素数与合数：初探数字世界的两种基本力量

素数和合数是数论中最基本的对象，其中素数的研究历经千年，一直是数论研究的中心。

从古希腊的欧几里得到现代数学的素数定理，素数的独特性质以及其分布的规律始终激发着无数数学家的探索热情。不仅如此，随着时代的发展，素数的应用已经从纯理论数学延伸到了密码学、计算机科学等多个领域，尤其是在公钥加密和数字签名等关键技术中扮演着至关重要的角色。

在数学中，合数（composite number）是指一个正整数，它有超过两个不同的正因数，即除了 1 和它本身以外，它还能被其他正整数整除。

对于合数的定义通常关注正整数，因为质数和合数的定义和因数分解通常在正数范围内讨论。然而，如果我们考虑负整数，合数的概念可以拓展到负数。

▼ 用古氏积木排列出合数10的因数，By Hyacinth and Smitop,(图自维基)

就是说每一个合数除了这样种显而易见的分解方式 c=1×c=c×1 之外，被写成两个正整数 a 和 b 的乘积 n=a×b，其中 a 和 b 都大于 1，称为非平凡因子（Non-Trivial Divisor）。

另一方则是素数(prime number)，这类数只拥有 1 和其本身这两个因数。例如，2、3、5 和 7 都是素数。而合数比如 4（等于 2 乘以 2）、6（等于 2 乘以 3）、8（等于 2 乘以 4）等等。

▲ 数字12不是素数，因为将12以每4个分成1组，恰可分成3组（也有其他分法）。11则无法分成数量都大于1且都相同的各组，而都会有剩余。因此，11为素数。(图自维基)

了解素数的一些重要性质

• 素数的概念可以追溯到古希腊数学家欧几里得的时代。欧几里得在他的著作《几何原本》中就证明了素数有无穷多个。这个定理至今仍然是数论中的一个基础性质。
• 素数定理：随着数字的增大，素数的出现频率逐渐减少。粗略地说，一个随机从大于 x 的正整数选出数是素数的概率大约是 1/ln(x)。
• 分布的不规则性：素数的分布在小的尺度上是相当不规则的。但在大的尺度上遵循一定的分布规律（比如素数定理）。

• 算术基本定理告诉我们，每个大于 1 的自然数要么自身是一个素数，要么可以写成素数的乘积，而这种写法还是唯一的（按因子大小排序后）。

了解合数的一些重要性质

• 每个合数至少有三个因子：1、它自己和另外一个小于它自己的数。这个小于它自己的数是它的真因子。
• 合数的分解：根据算术基本定理，每个合数都可以分解为素数的乘积，这个分解是唯一的。
• 因数的性质：如果 n 是合数，那么 n 必有一个素因数 p，满足 p≤√n。这个性质对于分解合数尤其重要，因为它意味着在寻找合数的因子时，我们只需要检查到其平方根即可。