“特形”出定值——2024年浙江省中考一模第23题

“特形”出定值

2024年浙江省中考一模第23题

几何中的定值问题，通常情况下的几种解题思路：①直接求出数值；②构建特殊图形（简称“特形”）例如等边三角形、正方形、特殊直角三角形等，利用它们的边长间的数量关系求解；③设参表示线段长或坐标，求比值过程中参数消掉得定值；④数形结合，利用函数求定值。当然实际解题过程中，远不止以上几种思路，基于它们的拓展方法更丰富。无论采取哪一种，要看题目条件的设置，以及读题过程中的理解。

题目

解析：

01

(1)我们连接AC和CE，如下图：

由A、E两点坐标可知y轴是线段AE的垂直平分线，于是AC=CE，同时在圆E中，CE=AE，于是得到等边△ACE，所以∠AEC=60°，∠CEB=120°，即弧BC所对的圆心角是120°，顺便可得AC=AE=2，后面推导时需要；

02

(2)观察图中的线段OG，端点O是CP中点，端点O是CD中点，于是顺理成章构造中位线，连接DP，如下图：

OG是△PCD的中位线，所以DP=2OG，我们只需要观察当点P在何处时DP最大即可，显然DP的身份是弦，圆中最长的弦是直径，所以当DP经过点E时成为直径，此时最长，DP=4，最后求得OG=2；

03

(3)本小题采用导角的方法，如下图：

由角平分线得∠DCQ=∠PCQ，而∠ACQ=∠ACD+∠DCQ，∠AQC=∠APC+∠PCQ，请注意∠ACD和∠APC，它们所对的弧分别是弧AD和弧AC，由垂径定理可知弧AD=弧AC，于是∠ACD=∠APC，因此∠ACQ=∠AQC，所以AQ=AC=2；

04

(4)方法一：

过点A分别向PC延长线、PD作垂线，如下图：

前面我们求得弧BC所对圆心角是120°，弧AC所对圆心角是60°，于是∠APC=30°，同时由垂径定理得弧AC=弧AD，弦AC=弦AD，∠APD=30°，所以很容易证明图中△ACF≌△ADG，所以CF=DG，并且△APG和△APF也是一对全等三角形，并且还都是含30°角的特殊直角三角形，可得PC+PD=(PF-CF)+(PG+DG)=PF+PG，而PF=√3/2PA=PG，所以PC+PD=√3PA，最后求得(PC+PD)/PA=√3；

方法二：

作∠PAM=∠CAD=120°，交PC延长线于点M，如下图：

由辅助线作法，易得△PAM为顶角为120°的等腰三角形，PA=MA，题目给出了AD=AC，再由∠PAM-∠PAC=∠CAD-∠PAC得∠MAC=∠PAD，可证△ACM≌△ADP，这样CM=DP，我们成功将PC+PD转换成了PM，在△PAM中，PM=√3PA，即PC+PD=√3PA，结果仍然求出比值为√3.

解题反思

一般在讲完一道题之后，我会问学生，特别是那些开始不太明白，后来才听明白的学生，你印象最深的环节在哪里？多数学生会说出某个步骤是自已没想到的，此时作为教师，应该敏锐察觉到学生思维中的共性，这个步骤老师是如何解决的，并重点在反思中告诉他们，这正是听教师讲完题目后需要记住的东西，从而完成一道题目从不懂到懂的过程。

这道几何综合题，其实不算很难，都是常规解题思路，并且各小题难度分布合理，呈阶梯状。

学生对于最后一问中，比值是定值的理解上，如果首先就想到将两条线段“拼”成一条线段，那几乎就成功了一半，如果还能想到∠APC=∠APD=30°，以上两种方法都有可能想到，对于圆内的角来讲，圆周角是最常用的导角手段。

一节讲题课，学生收获最大的时刻，就是在反思环节，而教师最大的收获，也在教学反思环节，师生共同在思考中进步。