埃舍尔与达芬奇之间的超时空碰撞：不是密铺，而是网格变换

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

M.C 埃舍尔的平面规则分割绘画被认为是他艺术作品的重要组成部分。他绘制了大约 150 幅平面规则分割绘画，其中一些后来被用于他的版画创作。在几乎所有这些图画中，起主导作用的都是拼块。不过，也有少数例外。埃舍尔在《平面规则分割（Regelmatige vlakverdeling）》[1, 第 94 页]一书中给出了他自己对平面规则分割的定义，他说拼块应该四面紧密贴合，拼块之间没有空隙。换句话说，接缝、灌浆，即砌砖工人用来将每块石材与相邻石材粘合在一起的砂浆层，在实践中将它们分隔开来，但在理论上可以化整为零。数学家将这些接缝称为拼块的"边"；边从来不被认为有任何宽度。

我们可以说，这是数学的观点。从艺术的角度来看，拼块之间的分界线始终存在，我们不能忽视它们。我们可以给予这些分界线更多的关注，甚至可以省略拼块。这样，我们得到的只是一个以某种规则方式连接起来的接缝网格，或者说是一个格子：一个有许多精心勾勒的孔洞的平面。中国的窗户和屏风经常采用这种格子结构；参考文献 [3] 收集了大量此类设计。

在埃舍尔的一些草图中，这些分隔拼块的线条似乎确实占据了主导地位。例如，在他的《抽象图案笔记本》[5, p. 87]中的第 11 号常规分割图（Baam '42）和第 133 号常规分割图（Baam '67）[5, p. 226]中都可以看到这一点。乍看之下，这种对拼块之间空间的关注似乎只是注意力的轻微转移，但它却为埃舍尔可能没有时间研究的艺术可能性开辟了广阔的领域。如果用埃舍尔自己的比喻来说，在他美丽的平面规则分割的花园中漫步，就像是发现了通往毗邻的另一个花园的大门。就像真正的花园一样，任何描述都无法替代亲眼目睹花开的过程；这些探索主要是通过图片来分享的。

密铺格子

当我们从一个由大大小小的正方形拼块组成的简单贴面开始（图 I），我们只需将拼块移开，就可以构造出灰浆连接的格子。我们称其为"密铺"。要让拼块清晰可见，第一步就是加厚接缝（图2）。然后我们注意到，除了研究拼块的整体之外，我们还可以对其进行一些基本的新配置。首先，可以将网格视为一组轮廓线（图 3）。例如，我们可以利用这组轮廓线，通过延伸每条轮廓线，甚至交织某些轮廓线来进行构造。我们可以在埃舍尔的作品中找到这样的例子：他的版画《蛇》（第 76 页）中的缠绕圆环。另一种方法是将网格分解成等长的条形，其中每条条形都是由一组连接点组成的直线段。这样得到的条形网格可以用于条形重叠的三维结构（图 4）。达芬奇显然对这种条形结构很感兴趣。在他的作品中，可以发现了三种不同的规则条形网格图 [2, 第 154-155 页]，图 4 就是其中之一。我们将在下文中详细讨论这些以及其他可能的网格结构。

使用密铺网格的首次构造

由于密铺网格是去掉拼块后剩下的网，因此现在的孔洞代替了拼块。这意味着我们可以重叠和交织密铺网格。例如，在图 5 中，两份图 2 中的网格被交织在一起。我们已经注意到，通过绘制轮廓（如图 3），也可以通过扩展轮廓来进行连接构造。

有趣的是，我们可以从第一种结构过渡到第二种结构。在图 6 中，我们可以看到 M.C. 埃舍尔最初绘制的一个交织密铺网格。如果将两个不同颜色的六边形密铺格的网状结构中的每一条粗线一分为二，并将由此产生的双线重新编织，我们就可以得到图 7 所示的相连轮廓图。扩展这些轮廓线并重新编织，我们就得到了图 8 和色板 27a。(请注意，图 8 需要五种颜色才能分辨出相互连接的股线）。在图 9 和图 10 中，我们看到了三层交织的网格结构。将图 6 转化为图 7 的相同步骤也用于将图 10 中的密铺网格转化为图 II 中的连接轮廓。彩板 27b 显示的是四层交织结构。

三维构造

一些密铺网格或连接轮廓的图纸可以很容易地转换成真实的三维结构。在伊斯兰装饰中经常出现的一些拼块就是这一练习的丰富素材。以交织密铺网格的形式出现的情况并不少见。图 12 中交织的六边形环可以看作是立方元素的投影。图 13、14、15 和彩板 27c 展示了不同的例子，说明如何将图 12 中的结构图案加工成由全等联的三维形式组成的三维网状结构，其边缘可追溯到立方体的六个边缘。

我们也可以从一个二维的密铺格开始，将它变成一个不可能的三维结构。在图 16 中，我们对一个密铺网格进行了阴影处理，使其看起来是三维的，并形成了一个不可能的结构：彭罗斯三角。我们甚至可以做出交织的不可能结构：图 17 和图 18 显示了其中的两个。从图 12 中相同的二维交织网格开始，通过不同的阴影，我们也可以制作出彭罗斯三角的不可能交织网格，如图 19 和彩板 27d。虽然图 20 看起来很不一样，但它的起点与图 19 是相同的密铺网格。将图 21 中的不可能三维网格与 [1，第 155 页] 中的伊斯兰设计进行比较是很有趣的。

更多层次，不同层次

交织密铺网格可以通过几种方式构建。层数是我们可以改变的一个因素。带有大方孔和小方孔的密铺网格（图 2）可以交织出不同数量的副本：图 5 交织了两层，而图 22 则交织了四层。图 23 和图 24 是以平面密铺格为基础绘制的，图 16 也是以平面密铺格为基础绘制的，但图 23 有三层，图 24 有七层。

另一种方法是使用相同的密铺点阵副本，其中一些副本的比例不同，稍后我们将看到更多实例。在图 25 中，我们熟悉的由正方形和八边形组成的阿基米德密铺有四层全等的密铺网格。在图 26 中，使用了三层相同的密铺网格，但灰色层的比例较小。

最有趣的交织密铺格是由一种以上的密铺格组合而成的。例如，图 27 是同一网格的右转版和左转版的组合（见图 2）。在图 28 中，图 2 中的密铺格与八角方形密铺格结合在一起。在图 29 和图 30 中，您可以看到埃舍尔的黑白六边形密铺网格（图 6）与带方孔和八角孔的网格相结合。

埃舍尔平面规则分割图的变换

将不同类型的密铺网格结合起来的一个意想不到的结果是，我们可以使用其中的一些方法将埃舍尔的一个密铺图转换成他的图集中的另一个。在第一个例子中（图 31），我们从埃舍尔的日本武士（第 4 号正则表达式图画，[5, 第 118 页]）开始。我们按照埃舍尔另一幅作品（图 32）的密铺网格，将这套由三块相互交错的拼块组成的密铺图小心翼翼地分割成三块相等的碎片。现在，将这些碎片拉开（图 33）并翻转（图 34）后，我们可以将它们重新组合在一起，看，三个日本武士变成了三只蜥蜴（图 35），完全符合埃舍尔的第 25 号平面规则分割图（图 36）（见第 427 页）。

当你想进行这种转换时，你首先要仔细选择两种密铺。日本武士的拼块有三种不同的三折旋转点:三个头交汇处、三只左手交汇处和三只右手交汇处。蜥蜴密铺也有三种不同的三重旋转点。当我们想要组合两个密铺时（为了将一个变成另一个），在叠加密铺时，这些对称点精确匹配是很重要的。这可以通过六种不同的方式实现，其中一种如图37所示。

将两幅对称图的底层三角形网格重叠，使不同的三重旋转中心相吻合

下一步是选择一个由三个日本武士组成的、在三重旋转点上相交的群组，然后看看我们是否可以使用蜥蜴图的轮廓作为从三重中心点到群组边界的切割线，从而使切割后的碎片数量很少。在六种可能的叠加密铺图中，每一种都有三种不同的方法来选择这样一个由三个日本武士组成的图形群组，然而只有图 32 中的图形群组可以利用蜥蜴的轮廓线切割成不超过三块的图形。

在埃舍尔的作品集中，有许多密铺图都可以用来进行这种变换，而且在某些情况下，成功叠加和切割的可能性还不止一种。从埃舍尔的鱼密铺图（正分割图第 20 号（彩板 2））中，我们可以以一个 4 重旋转点为中心，将四条鱼组成的鱼群分割成四块全等的碎片，从而将埃舍尔的正分割图第 23 号[5，第 133 页]中的鱼转化成四只鸟（见图 38--43）。但是，如图 43-50 所示，这四只鸟也可以切成四块，这样我们就可以用它们做成八条鱼（来自同一幅埃舍尔图 20）！这里的诀窍在于使用不同比例的密铺网格组合。我们在图 26 中已经看到过这一点。

这里的基本网格只是一个正方形网格。当我们想把两个不同比例的正方形网格组合起来时，可以进行哪些比例的组合呢？要回答这个问题，请在正方形网格上画一个大正方形，使大正方形的角点位于网格点上，如图 51 所示。现在用小正方形单位来测量大正方形的面积。根据勾股定理，这个面积是 a^2 + b^2。这意味着我们可以把任何这样的大正方形分成 a^2 + b^2 个小正方形，其中 a 和 b 都是非负整数。这就得出了一系列大正方形的面积：1、2、4、5、8、9、10......如表 1 所示。

表1：表中条目为 a^2 + b^2

在我们将四只鸟变成八条鱼的例子中，我们首先通过连接两次和四次旋转的中心行在每个密铺上制作一个正方形网格（参见图38和43）。请注意，这些网格中的每个正方形的面积正好等于一个主题（一只鸟或一条鱼），因此每个正方形可以代表一个主题。将鱼的正方形网格视为图51中的小正方形，然后放大鸟密铺的比例，以使以4倍旋转点为中心的四只鸟的群集（四只鸟正方形）符合图51中所示的大正方形，其中a = b = 2。那么大的正方形包含四只鸟和2^2 + 2^2 = 8条鱼。另请注意，两个密铺的四重中心是重叠的。

四只鸟可以变成八条鱼，因为建立在2×2直角三角形斜边上的大正方形具有这样的性质:大网格的四重中心叠加在小网格的四重中心上。从表1中选择的允许这种叠加的任意一对数m，n可以用于4重旋转的密铺，以将m个图案变成n个图案。

那么，在三重旋转系统中扩展如何，就像日本武士和蜥蜴:我们能从三个日本武士中制造出六只蜥蜴吗？首先，请记住，我们需要在两层的对称点之间建立某种良好的规则连接。图52中两个不同比例的六边形格子的组合似乎给出了一个解决方案，但精确计算表明红色六边形和黑色六边形的面积比例为4比7。

一般来说，使用等边三角形的等距网格并遵循正方形网格的推理，我们看到任何等边三角形都可以分成a^2 + b^2 + ab小等边三角形（见图53），因此我们只能使用（面积）系列1，3，4，7，9，12，13，16，19，21的数字组合。如表2所示。

表2：表中条目为 a^2 + b^2 + ab

所以蜥蜴的数量不可能翻倍。（注意：我们只允许在变换中使用密铺的分隔线作为切割线。)

条形网格

在埃舍尔的作品中还有一个很好的例子，他用接合点代替了拼块。这就引出了处理密铺格的第三种方法：我们可以将密铺格分割成一组全等的条格，其中每个条格都由一组相连的接点组成。出于多种原因，我将这组网格分为两类：a) 有交叉条的网格；b) 无交叉条的网格。

埃舍尔的版画《观景楼》（第 135 页）就是第一类中的一个例子。如果仔细观察建筑物的下部窗户，就会发现铁窗棂是用铁条构成的：水平铁条穿过垂直铁条上的孔，反之亦然（图 54 展示了一扇窗户的特写）。在埃舍尔生活过几年的罗马，你可以找到很多这种铁窗的例子。你可能会觉得这没什么特别的。但我在罗马看到的所有铁窗都可以很容易地拆卸，只需将铁条相互滑动即可。图 55 中的照片展示了一种不同的系统。拆卸的方法是绕着中间部分，从四个方向分别松开栅栏，直到窗网完全散开。然而，当我们看到埃舍尔的设计（图 56 中的细节图）时，就会发现这种网总是保持在一个整体中。埃舍尔对这一主题做出了自己的"不可能"变体。

达芬奇

现在我们来看第二类条形网格：无交叉条形网格。图 4 展示了这种条形网格的一个例子。请注意，在这个例子中，所有的条形网格都可以看作是三个接合点（网格的三个连续边缘）的组合。这似乎是一个理想的数字。有了这个额外的限制，我们就可以定义一个构造系统如下：三横条网格是由单位长度为 3 的横条构成的，因此我们可以在横条上定义四个连接点：两个端点和两个中间点。条形只能以一种方式连接：一根条形的端点连接另一根条形的中间点。每根横杠上的每个点都应与另一个点相连。

根据这一定义，可以设计出许多不同的规则网格（图 57-60 只是其中的几个例子）。在使用这一系统几个月之后（它被证明是穹顶、球体、柱子等的完美建筑系统），我发现了达芬奇的图纸[2]，在图纸中可以看到这些条形网格的三个例子（图 61），可能是用于屋顶建筑的！

列奥纳多的条形网格系统手稿

利用有限条形网格系统（其中的条形必须是弯曲的，这样它们才能按照规则连接起来），我们可以构造出一些正多面体和半正多面体，这也是埃舍尔和达芬奇最喜欢的主题。每个顶点都有三个面相交的多面体可以用达芬奇的非交叉型条形网格来构建。图 62 是一个四面体，图 63 是一个十二面体，图 64 是一个截顶八面体。每个顶点都有四个面相交的多面体可以用埃舍尔的交叉型条形网格来构造。在一些示例图中，突出显示的是一个条形的单个闭合环。图 65 显示的是一个八面体，图 66 显示的是一个长方体，图 67 显示的是一个菱形长方体，彩板 27e 和 f 显示的是一个截顶十二面体和一个菱形十二面体。

虽然这里显示的数字是计算机生成的，但我已经成功地用木材、丙烯酸和其他材料构建了数字模型。它们不需要胶水或紧固件——单个“杆”仅通过交织结构固定在一起。

1.M·C·埃舍尔，阿特拉尼景观，绘画，1931年5月25日

这幅画是对访问“M·C·埃舍尔，1898-1998:1998年6月24日至28日在罗马拉韦洛举行的国际会议”网站的人的问候尽管埃舍尔在60年前记录了这个地点，但它几乎没有变化。与J.A.F. De Rijk拍摄于1973年的封面照片相比

2. M.C. 埃舍尔，对称图 20，1938 年 3 月。铅笔、墨水、水彩

3. M.C. 埃舍尔，对称图 78，1950 年 10 月。铅笔、墨水、水彩

4. M.C.埃舍尔，《圆极限3》，1959 年。木刻

5. M.C. 埃舍尔，《三个相交的平面》，1954 年。木刻

6.道格拉斯·德纳姆。6色对称的双曲线图案，基于埃舍尔圆形极限3和{10，3}密铺的鱼图案

7.道格拉斯·德纳姆。8色对称双曲图案，基于埃舍尔70号对称图的蝴蝶图案和{7，3}密铺图案

8. 玛乔丽·赖斯，《芙蓉花》，1978 年。彩色铅笔和墨水

9. 玛乔丽·赖斯，《玫瑰》，1998 年。彩色铅笔和墨水

10. Makoto Nakamura，《树林中的诡计》，1991 年。水粉画

11. Makoto Nakamura，《风与波》，1993 年。水粉画

12. 伊娃·诺尔，《变化的拼块》，1993 年。计算机生成

13. 伊娃·诺尔，《水生 S》，1993 年。印刷和手工上色

14. 伊娃·诺尔，系列 XIII，1992 年。丙烯酸画布

15. Robert Fathauer，基于彭罗斯P1型的非周期性密铺

16. Robert Fathauer，《分形蛇》，1994 年。丝网印刷

17.Victor Donnay。

a施瓦茨p曲面。

b测地线运动是混沌的球体。

c施瓦茨p曲面的四个副本。

d测地线运动为混沌的环面

18. 道格拉斯·邓纳姆制作的双孔环面，用埃舍尔的密铺装饰

19.迪克·特梅斯，鱼眼视图，1995年。亚克力球体上的丝网印刷

20.迪克·特梅斯，巴黎圣母院，1995年。聚乙烯球形丙烯酸树脂

21.乔斯·德·梅伊，一扇既能看到外面又能看到里面的窗户，为Ars & Mathesis之友创作，1993-94。布面丙烯

22.乔斯·德·梅伊，广阔温暖沙漠中的挡风玻璃，1996年。布面丙烯

23.维克多·阿塞维多，《外质厨房》，1987年。计算机图形

24.花边制作者维克多·阿塞维多，1997年。计算机图形

25.泰迦·克拉塞克。准晶世界。1996.布面丙烯

26.泰迦·克拉塞克。准立方体诉1997。布面丙烯

27. Rinus Roelofs.

a 五色六边形编织图。

b 四层交织的八角方形密铺图。

c 由立方体边缘组成的环形网。

d 不可能的彭罗斯三维网格。

e 网格截顶十二面体。

f 网格菱形十二面体

参考文献

[1] S.J. Abas and A.S. Salman, Symmetries of Islamic Geometrical Patterns, London, World Scientific, 1995.

[2] Leonardo da Vinci, Codex Atlanticus, f 328 v-a (1508-1510). Reproduced in Leonardo Architect, by Carlo Pedretti, Translated by Sue Brill, New York, Rizzoli International Publications, 1985.

[3] Daniel Sheets Dye, Chinese Lattice Designs, New York, Dover Publications, 1974. Reprint of A Grammar of Chinese Lattices, Harvard University Pr., 1937 and 1949.

[4] M.e. Escher, Regelmatige vlakverdeling (1958), translated into English and reproduced in M.e. Escher, His Life and Complete Graphic Work, EH. Bool et ai, eds., New York, Harry Abrams, 1982. Also (a different translation) in Escher on Escher: Exploring the Infinite, New York, Harry Abrams, 1989.

[5] B. Griinbaum and G.e. Shephard, Tilings and Patterns, New York, W.H. Freeman, 1987

[6] D. Schattschneider, Visions ()f Symmetry: Notebooks, Periodic Drawings, and Related Work of M.e. Escher, New York, W.H. Freeman, 1990.

[7] Rinus Roelofs, Not the Tiles, but the Joints: A little Bridge Between M.e. Escher and Leonardo da Vinci

青山不改，绿水长流，在下告退。

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