这批名家经典，让你透彻理解数学 | 书单

一本好的教科书是所有学习者必不可少的“学术利器”，经过时间和市场检验的经典教材往往出自大家之手。如果你感觉一门高深的学问学不懂学不透，或品不出醇厚的味道，那么请果断换书！

长假伊始，《返朴》与专业的数学及科普品牌“图灵”合作，筛选了一批出自大师之手的经典高数教材，其中很多用于国外顶级高校，既包括专业基础（包括线性代数、微积分等）的教科书，也包括特定领域（如数论、随机过程等）的专著，被国内外教师、学生广泛认可。我们选出的书单中既有广为流传的经典著作（如克雷斯齐格的《泛函分析导论及应用》），也有大家耳熟能详的著名数学家的作品（如陶哲轩的《陶哲轩实分析》、哈尔莫斯的《测度论》、哈代的《纯数学教程》），还有一些来自国外大出版社的畅销读本（如“普林斯顿数学读本”系列）。祝各位读者在龙年手握利器，畅游数学！【欢迎前往“返朴”选购】

1

作者：【美】阿德里安·班纳

译者：杨爽 赵晓婷 高璞

这本经典著作源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安·班纳教授的微积分复习课程，将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在了一起，激励学生不再惧怕微积分，并在考试中获得高分。

作者独创的“内心独白”方式，即问题求解过程中学生们应遵循的思考过程，为我们提供了不可或缺的推理过程以及求解方案。本书的重点在于创建问题求解的技巧，其中涉及的例题从简单到复杂并对微积分理论进行了深入探讨。读者会在非正式的对话语境中体会微积分的无穷魅力。

作者：[美] 史蒂文·J. 米勒（Steven J. Miller）

译者：李馨

本书讲解概率论的基础内容, 包括组合分析、概率论公理、条件概率、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理和模拟等, 内容丰富, 通俗易懂, 并配有丰富的例子和大量习题, 涉及物理学、生物学、化学、遗传学、博弈论、经济学等多方面的应用，极具启发性。

作者：[美]拉菲·格林贝格（Raffi Grinberg）

译者：李馨

本书是《普林斯顿××读本》系列图书的第二本，该套书的论述风格友好、平易近人，通过作者与读者之间的互动对话和相关示例非常清晰地阐明了数学概念，提供了命题和定量逻辑方面的知识，可以使读者精通自己的数学思路。本书讲解了学习实分析的基础内容，包括基本的数学与逻辑、实数、集合、拓扑、序列等．作者以通俗易懂且略带幽默的口吻讲述了两步式求解方法：首先展示如何回溯到求解问题的关键，之后说明如何严谨规范地写下解题过程。书中还给出了丰富的示例，帮助学生巩固所学知识。

2

作者：[日]神永正博

译者：李慧慧

本书为微积分入门科普读物，书中以微积分的“思考方法”为核心，以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义，解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。本书讲解循序渐进、生动亲切，没有烦琐计算、干涩理论，是一本只需“轻松阅读”便可以理解微积分原理的入门书。

3

作者：[日]小平邦彦

译者：裴东河

本书为日本数学家小平邦彦晚年创作的经典微积分著作，有别于一般的微积分教科书，本书突出“严密”与“直观”的结合，重视数学中的“和谐”与“美感”，讲解新颖别致、自成体系，论证清晰详尽、环环相扣，行文深入浅出、流畅易读，从原理、思想到方法、应用，处处体现了小平邦彦的深厚功力与广阔视野。作者着眼数学分析的深处，结合自身独到的思考与理解，从严谨的实数理论出发思谋微积分，通过巧妙引导，启发读者自主思考，提升对微积分的领悟理解程度。

4

作者：【美】阿克斯勒（Sheldon Axler）

译者：杜现昆 刘大艳 马晶

本书在内容编排和处理方法上与国内通行的做法大不相同，它完全抛开行列式, 采用更直接、更简捷的方法阐述了向量空间和线性算子的基本理论。书中对一些术语、结论、数学家、证明思想和启示等做了注释，不仅增加了趣味性，还加强了读者对一些概念和思想方法的理解。本书起点低, 无需线性代数方面的预备知识即可学习，非常适合作为教材。另外，本书方法新颖，非常值得相关教师和科研人员参考。

5

作者：[日]斋藤正彦

译者：游杰、段连连、康建召

本书为日本东京大学数学教学成果的总结性著作，由时任东京大学理学院院长弥永昌吉教授策划，教学经验丰富的斋藤正彦教授执笔创作，是日本久负盛名的线性代数图书。本书内容结合了东京大学教养学部的线性代数课程实践，以及东京大学数学系诸多教授的探讨与思索。本书内容循序渐进，结构严谨，从直观描述开始，逐步引入形式描述，注重从几何角度引导读者理解线性代数的本质，是帮助读者学习线性代数、加深对线性代数理解的数学教材。

6

作者：[美]特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）

译者：刘伟安

本书以五幕数学剧的形式直观地讲述微分几何和微分形式，包括“空间的实质”“度量”“曲率”“平行移动”和“微分形式”。在前四幕中，作者把“微分几何”回归为“几何”，使用200多幅手绘示意图，运用牛顿的几何方法对经典结果做出了几何解释。在第五幕中，作者介绍了微分形式，以直观的几何方式处理高级主题。本书作者挑战性地重新思考了微分几何和微分形式这个重要数学领域的教学方式，只需要基本的微积分和几何学知识即可阅读本书。

（参见《他写了一本微分几何教材，豆瓣评分9.9分 | 展卷新书》）

作者：[美]特里斯坦·尼达姆

译者：齐民友

本书是在复分析领域产生了广泛影响的一本著作. 作者独辟蹊径，用丰富的图例展示各种概念、定理和证明思路, 十分便于读者理解, 充分揭示了复分析的数学美. 书中讲述的内容有作为变换看的复函数、默比乌斯变换、微分学、非欧几何学、环绕数、复积分、柯西公式、向量场、调和函数等。

（参见《数学家齐民友：大学本科生的数学教材应该是怎样的？》）

7

作者：[美]威廉·费勒

译者：郑元禄

本书是威廉·费勒的著作《概率论及其应用（卷1）》的续篇。第1、2、3、6章介绍了各种重要的分布和随机过程；第7、8、16、17章讨论大数定律、中心极限定理和无穷可分分布；第9、10章讨论半群方法与无穷可分分布、马尔可夫过程的关系；第11章为更新理论；第12、18章论述随机游动及傅立叶方法的应用；第13、14章论述拉普拉斯变换及其应用；第19章为调和分析。

作者：[美]威廉·费勒（William Feller）

译者：胡迪鹤

本书涉及面极广，不仅讨论了概率论在离散空间中的诸多课题，而且涉及了概率论在物理学、化学、生物学（特别是遗传学）、博弈论及经济学等方面的应用．书中主要内容有：样本空间及其上的概率计算，独立随机变量之和的随机起伏，事件的组合及条件概率，离散随机变量及其数字特征，大数定律，离散的马尔可夫过程及其各种重要特征，更新理论等。除正文外，本书还附有数百道习题。

作者：[日]伊藤清

译者：闫理坦

本书为日本数学家伊藤清创作的现代概率论著作。书中以最小限度的预备知识为前提，以简练的笔法系统讲解了测度论基础，以及现代概率论的基础体系与概念，为引导读者理解“随机过程”，特别是Markov过程做了细致准备。书还展示了“伊藤引理”的构想原点，收录了概率论发展的历史过程。对于背景知识较为薄弱的读者，作者为其准备了一条了解现代概率论轮廓的轻快之路。

本书适合相关专业的本科生、研究生和教师阅读学习，也适合作为数学、物理、金融等领域的研究者的参考资料。

作者：[日]伊藤清

译者：刘婷婷

本书为日本数学家、沃尔夫奖、高斯奖、京都奖得主伊藤清的数学思想文集。书中梳理了他学习数学、走上数学研究道路的经历，收录了他关于“数学与科学”“直观与逻辑”“纯粹数学与应用数学”“数学的科学性与艺术性”等方面的思考，同时也完整记录了他创立著名的“伊藤引理”的过程与感悟。本书是了解伊藤清数学思想的珍贵资料，也可作为了解概率论相关概念与发展的读本。（参见《沃尔夫奖得主伊藤清：我是如何开始概率论研究的？》）

作者：[美]伯特瑟卡斯（Dimitri P.Bertsekas），[美]齐齐克利斯（John N.Tsitsiklis）

译者：郑忠国，童行伟

本书是在MIT开设概率论入门课程的基础上编写的，其内容全面，例题和习题丰富, 结构层次性强，能够满足不同读者的需求. 书中介绍了概率模型、离散随机变量和连续随机变量、多元随机变量以及极限理论等概率论基本知识, 还介绍了矩母函数、条件概率的现代定义、独立随机变量的和、最小二乘估计等高级内容。本书可作为所有高等院校概率论入门的基础教程, 也可作为有关概率论方面的参考书。

8

作者：约翰·K. 克鲁施克（John K. Kruschke）

译者：王芳

如果你认为统计学很难，或许是因为你在入门时错过了本书。本书篇幅大、内容全，其可读性却出人意料地高。作者从概率与程序设计的基本概念出发，带你逐渐掌握实际数据分析中常用的高级模型。你会知道，入门贝叶斯统计并不需要天赋或魔法，只需一页一页地跟随本书学习即可。

9

作者：[加]欧文·克雷斯齐格（Erwin Kreyszig）

译者：蒋正新 吕善伟 张式淇

本书是学习泛函分析的一部优秀入门书，被欧美众多大学广泛用作数学系、物理系本科生和研究生的教材。全书共11章，包括度量空间、赋范空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间、不动点定理及其应用、逼近论、赋范空间中线性算子的谱论、赋范空间中的紧线性算子及其谱论、有界自伴线性算子的谱论、希尔伯特空间中的无界线性算子、量子力学中的无界线性算子等内容。

10

作者：[美]保罗·哈尔莫斯（Paul Richard Halmos）

译者：程晓亮 徐宝 华志强

测度论是研究一般集合上的测度和积分的理论，近年来在现代分析的应用中已显示出极大的潜力。作为测度论中的“圣经”，本书的主要目的是对测度论进行统一的介绍，内容有：集合与集类、测度与外测度、测度的扩张、可测函数、积分、一般集函数、乘积空间、变换与函数、概率、局部紧空间、哈尔测度、群的测度和拓扑。

11

作者：[英] 戈弗雷·哈代 [英] 爱德华·赖特

译者：张明尧 张凡

本书是一本经典的数论名著，取材于作者在牛津大学、剑桥大学等大学授课的讲义. 主要内容包括素数理论、无理数、Fermat 定理、同余式理论、连分数、用有理数逼近无理数、不定方程、二次域、算术函数、数的分划等内容。 每章章末都提供了相关的附注，书后还附有译者编写的相关内容的最新进展, 便于读者进一步学习。

作者：[日]远山启

译者：逸宁

本书是初等数论入门的通俗科普读本。书中以身边的生活之事为例，由浅入深、生动形象地介绍了数的奇妙性质与规律。作者用直观、易懂的讲解，引领读者去体会数论证明的不可思议与酣畅淋漓，在惊奇与畅快之中提升对数学的理解程度。本书可作为学生了解数论、提高算术能力的辅助读物，也可作为技术人员理解计算科学的参考用书。

12

作者：[日]高木贞治

译者：冯速 高颖

本书为日本数学家、“日本现代数学之父”高木贞治创作的分析学入门名著。被誉为日本现代数学发展的“不动之根基”，也成为日本所有微积分教材、专著的参考原点。从实数理论出发，以初等函数理论为重点，将数学分析的发展脉络与整体结构清晰地呈现在读者眼前。日本岩波书店的“定本”版本，在第3版修订版的基础上，还收录了关于“Takagi函数”的解读文章。本书适合相关专业的本科生、研究生和教师阅读学习，也适合作为数学、物理等领域的研究者的参考资料。

13

作者：[美] 吉恩·戈卢布（Gene H. Golub） [美] 查尔斯·范洛恩（Charles F. Van Loan）

译者：程晓亮

本书是已故美国科学院院士、美国工程院院士吉恩·戈卢布等人的经典巨著，是矩阵计算领域的标准性参考文献。本书系统介绍了矩阵计算的基本理论和方法．内容包括：矩阵乘法、矩阵分析、线性方程组、正交化和最小二乘法、特征值问题、Lanczos 方法、矩阵函数及专题讨论等。书中的许多算法都有现成的软件包实现，每节后附有习题，并有注释和大量参考文献。第4 版增加约四分之一内容，反映了近年来矩阵计算领域的飞速发展。

14

作者：[英]戈弗雷·哈代， [英]约翰·李特尔伍德， [美]乔治·波利亚

译者：越民义

本书是哈代、李特尔伍德、波利亚合著的一部经典之作，作者详尽地讨论了分析中常用的一些不等式，涉及初等平均值、任意函数的平均值和凸函数理论、微积分的各种应用、无穷级数、积分、变量积分的一些应用、关于双线性形式和多线性形式的一些定理、希尔伯特不等式及其推广等内容。

15

作者：[英]戈弗雷·哈代

译者：张明尧

本书是一部百年经典，在20世纪初奠定了数学分析课程的基础。书中对数学分析这一基础课程的重要内容——微积分学进行了系统的阐述，对很多经典的数学给出了严谨的证明方法，是Hardy数学思想智慧的结晶。另外，书中收集了许多极富思考价值的练习题，值得一提的是，还收集了当年英国剑桥大学荣誉学位考试所采用的试题。

16

作者：[英]马克·阿姆斯特朗

译者：孙以丰

本书是一部拓扑学入门书。作者主要介绍了拓扑空间中的拓扑不变量，以及相应的计算方法。本书涉及点集拓扑、几何拓扑、代数拓扑中的各类方法及其应用，并包含大量的图解和难度各异的思考题，有助于培养学生的几何直观能力和对本书的深刻理解。本书内容浅易，注重抽象理论与具体应用相结合。

17

作者：[澳]陶哲轩（Terence Tao）

译者：李馨

本书主要介绍了数学分析中的内容，以构造数系和集合论开篇，逐渐深入到级数、函数等高等数学内容，举例详实，每部分内容后的习题与正文内容密切相关，有利于读者掌握所学的内容。本书在附录部分还介绍了数理逻辑基础和十进制，突出了严格性和基础性。

18

作者：[比利时]英格里德·道贝切斯（Ingrid Daubechies）

译者：贾洪峰

本书是数学界公认的经典名著，包含了20世纪80年代以来世界上有关小波分析的最先进成果，全面论述了小波分析的主要原理和方法，并给出了大量实践例题，描述了小波的许多应用。本书适合工程数学、信号分析、通信等方向的科研人员和高等院校相关专业师生。

（参见《象牙塔中的另类数学家：沃尔夫数学奖第一位女性得主英格丽·多贝西》）

19

作者：[美]罗斯（Sheldon M. Ross）

译者：龚光鲁

本书是一部经典的随机过程著作，叙述深入浅出、涉及面广。主要内容有随机变量、条件期望、马尔可夫链、指数分布、泊松过程、平稳过程、更新理论及排队论等，也包括了随机过程在物理、生物、运筹、网络、遗传、经济、保险、金融及可靠性中的应用。特别是有关随机模拟的内容，给随机系统运行的模拟计算提供了有力的工具。最新版还增加了不带左跳的随机徘徊和生灭排队模型等内容。本书约有700 道习题，其中带星号的习题还提供了解答。

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