希尔伯特空间，无限维的基石，每个向量都是自然法则的一个注脚

2024年2月，Alan Aspect在哥本哈根为一个“科学与鸡尾酒”活动发表讲话。他提到了希尔伯特空间（Hilbert space），并用一个引人深思的引述来强调一个要点：理论上的量子现象和数学模型，虽然对于理解量子力学至关重要，但它们并不足以完全捕捉实际在实验室中观察到的量子现象。原话是：

量子现象不发生在希尔伯特空间，它们发生在实验室里！

• （Quantum phenomena do not occur in a Hilbert space, they occur in a laboratory）
• Alan Aspect是一位著名的法国物理学家，因其在量子力学领域的开创性实验研究而闻名。他最著名的贡献之一是在1980年代进行的一系列实验，这些实验验证了量子纠缠的现象，并且对贝尔不等式（Bell's inequalities）的测试提供了实验证据。
  

什么是希尔伯特空间？

它是一个数学概念，不仅仅是3个维度，而是无限维。就像任何空间，但是加上了一些额外的维度。

希尔伯特空间和任何高维空间之间的关键区别在于它必须遵循的规则，不仅仅是维数。希尔伯特空间具有数学属性，如完备性（completeness）和内积（product）。

完备性

设想一下，在一片空白的纸上，你通过逐点加入来描绘出一条连续的线条，其中每一个点都对应着一个具体的数值，形成了一个数值的连续序列。当我们谈论到一个数学上的“完备”概念时，意味着即使这些点（或数值）的序列不断扩展，并且它们似乎正在接近某一个确定的值，那么这个特定的值也必定是存在于同一个空间中，可以被这片纸代表。换句话说，如果这些数值越来越贴近某个点，那么这个点也确实存在于你所考虑的那个空间内，没有遗漏。

所以，在希尔伯特空间中，每个向量的柯西序列（点）都会收敛到希尔伯特空间内的一个向量上。

或者想象一只猫在追逐一个激光点。猫在跟随这个点，它越来越接近墙上的一个地方。在一个“完备”的房间中（类似于希尔伯特空间），你可以确信这个点最终会落在房间内墙上的一部分。猫总能够抓到这个点。

然而，在一个“不完备”的房间中（类似于一个不完备的数学空间），就像墙上或角落有猫永远也到达不了的部分，无论激光点看起来多么接近这些区域。在一个不完备的空间中，序列（如激光点的路径）似乎可能正在收敛向一个点，但那个点可能实际上不是空间的一部分（或者在我们的猫的比喻中，不是房间的一部分）。

在希尔伯特空间（完备的房间）中，猫（代表一个点或向量的序列）总能够达到激光点（序列的极限），因为它保证会落在房间边界内的某个地方。

一个不完备空间的例子是有理数（分数）。空间在这里再次是一个数学对象集合，而不是一个空间房间。在有理数中，你可以越来越接近像π这样的数，使用有理数：3.1, 3.14, 3.145, 3.1459……但你永远无法在有理数的空间内实际达到π这个数。因此，有理数的空间不是一个完备空间。

• AI作图

点（内）积

一个向量是具有方向和大小的“东西”，就像一个指向某处、具有一定长度的箭头。在我们日常的3D空间中，向量很容易想象。但在希尔伯特空间中，向量可以存在于无限维度中。

点积是一种乘法方式，用于找出这些向量之间的某些关系，比如它们之间的角度。在希尔伯特空间中，点积被扩展以适用于这些无限维度的向量（并称为内积），它帮助我们理解无法可视化的方向和大小。这可能告诉我们例如粒子的某些隐藏属性，如它们的自旋或偏振。

例如，在量子力学中，电子的自旋不仅仅是简单的上或下；它实际上是一个量子态，可以存在于一个超位置中，用希尔伯特空间中的向量表示。希尔伯特空间中的内积然后可以用来计算测量不同方向上的自旋的结果的概率。

希尔伯特空间，凭借其处理无限维空间及相关计算的能力上，高级数学和物理研究中不可或缺的一部分。

量子力学中的希尔伯特空间

现在我们已经了解了希尔伯特空间是什么：某种抽象的“空间”——一个遵循完备性规则的数学集合，具有无限维度，通过一些点积数学来找到不能被可视化的向量关系。让我们深入了解为什么它在量子力学中如此重要。

在量子力学的视角下，微观世界展现出了与常规物理直觉不一致的特性和行为。具体来说，微观粒子如电子，并不是静止不动或存在于单一位置，而是其存在状态由所谓的波函数定义，这个波函数能够提供粒子出现在各个不同位置的可能性。

这里的关键在于，量子态的表现形式是概率性的，而非确定性的。这意味着，在没有进行任何观测或测量之前，一个量子粒子实际上处于它所有潜在状态的“混合”或“叠加”状态中，表明它同时存在于多种可能性中。仅当对其进行观测时，这种叠加状态才会决定为某一个特定的状态，这一过程被称为波函数坍缩。

粒子的每个可能状态都以希尔伯特空间中的一个向量来表示。波函数，即多个状态的叠加，也由一个向量表示。特定状态与状态叠加之间的关系是线性的，意味着我们可以添加状态的向量来获取希尔伯特空间中波函数的向量。

在量子力学中，内积帮助我们计算找到粒子处于某种状态的概率。例如，要找到电子处于特定位置的可能性，需要计算电子波函数与代表那个特定位置的向量的内积。这个计算给出了概率振幅，其幅度的平方给出了概率。

• 这里，ϕ表示状态向量 ，ψ表示波函数。

状态可以是不同属性的，不仅仅是位置。例如，对于电子，它可以是其位置、动量或自旋，每一个都可以由一个向量描述。

就好像有一只猫在一个巨大的房子里（希尔伯特空间），每个房间代表猫可能处于的不同状态。如果你不看它，猫可以同时在任何地方。但如果你开始寻找它，那么内积可以帮助你计算出在阁楼与地下室找到它的几率。

希尔伯特空间不仅仅用于量子力学；它是物理学和数学许多领域中使用的工具，如信号处理、量子计算，甚至用于理解宇宙本身。

日常生活中的希尔伯特空间

高级数学与现实世界是有关联的。

在智能手机处理音频和视频数据时，它们采用了一种高级的数学方法，基于希尔伯特空间的概念进行优化。希尔伯特空间是一个用于描述和解决高维问题的数学模型，特别适用于信号处理。因此，当你在录制音乐会等场合的现场音频和视频时，手机实际上是将这些信号转化为希尔伯特空间中的向量，并通过向量运算来处理这些数据。

这意味着，你的设备不单单是在记录下音频和视觉信息，而是在对这些信息进行深度的数学变换，利用希尔伯特空间内的向量表示来实现信号的优化处理。这包括改善录制的音质和画面质量，通过减少噪声、进行数据压缩，以及恢复信号中的细节等方式。通过这种复杂的数学处理，智能手机能够确保所捕捉到的音频和视频内容达到更高的清晰度和质量标准。

同样的视觉效果——颜色和动作——也经历了类似的转换。通过镜头，智能手机捕捉这些视觉效果，将它们转化为希尔伯特空间内的向量和矩阵。

希尔伯特空间还用于：

• 医学成像：MRI通过磁性对准你体内氢原子的自旋来创建视觉效果，产生的信号使用量子力学（希尔伯特空间）来转换和解释。
• GPS：GPS系统的精确功能依赖于理解卫星及其信号的物理学，这反过来涉及希尔伯特空间中量子力学的原理。
• 音乐和艺术：同样，希尔伯特空间的概念已经找到了进入音乐理论和计算机生成艺术的方式，它们帮助分析声音和创建复杂的视觉模式。

量子力学不仅仅是一个模糊的概念，它是我们物理现实的一个非常真实的部分。虽然理解和解释量子力学以及量子粒子的非直观行为看起来像薛定谔的猫一样模糊，但正是使用希尔伯特空间这样的数学概念进行的计算，使其具有应用性。