经典重温 | 一本在中国博弈论发展历史上有举足轻重地位的著作：吴文俊领衔编写的《博弈论讲义》

尽管博弈理念自古就有，现代博弈论理论的建立应该从1944 年大数学家约翰·冯·诺伊曼和经济学家奥斯卡·摩根斯坦合著的《博弈论与经济行为》出版作为开端，并且在1944 年到1959 年期间形成了博弈论的基本理论体系。这期间一众博弈论研究的巨擘们，例如冯·诺伊曼、约翰·纳什、罗伊德·沙普利等等，提出了博弈论主要的核心概念，建立了博弈论的基本理论框架。

一书是1960 年出版的、我国第一本博弈论方面的教材。这本教材由以吴文俊院士为首的一批数学家编著，以中国科学院数学研究所第二室的集体名义出版。当时我国的学术氛围，强调学科发展要服务生产实践。以华罗庚先生为代表的数学家纷纷投身于应用数学方法的研究与普及，随后诞生的《优选法平话》和《统筹法平话》就是典型的代表。相比于黄金分割法、线性规划等数学优化方面浅显易懂并且在现实中到处都有直接应用场景的数学方法，博弈论是一个发展时间相对比较短、使用的数学工具更为复杂、在当时的实际应用场景不很直接的学科方向。将博弈论作为一门学科，去编写中文教材，应该说在当时的氛围之下是非常高瞻远瞩的，在国际上也是最早的博弈论教材之一。

▲ 以华罗庚、吴文俊先生为代表的数学家们投身于应用数学方法的研究与普及的典型代表著作

尽管当时是把博弈论作为运筹学的一个分支，事实上博弈论后期的发展及影响远远超过运筹学。这主要是因为博弈论是研究相互对抗或合作的多个参与方的耦合优化问题，与经济政策设计、多方智能决策等复杂问题有着天然的联系。众所周知，有约20 位学者因经济学与博弈论的交叉研究获得诺贝尔经济学奖，博弈论的重要性与影响由此可见一斑。博弈论不仅成为社会科学研究的基础性工具，也正在拓展到自然科学和工程科学。在当前的人工智能和数字经济中，博弈论更是其中的核心支柱学科之一。作为主要研究对抗决策的数学理论，可以预见博弈论也将在未来智能化战争中发挥重要作用。

已经出版六十多年了，这是一本在中国博弈论发展历史上有举足轻重地位的著作。首先这是一本基于中国当时社会知识背景针对博弈论的“高端启蒙性”的教材。正如本书当时的序言，编著这本书的目的是“为高等学校提供新的教材”“向应用部门的同志介绍新的数学工具”。著作编撰的前提也是“读者只要具备一般高等数学如代数、实变函数、概率论的初步知识，就可以了解其内容和掌握其精神”。在教材的具体编写中，对每一块的内容，都是先用简单的例子进行铺垫，然后才给出严格的数学定义和相关定理的数学推导，循序渐进，循循善诱，使得全书由浅入深。其次这是一本“小而美”的著作，跟博弈论的多数经典教材相比，没有追求“大而全”，但是博弈论中最重要的一些模型，例如零和博弈、非合作博弈、合作博弈、联盟博弈、扩展型博弈都有覆盖。从这种意义上看本书很类似于罗伯特·吉本斯教授1992 年出版的经典博弈论教材《博弈论基础》（A Primer in Game Theory）。最后，本书的编辑也对我国博弈论研究起到了直接推动作用。实际上，本书的编辑者也是我国最早的博弈论研究者。

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本书的领衔编写者吴文俊院士是中国博弈论研究的先驱者。吴文俊院士是拓扑学研究的大家，曾因为“吴示性类”与“吴示嵌类”等工作获得首届国家自然科学奖一等奖，同时获得一等奖的分别是钱学森院士和华罗庚院士（详见：）。1958 年开始吴文俊院士对博弈论产生了兴趣，1959 年初，他就发表了我国第一篇博弈论研究论文《关于博弈理论基本定理的一个注记》。1960 年，在出版这本教材的同时，他还在《数学通报》发表了一篇普及性文章《博弈论杂谈:（一）二人博弈》。在这篇文章中，他第一次明确提出“田忌赛马” 的故事属于博弈论范畴，使得田忌赛马成为介绍博弈论的一个经典案例。1962 年，吴文俊院士和他的学生江嘉禾先生在《中国科学》上发表了“Essential equilibrium points of n-person non-cooperative games”，对于有限非合作博弈提出了本质均衡(essential equilibrium)的概念，并给出了它的一个重要性质和存在性定理。这是博弈论领域的一个深刻结果，可以和诺贝尔奖获得者泽尔腾(R. Selten) 1975 年提出的颤抖手均衡(trembling hand equilibrium) 媲美，是迄今为止中国科学家在博弈论领域取得的最具国际影响的成就之一。吴文俊院士在博弈论领域杰出工作和深刻理解，使得本书在20 世纪60年代就有很高的起点。

▲ 1962 年吴文俊和江嘉禾在《中国科学》上发表的文章

六十多年来，博弈论这门主要由数学家开创的学科突飞猛进，取得了举世瞩目的成就，不仅学科内容大大丰富，而且相关知识的表述也有很多的进步。我们今天重新出版这本书，一方面是经典重印，缅怀我国博弈论领域先驱者的业绩; 另一方面也希望读者能够从源头去了解博弈论在中国的发展。为了方便读者更好地去阅读这本“小而美”的教材，我们不厌其烦地再做几个说明。

术语变化

这是我国第一部博弈论著作，这里面很多术语的翻译跟现在的流行用法非常不一样。但正是这种另类的遣词造句会让我们感受到一种特别的味道。从书名我们可以看到，本书的编著者把Game Theory 是翻译成“对策论” 还是“博弈论” 是颇有踌躇的，最后使用了《对策论（博弈论）讲义》作为书名。Game Theory 在中国的名称由最初的对策论变为博弈论，可能就与当初这个踌躇有关。事实上，本书中对冯·诺伊曼和摩根斯坦的Theory of Game and Economic Behavior 就直接翻译成《博弈论与经济行为》，之所以最终选择对策论作为Game Theory 中文的首选，与当时的政治氛围有关，认为是博弈掩盖了资本主义社会阶级斗争的实质。况且使用对策论作为Game Theory 的翻译也有一个显著优点，即“对策”跟“决策”很对仗，可以提醒读者对策论是决策科学的一个分支。因此对策论这一用法后来在数学和运筹学领域沿用几十年，直到今天很多时候学者还在使用“对策论”而非“博弈论”。在重新出版本书时，我们将书名改成更为简洁的，并且将原版中术语“对策”统一修订为“博弈”。

现在一般把extensive form game 翻译成“扩展型博弈”，而本书很特别地翻译为“阵地对策”。值得注意的是，本书对extensive form game 的解读非常精彩,“应当指出，阵地对策的英文名称——The game in extensive form (广义型对策)——不完全恰当。因为实际上，我们所谈到的不是把正规模型的概念进行某种推广而更加广泛；正相反，是它们的某种精确化和具体化。”这是对正规型博弈与扩展型博弈关系的独到见解。还有其他一些术语与现在有所不同，比如把payoff function 翻译成“赢得函数”而非“支付函数”，把凸集的vertex 翻译成“端点”而非“顶点”等等，相信读者都可以很容易识别，故没有修改。

特殊传承

正如原版序言中所介绍的，本书是苏联数学家沃罗比约夫教授1960 年春在中国科学院数学研究所系统讲授博弈论基础上编著的，取材大都来自沃罗比约夫教授在讲学时用的讲义。

▲ 沃罗比约夫教授与中国科学院数学研究所同行的合影

我们知道，现代博弈论有很强的体系性，大多数重要结果都由欧美博弈论学家完成的，一般也都用英文写作。由于特殊的历史原因，苏联学者用俄语写作完成的多数成果在当时并不为欧美学者所熟悉，所以有其独特的风格。沃罗比约夫是苏联博弈论的开拓者和奠基人之一，培养了很多苏俄重要的博弈论学家。1968 年以前,苏联在博弈论方面的贡献可以参考Takeuchi 和Wesley 翻译的论文集，从中可以看出很多作者都是沃罗比约夫的学生; 1968 年以后的贡献可以参考Driessen 等的著作。这本教材体现了沃罗比约夫教授是直接影响中国博弈论发展的第一代博弈论学家。

这种特殊的传承使得本书具有特别的意义。尽管苏联的博弈论研究也是在冯·诺伊曼等开拓性工作的基础上进一步发展的，苏联获取英文资料也相对容易、其博弈论研究跟欧美的博弈论研究并非完全独立演化，但是在几十年的时间里有其相对独立的发展。国际上已经对苏联博弈论学家的一些原创性研究成果给予了足够尊敬，比如刻画合作博弈核非空的定理目前一般称为Bondareva-Shapley 定理，因为该定理由苏联博弈论学家Bondareva 和美国博弈论学家Shapley 分别于1963年和1967 年独立发现。同样，吴文俊和江嘉禾关于本质均衡的工作的重要性也是在20 世纪80 年代后逐渐为西方学者所公认。

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独特选题

本书对零和博弈与均衡计算给予了足够篇幅，这与目前多数教科书的安排有显著区别。

本书四章中的前两章都用来介绍零和博弈，后两章中介绍合作博弈（结盟对策）与应用也大致基于零和博弈。这当然是时代背景决定的，因为纳什的工作问世前博弈论学家大多围绕冯·诺伊曼创建的零和博弈与稳定集（本书第三章定义2）展开研究。零和博弈是博弈论最早被关注也最完善的内容，目前的教科书一般介绍得比较简略，所以本书介绍的更深入的内容，特别是第二章“二人无限零和对策”，对关心零和博弈的读者是一份很好的参考资料。关于稳定集的内容，自从Lucas（1969）给出反例显示可能不存在，学术界逐渐丧失了对其研究兴趣，今天的教科书一般最多略微提及。稳定集的作用已经完全被Giles 和Shapley 独立提出的核（core）所替代。值得注意的是，本书对纳什的工作给予了充分介绍，也提到了Giles 和Shapley 等的工作，充分显示出其学术前瞻性。

均衡计算方面，本书不仅介绍了今天教科书大多会讲到的用线性规划对偶理论求解一个极大极小解，还介绍了用矩阵法求出所有的解，以及用微分方程法和迭代法求一个解。零和博弈与对偶理论的等价性是非常美妙的理论，今天多数运筹管理背景的博弈论教科书都会介绍。而博弈论经典的教科书大多由经济学家完成，为培养经济学毕业生服务，经济学界传统上普遍不关注计算问题，所以这些教科书一般不会介绍这么多均衡计算的内容，仅止于介绍重复剔除劣策略、基于支撑集的枚举算法，以及基于最优反应曲线的几何解法等。在算法博弈论成长为博弈论的一个重要研究分支以及人工智能与博弈论深度融合的今天，均衡计算（哪怕仅仅是零和博弈的均衡计算）正变得愈发重要，这是本书能给读者提供特别价值的内容之一。值得指出的是，本书介绍的迭代法即目前一般所称的虚拟博弈（Fictitious Play）。该理论由Brown（1949）提出被Robinson（1951）完善，直到今天仍被大量引用，并在热门的强化学习研究中有重要作用。

博弈论是一门主要以数学为工具的横断性学科，迄今为止对经济学的发展起到了实质性推动作用。可以说没有博弈论就没有今天的经济学，博弈论的发展应该已经很好地完成了冯·诺伊曼为它设置的支撑现代经济学建立的使命。不仅如此,博弈论还在生物学、心理学、计算机科学、军事科学等学科以及几乎所有的社会科学里都发挥了重要作用，但是所起的作用远没有它在经济学中的作用来得大。今天博弈论的核心内容，除早期数学家的贡献外，20 世纪七八十年代以后也主要来自经济学家。但这不意味着将来也一定如此，不意味着来自其他学科的学者不能做出更重要的研究成果。

在新一轮人工智能崛起以后，博弈论在人工智能研究中发挥着愈来愈重要的作用。计算机科学和人工智能领域的博弈论研究越来越重要，例如通过深度学习与博弈论等方法的融合，在复杂决策问题上不断取得突破，如AlphaGo、无人系统对抗等。值得指出，吴文俊院士也是中国人工智能的先行者之一，他在人工智能与博弈论这两个领域都做出了具有重要国际影响的原创性工作。希望这样的垂范能对我国人工智能领域的博弈论研究起到鼓舞作用，促进我国人工智能事业在当前跟跑、并跑的过程中实现超越。

本书不仅介绍博弈论的基础理论，也十分关注其应用。本书与早期的博弈论著作一样主要面向数学背景的读者，非常注重所介绍内容的严谨性。但是本书并没有忽略对模型的解释，十分注重挖掘其现实意义和潜在应用，理论与应用之间的关系分寸拿捏得非常精准。关于理论与应用的关系，本书还对比了博弈论与概率论这两门学科的历史，有非常独到的分析。通过引入大自然这个虚拟参与人，本书在最后一节还介绍了博弈论在统计判断中的精彩应用。由于当时的政治氛围的原因，本书对博弈论给了一些政治方面的评述，再版时删除了相关的内容。

曹志刚教授在本书的编写中提供了很多帮助，我们在此表示衷心感谢。

高小山 杨晓光

2023 年5 月

本文摘编自《吴文俊全集 教材卷I——博弈论讲义》（中国科学院数学与系统科学研究院编; 高小山，杨晓光审校. 北京：龙门书局，2023.12）

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ISBN 978-7-5088-6355-9

责任编辑: 李 欣 孙翠勤

博弈论是一门新兴的数学分支，是用数学方法来研究形形色色的带有对抗性质的现象，指示这些现象中的决策人如何采用最优的行动。它的发生和发展也不过是最近三十年间的事，但无论就它所考虑问题的性质而言，抑或就其现有的实际应用而言，都显示出这是一门与实际密切联系、有着广阔发展前途的学科。不过，要使博弈论对我国的生产实际起更大的作用，还有待我们进一步的努力。因此，本书在给读者展示博弈论三十年概貌的同时，也力求引导读者注意联系我国的实际情况。

本书内容为二人有限零和博弈、二人无限零和博弈、多人博弈、阵地博弈等四章，叙述力求清楚明白，浅显易懂，只要读者具有大学数学系三年级的数学修养，就不难领会本书的内容。

本书主要是作为高等院校的教学用书，也可作为实际部门人员的参考用书。

（本文编辑：刘四旦）

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