基本图形再挖掘——2024年湖北省中考模拟数学第23题

基本图形再挖掘

2024年湖北省中考模拟数学第23题

万众瞩目的2024年湖北省中考模拟数学（非武汉地区）卷，整体难度较低，这是面对全省各地区过大的差距进行的一种妥协，在难度分布上，仍然依照“斜锯齿”原则进行了调整，其中选择题第10题和填空题第15题相对略有提高，第23题较为平和，第24题最后一问难度较高。

和武汉地区的几次元调模拟卷相比，第23题几何综合的难度大大降低了，体现了有别于武汉地区的命题风格，本题取材于课本习题，基调是旋转全等，融入了轴对称、勾股定理等，对学生观察图形能力提出了较高要求，受困于第3问的学生，多数原因是图形间的关联未能找到，或者说平时课堂学习中，观察图形的培养存在较大问题，这在后期教学中值得注意。

题目

在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，旋转角小于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，DE交AB于点O，延长DE交BD于点P.

(1)如图1，求证：PC=PE；

(2)当AD∥BC时，

①如图2，若CA=6，CB=8，求线段BP的长；

②如图3，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，判断F是否为线段BD的中点，并说明理由.

解析：

0 1

(1)基本思路连接AP构造全等，利用旋转前后两个三角形全等，得到AE=AC，再加上公共边AP，得Rt△APE≌Rt△APC，所以PC=PE，如下图；

0 2

(2)①新增条件AD∥BC后，事实上整个图形是静态图形，我们可得到∠DAO=∠B，同时由于旋转全等，∠B=∠D，于是∠DAO=∠D，即等腰△AOD；

当CA=6，CB=8时，首先可得它们的对应边AE=6，DE=8，在Rt△AOE中，我们设法表示出其三边长，再利用勾股定理列方程即可，设OA=OD=x，则OE=8-x，由OA²=OE²+AE²，得方程x²=(8-x)²+36，解得x=25/4；

仍然由AD∥BC可证明等腰△BOP，并且利用前面求得的x，先求出OE=8-25/4=7/4，再求出OB=AB-OA=10-25/4=15/4，于是OP=OB=15/4，所以PE=OP-OE=15/4-7/4=2，则PC=PE=2，最后BP=BC-PC=8-2=6；

当然本题也可以利用相似来完成，但对于本次省考模拟的考试范围，超纲了，简略说明如下：△AOD∽△BOP，且相似比为5：3，所以求得BP=6；对于学生使用此方法完成，个人意见是不予全分，以免滋生超纲学习的不正之风；

②作为本题难点，关键是识图，在前面结论中PC=PE，说明△PCE为等腰三角形，恰好还有条件AD∥BC，所以当我们延长CF、AD交于点G，便可得到另一个等腰△DEG，如下图：

若想证明点F为BD中点，则需要证明△DFG≌△BFC，它们在平行线间，所以相等的角众多，我们重点寻找边相等的条件；

从旋转全等中可得DE=BC，再加上等腰△DEG中DE=DG，于是DG=BC，全等条件已经齐备，于是△DFG≌△BFC，得DF=BF，即点F为线段BD中点.

解题思考

本次模拟省考的考试范围在考前广泛征求过意见，最终确定为七年级、八年级以及九年级上册内容，从整卷命题中也能发现，严格遵循了上述范围要求，当然由于初中数学各章节的关联紧密，不可避免地会出现能够使用九年级下册的知识去解题，所以对于阅卷标准提出了较高要求，仁者见仁，智者见智吧！

从学生实际答题体验来看，很多中等生完成前面基础部分毫无压力，只是在第10题和第15题消耗了较多时间，而这两道题中第10题是可以利用函数图象性质秒杀的，第15题是可以大胆猜想特殊三角形的，这都在一定程度上提供了“捷径”，只是这个捷径要想走通，需要平时对数学知识的深度理解，浅一点都不行，这就有效地区分出了中等生和学霸，耗时长且正确率不稳定的基本上是中等生，学霸基本可以做到秒杀。

第23题与传统武汉几何综合存在不小差距，首先是难度，以元调模拟题为对照，确实小儿科，没有设置高门坎，在目前难度下要想获得较好的区分度，很不容易，如果拿到武汉地区考生，可能本题满分人数会大大增加，造成优分层的混淆；其次是数学思想，本题3个小题间关联较弱，几乎可以看作相互独立的问题，与武汉几何综合相比，方法迁移基本看不出来，反倒是给学生不断搭梯子，给人感觉是很小心地设置条件和结论，生怕难度超标，心疼一下命题专家们。

最后，第23题在重重限制之下，仍然让中等生感觉到了“难”，这是正确的命题思路，未来真正的省考，想必不会戴上如此枷锁，所以更大的考验，在六月。