巨大的应用数量。更具体地说,抽象代数是对代数结构的研究,这些代数结构包括了各种各样的东西,如群、环、域、模、幺半群等等!在这篇文章中,我将讨论抽象代数的历史,向你介绍一些其基本概念。

代数的根源可以追溯到多项式的研究。我们可以看到最早的多项式证据可以追溯到公元前1800年的古巴比伦。这个研究领域的古老程度令人难以置信!有一块来自这一时期的泥板,被称为普林普顿322,它包含了一系列的毕达哥拉斯三元组!



这块泥板确实包含了一些错误,但巴比伦人能够仅凭基本符号解决如此多的问题仍然令人赞叹。提醒一下,毕达哥拉斯三元组是一组满足以下方程的三个数字



一个基本的毕达哥拉斯三元组例子是(3,4,5)。这个概念来源于古希腊数学家毕达哥拉斯,他将其应用于直角三角形的边长。巴比伦人在那之前就知道这个方程(尽管他们可能没有将其应用于三角形)是非常了不起的。

代数的一个重大发展是符号表示法。早期的数学家用纯文字描述方程。一个方程会被描述为“某物加二等于三”。这显然比符号表示法要繁琐得多,但直到大约16世纪,我们今天使用的符号表示法才被充分使用,即便如此,它的普及还需要一些时间。



  • 一幅惊艳的李代数(一种代数结构)视觉图

即使随着向符号表示法的转变,研究代数的数学家主要对使用它解决多项式问题感兴趣。慢慢地,被发现的新结构与多项式不同。19世纪见证了群、环、域和上图所示的李代数等的早期形式化。到了20世纪初,数学家非常关注严谨性,并寻求将所有这些新工作应用于广泛统一框架的方法。一个新的公理系统出现了,它将所有这些不同的结构统一在一个共同的符号下。这个领域被称为“现代代数”,今天也被称为“抽象代数”。

基础知识

我已经谈了很多数学家描述并最终统一的这些不同的“结构”,现在我们将看看这些结构实际上是什么,以及它们之间的一些区别。遗憾的是,我无法在这里覆盖每一种类型,因为它们实在太多了!

抽象代数中的每个结构都被描述为一组对象和可以在集合内对对象进行操作以产生新对象的操作。根据这些集合和操作满足的不同限制,我们最终得到了特定类型的结构。

原群(Magma

最基本的代数结构被称为原群。它有一组对象和一个单一的二元运算。

如果运算是二元的,这意味着它接受集合中的两个对象作为输入并产生单一输出。

唯一的要求是这个运算是封闭的,这意味着二元操作的输出也是一个在集合中的对象。



  • 一个原群的例子

在上面的原群M中,有一个二元操作●和三个元素a,b,c,它们通过垂直线分开。注意,有许多规定原群定义的约定,这只是其中一种,我认为它易于阅读。由于运算●是二元的,我们可以定义它的一个输出如下:



  • 一个可能的二元函数

注意,要给出原群M的完整定义,我们需要定义集合中每一对元素组合的●运算的输出,包括b ● a。

原群并不是非常有用,因为它们太宽泛了,我们可以对集合中的对象和操作施加更多的限制,以创建更多有用的结构。

群(Groups

在原群和群之间存在着许多复杂性不同的结构,但群是非常常见且有用的结构,所以我将直接跳到它们。我们像定义原群一样定义群,有一组和一个单一的二元运算,但有一些额外的限制。请参见下面的群定义示例。



  • 一个群的例子

乍一看,这个定义看起来和上面定义的原群完全一样。然而,区别在于对二元运算及其对元素的作用所施加的限制。为了被认为是一个群,必须满足三个额外的属性,以将这个结构与原群区分开来。

恒等元素

必须有一个对象充当所有其他元素的“恒等元素”。这个元素通常被标记为e。恒等元素必须满足以下关系,对集合中所有对象都适用:



在常规代数中,加法运算下的恒等元素是0,乘法运算下的恒等元素是1。

结合律

这个规则对于任何学过基础代数的人来说都很熟悉。结合律基本上说的是执行运算的顺序并不重要。它可以表达如下:



逆元素

这通常是最难满足的限制。它要求每个元素都有一个“逆元素”,使得运算作用于一个元素及其逆元素时,得到恒等元素。每个元素可以有一个不同的逆元素,它只需要存在。



  • a和b是彼此的逆元素

这些是创建一个代数群必须满足的三个属性。每个群都是一个原群,但不是每个原群都是一个群。这是因为群比原群有更多的限制。在群的定义中有一些不出现的限制可能会让你感到惊讶,比如交换律(这意味着对所有元素,a ● b = b ● a)。如果有这个属性,那么群就变成了一个阿贝尔群(abelian group),它有自己的一套特殊用途。

群可以创建一些精彩的图片。有许多不同的方式来可视化一个群,但请参见下面的Fr(20)的循环图。



群论之所以重要,是因为它定义了一组对称性。这些对称性规则在物理学和化学中极其重要,为科学家们提供了许多有用的定理来研究。这些定理允许粒子物理学家在某些粒子被发现之前就预测它们的存在!群论对于密码学也很重要,因为它告诉我们哪些数学运算是“快速”解决的。

当然,我们可以定义大量不同的结构。可以设置许多类型的不同限制。我们也可以定义多个运算而不仅仅是一个,甚至是一个需要超过两个输入的操作!一些结构也不仅仅有一个集合。

抽象代数是数学中一个庞大的领域。本文仅仅触及了它的一些基础知识。

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