盘点人类数学史上出现的三次危机，最后一个危机至今也没有解决！

从学说话开始，爸妈就会有意教我们数学，首先认识最简单的数学概念，比如说1，2，3这样的数字。然后我们上幼儿园之后，就会学习简单的加减法。

其实，人类数学发展史，也很类似，也是从最简单的计数开始的。比如说我国古代采用的结绳计数方式，就是从简单的整数开始的。

这是因为，在人们最原始的潜意识里，整数是最简单最间接的计数方式，也能最代表大自然的本质。

不过，很快人们发现整数并不能完全描述大自然。就比如人们日常生活中经常会遇到这样的情况，家里有两个孩子，但只有一个苹果，只能把这个苹果分成两半，那么该如何表述半个苹果呢？

这时候人们发现整数已经不够用了，于是小数，也就是分数便出现了。而且人们也发现，分数与整数一样，也很简洁优美，同样能简单明了地表述大自然中的事物。

但是，很快一个意外发现彻底颠覆了人们对整数和分数的认知，让人们困惑很久。

这个意外发现就是根号2。在人们研究等腰直角三角形时，发现了一个让他们很困惑的情况，如果三角形的直角边为1，那么斜边长度，也就是根号2会是多少呢？

当时的数学家们通过反复计算，发现根号2好像是一个非常长的小数，不管如何计算，都算不完，而且这么长的小数似乎又没有什么规律。

这与分数的表述完全不同，三分之一用小数表达同样很长，但有规律可循。而根号2看起来没有任何规律，并不能用间接的分数表述出来。

紧接着人们还有更大的发现，像根号2这样的数看起来比整数还要多，而且多很多。于是人们开始了对无理数的研究，认为无理数一定暗藏着更多不为人知的奥秘。

在这种背景下，第一次数学危机就出现了，其中的代表就是芝诺悖论，相信很多人都听说过。

芝诺悖论是这样的。你和一只乌龟赛跑，由于乌龟跑得很慢，特意让乌龟在你前面100米的地方开始跑，也就是说，乌龟一开始就领先你100米，不过你的速度更快，是乌龟速度的10倍。

比赛开始后，你和乌龟同时起跑。当你跑100米的时候，也就是来到乌龟的起点，乌龟跑了10米，乌龟领先你10米。当你跑10米的时候，乌龟跑1米，这时候乌龟领先你1米。而当你跑1米的时候，乌龟跑了0,1米，这时候的乌龟领先你0.1米......

按照上面的规律来计算，乌龟永远领先你，你跑过的路程正好是乌龟之前跑过的，意味着你永远追不上乌龟。

但事实上呢？地球人都知道你很快就能追上并超越乌龟。而且只要你的速度比乌龟更快，不管乌龟一开始领先你多少，你都可以追上并超越乌龟。

这就引发了当时的人们对无穷概念的思考，该如何思考芝诺悖论呢？对任何长度进行一分为二需要无穷多的时间，但我们不可能在有限的时间里做无穷多的事情，如此就不会陷入芝诺悖论的矛盾当中。

实际上就等于1+1/2+1/4+1/8……得到的总和不可能是无穷大的数，道理是一样的。

而第二次数学危机，就是人们对无穷本质的理解，说白了就是极限和微积分的问题。

通俗来讲，第二次数学危机，就是如何理解0.999......和1的大小问题，也就是说这两个数是不是相等，或者说是不是同一个数？

当时的人们认为，不管0.999......后面有多少个9，总会比1小那么一点点，所以0.999......不等于1，只是无限接近1。

而如今人们早就明白了，0.999......和1就是一个数，两者完全相等，0.999......并不是无限接近1，而就是等于1。

如果你到现在还不明白为什么0.999......和1是同一个数，只能说明你根本不了解极限的概念，自己给自己“挖坑”然后跳进去。或者说，你就是一个“杠精”，说点不好听的就是“无知者无畏”。但凡有点初中数学水平的，都会明白为什么0.999......和1是同一个数。

而第三次数学危机，看上去和数学没有太大的关系，因为这次数学危机被称为“集合论悖论”，最典型的例子就是“罗素悖论”。

何为“罗素悖论”？

简单讲，有一个非常厉害的理发师宣称“能给所有不能给自己理发的人理发”。那么问题就出现了：这么牛逼的理发师能给他自己理发吗？

结果你会发现，无论能或不能，都会出现矛盾。就像很多人都听说过的“上帝悖论”一样，我们都知道上帝是无所不能的，但上帝能创造出他自己都搬不动的石头吗？

结果也是一样，无论能或不能，结果都会出现矛盾。

有人会说“罗素悖论”诡辩，逻辑上的诡辩。其实，与其说“罗素悖论”是集合上的悖论，倒不如说是哲学上的悖论，它更像是本体论的概念。

什么意思？

“罗素悖论”的思想有一个重要前提：总是会先把自己置之事外，放在某个事件的外面，然后当自己换个角度看到事件时，发现自己其实也在事件当中。

因此，问题的本质就演变为：自己到底有没有在事件当中？

其实某种程度上这也体现了唯心思想。就好比，你认为世界是你自己幻想出来的虚拟假象，那么你本人是否也是你幻想出来的虚拟假象呢？如果是的话，问题又来了，你对“虚拟假象”的质疑本身是否也是一种虚拟假象呢？

结果就像俄罗斯套娃那样，一层又一层，永远没有尽头！