伊斯兰几何图案的网格法分类

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本文根据构建对称元素时使用的最小网格数 (MNG) 和最小几何形状 (LGS)，提出了伊斯兰几何图案 (IGP) 的合理分类。现有的按对称群对重复图案进行分类的方法在很多情况下并不恰当[Joy97]。对称群理论与相关工匠的思维方式无关，完全忽略了单位图案的属性，只关注排列格式。本文认为，目前的对称群理论只是将其作为排列格式，而不是对伊斯兰几何图案的分类，因为它们采用的是"全局方法"，未能探索伊斯兰几何图案建筑元素中的各种可能性。星形是伊斯兰几何图案中最重要的元素，也是中心玫瑰花形，它构成了本文研究的核心。本文提出了新的命名法，用于描述基于MNG和LGS 的单元图案，用于构建可用于实现最终设计的星形/玫瑰花形图案。本文描述并演示了根据这种分类方法，在单元图案最终设计所决定的网格中构建星形/轮状单元图案的程序。

1. 简介

早在一千多年前，伊斯兰工匠就开始在宫殿、清真寺和尖塔的表面装饰伊斯兰几何图案[Sai76]。这些几何图案始终如一地在表面上布满星形区域，形成极具视觉效果的对称图案，因此被称为 "伊斯兰几何图案"。这些几何图案在历史上常常令群理论家们敬畏不已，他们一直在努力对这些结构进行审慎的分类。人们曾多次尝试对星形/玫瑰纹图案进行分类，结果产生了各种各样的构造组别和分类方法。Grunbaum和Shephard在试图在获得基本单元后，根据对称群对这些几何图形进行分解，从而得出原始图案的属性[Gru92]。欧洲的群论家 Dewdney 等人提出了一种基于周期性放置的圆的反射线的分类方法 [Dew93]。Lee 提出了伊斯兰几何图案共同特征的简单构造，但未能提出基准分类定理 [Lee95]。此外，IGP 的一个重要方面也未能吸引任何类型的分类，那就是线条向间隙区域的天真延伸。为了描述延伸区域与单位图案之间的关系，我们对现有的推断几何图形的复杂性进行了深入研究。阿巴斯（S.J. Abbas）和萨尔曼（A. Salman）在其具有里程碑意义的论文《伊斯兰几何图案的对称性》（A Symmetries of Islamic Geometrical Patterns）中坚定地认为，到目前为止，还没有人对伊斯兰几何图案进行有价值的分类，并特别关注其构造 [Abb95]。本文提出的论点是，"7种饰带群 "和 "17种墙纸群 "等流行的现有对称群纯粹是基础模型。需要在研究单元图案构造的基础上进行更精细、更完善的分类，并特别关注单元图案的网格系统。通过 MNG、LGS 和网格的排列和组合，这种分类法为单元图案的完成提供了无限可能。

2. 对称

对称意味着平衡、部分重复或形式简单统一。对称仅仅意味着图案。但对称的范围远不止吸引人的建筑和漂亮的图案那么简单。不过，在数学上，对称可以简单地定义为集合在变换下的属性不变[Abb92]。群论表明，在一维对称周期图案中，可分析为七种不同类型，并提供识别特定对称类型所需的信息 [Abb95]。同样，在二维对称周期图案中，可以生成和识别十七种不同类型的图案。单维对称图案被称为 "7种饰带群"，二维对称图案被称为 "17种墙纸群"。本文通过分析对称图案各个元素的构造，直观地介绍了伊斯兰几何图案中强大的图案和对称概念。下文将介绍现有的传统对称群理论，以支持我们的观点，即它们只是排列图案，而不是几何图形的分类理论，更不用说伊斯兰几何图案了。

3. 7种饰带群

保持给定直线不变（包括沿直线平移）的等距群称为饰带群。等距可定义为平面或空间的线性变换，它保持了点与点之间的距离。Andrew Glassner[Gla99]对饰带群、摩尔纹、镜面反射和周期性密铺等许多相关主题进行了非常有启发性的研究，为了说明7种饰带群的论点（见图 1），我们将介绍每个饰带群的属性。他展示了创建物理模型的价值，使我们能够扩展我们的可视化技能和对主题的感知。必须指出的是，从非常明确的意义上讲，饰带群理论误导了对伊斯兰几何图案的分类。数学家发现，用对称群来解释图案的规则性是非常方便和有用的。这样，代数学和其他数学学科的成果就可以应用于此类图案的研究。然而，可以说这并不是工匠们在创作时所考虑的规则性概念。事实上，直到一个多世纪以前，即使对数学家来说，数学对象的规律性也有着完全不同的含义。这两种方法的区别在很大程度上是全局观点和局部观点的对比。过去，数学家们用全等面、等角和其他局部性质的要求来定义柏拉图多面体等对象的正则性，而现在，人们习惯于用旗子集合上对称群的反证性来定义正则性。同样，工匠们的目的很可能是要创造出几何图案，其中各部分以某种特定的方式与其近邻相关，而不是试图获得无限延伸设计的整体对称性。

图1. Andrew Glassner的7种饰带群[Gal99] 4.

4. 17种墙纸群

已经证实，在两个独立方向上存在17组不同的周期性二维图案。这 17 个图案也被通俗地称为 17种墙纸群。不过，Xah Lee [Lee98] 给出了 17 墙纸群的基本命名法（见图 2）。克拉克大学的 David E. Joyce [Joy97] 在其关于 17 个平面对称群的互联网站中将对称群视为平面图案的分类。他写道：“各种平面图案可以通过使其不变的变换群来分类。对这些群的数学分析表明，正好有不同的平面对称群”。现在，从上面的插图中可以很清楚地看出，饰带群和墙纸群的理论提出了排列基准，使我们能够确定格式图案排列的类型，而不是对单元图案进行分类。此外，我们还可以得出这样的结论，即还没有一种可行的、可论证的方法，从整体上对综合图案进行分类，并特别关注其构造。

图2. Xah Lee [Lee 98] 的17种墙纸群

5. 网格法分类

本文的目的是根据伊斯兰几何图案单元图案的构建提出一种新的分类法，因为事实证明现有的群理论并不能达到这一目的。

通常，任何给定的伊斯兰几何图案都是根据其给定的几何形状来命名的。例如，在 Issam El-Said [Sai93] 的插图中，图案可以因为包含六角星而被归类为六边形图案，也可以因为包含八角星而被归类为八边形图案，等等（见图 3）。但这可能会产生误导，因为大多数伊斯兰几何图案中最受欢迎的元素星形/玫瑰花形可能是由圆形、三角形、正方形、四边形和六边形等几种几何形状组合而成的，而星形/玫瑰花形单元图案可以根据其基本设计进行归一化和分类。因此，我们不把这些图像看作是六边形或八边形的单元图案，而是根据星形/长条形网格的构造和规范化对这些图像进行分类。并研究特定恒星/轮盘的重要属性和特性。在我们的方法中，任何给定的恒星/轮盘都可以通过规范化来解密或解构。这一规范化过程将通过识别构成星形/轮廓图的各个网格来实现。一旦网格元素被分离出来，就能确定可用于实现 n 图案星形/轮盘的基本几何形状。根据我们的观点，星形解剖过程可分为以下几个阶段：

图3 六边形和八边形图案由Issam El-Said在《Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design》[Sai93]中提出。

"Geometric Concepts in Islamic Art, I. El Said。Titus Burckhardt 在该书的导言中指出，所有几何图案都是通过同样的方法得出的，即从圆的和谐分割中得出建筑物（或图案）的所有重要比例....。然而，在某些情况下，作者却忽略了圆的画法，讽刺地揭示了圆的存在对于所谓的 "独特方法 "或 "唯一方法 "是多么的无足轻重（见图 4.2）[Sai76]。

我们在El-Said的《Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design》[Sai93] 一书中发现了同样的图像（见图 5），并清楚地标出了基圆，这表明El-Said并没有忽略在圆中绘制单位图案。在这种情况下，我们可以说（图 4）是从一个不同的、方便的维度来观察的，以便于得出合适的结论来证明 W.K. Chorbachi 提出的定理。（图 5）中的圆是（图 4）的复制品，它确实构成了设计单位图案的基础平面，这也是本文所要论证的。

图4. 此图摘自 W. K. Chorbachi，《Tower of Babel, Beyond Symmetry in Islamic Design》[Cho89]的图 4.2，显示在推导此图案时没有出现圆。摘自 I. El-Said，《Geometric Concepts in Islamic》[Sai76]。

图 5. 圆形确实出现在单元图案中。摘自 I. El-Said, Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design [Sai93]。

5.2 分割阶段

在这里，我们将圆（360 度）除以 x 个点，从而得出星形/玫瑰花形的预期设计。

5.3 编排网格阶段

网格划分阶段将启动网格划分过程。该阶段是本文所述按时间顺序排列的阶段中最重要的阶段。我们注意到，伊斯兰几何图案中的星形图案/玫瑰图案的设计格式多种多样，彼此迥异。由于伊斯兰教本身遍布各大洲，每个国家都为伊斯兰艺术贡献了自己的艺术遗产。在这种背景下，要正确解读星形图案，就必须在非常正确的指导下努力了解星形图案的类型。我们知道这项工作的复杂性，因为伊斯兰艺术的本质是非常复杂的，而任何复杂的艺术都很难正常化。这一阶段的核心目标是参照用于实现伊斯兰几何图设计的最小网格数 (MNG) 和最小几何形状 (LSG) 对星形图案/玫瑰图案进行描述和分类。

我选择了一个不同寻常的复杂图案来演示我们的分类方法（见图 6）。该图案摘自E. Hanbury Hankin 所著的《数学报》"Some Difficult Saracenic Designs, A Pattern Containing Fifteen Rayed Stars"[Han36]。在任何给定的单元图案中，都需要根据我们的方法进行分类，我们首先要在给定的单元图案中寻找不同类型的星形/玫瑰花形。我冒昧地给汉金给出的单元图式涂上了颜色，以显示给定单元图式中不同类型的星形/玫瑰花形。给定的单元图案与众不同，因为它由两种类型相似但设计不同的星星组成；一种是十二芒星，尺寸较小，另一种是十五芒星，尺寸较大。让这个图案显得格外特别的是，这两颗不同大小的星星之间用一组网格线精美地连接在一起。星星的大小并不影响我们的分类，影响我们分类的是每颗星星/玫瑰花瓣的设计方法及其网格属性。因此，我们得出结论，这个给定的单元图案的第一个属性是它由多个星形/网格组成。如果我们开始按照汉金的标准或规范，根据传统的饰带群和墙纸群理论对单元图案进行分类，我们将不得不把封闭区域作为主要的单元图案。这样，我们就通过了图像的有限元素或有限属性。下文将详细阐述基于网格元素（MNG）和网格属性（LGS）的伊斯兰几何图案构建规范化过程。

5.3.1 最小网格数 (MNG)

本节是命名规则的第一部分，其目的是确定最小网格数，即在 n 个网格的顶点与网格边平分的情况下，网格相互之间的最小网格数。这一部分以最终设计为核心目标。一个无限循环的过程是识别交叉点，并设置顶点之间的正确关系，以实现玫瑰花环的二等分。

5.3.2 最小几何形状 (LGS)

这一阶段是命名规则的第二部分，目的是在给定的单元图案中确定用于构建星形/玫瑰花形的最低几何形状。下面的插图（见图7和图8）描述了图案（见图6）的归一化系列，以分别实现十二条射线和十五条射线的星形/轮廓线的分类。

十二射线星形/轮廓图使用 3 个最小网格数（MNG）和一个四边形作为最低几何形状（LGS），而十五射线星形/轮廓图使用 3 个最小网格数和一个五边形作为最低几何形状。因此，我们将这种图案（见图 6）归类为 网格 3 四边形/五边形类。

图 6：E. Hanbury 的图案，包含十二（红）条射线和十五（蓝）条射线的星形/轮状图案，《数学公报》"Some Difficult Saracenic Designs"[Han36]。

图 7. 12 射线星被归类为（网格 3 四边形类），因为它至少使用了 3 组网格，最低的几何形状是四边形。

图 8. 15 射线星被归类为（网格 3 五角星类），因为它至少使用了 3 组网格，最低的几何形状是五边形。

图 9. 显示一些伊斯兰几何星形/玫瑰花形的分类。

在这些部分之后是一系列图像，它们将以非常合理和直观的方式说明归一化过程，并以可呈现的方式提出我们的观点（图 9）。

5.4 艺术阶段

这是第四个阶段；网格划分完成后，我们可以通过为网格内部线条赋予权重的方式，为网格赋予必要的艺术属性，从而设计出所需的星形/轮廓图。这一阶段还包括为 "星形/轮廓图 "的各个部分着色和填充。

5.5 扩展阶段

第五阶段是 "名义 "或 "幻影 "阶段，因为这一阶段可能存在，也可能不存在。在这一阶段，自然延伸将在概念边界（通常为正方形或矩形）内和边界外的外部区域完成无缝网格（见图 7 和图 8）。

图 10. 此图为 W. K. Chorbachi [Cho89] 的图 4.3，显示圆的方案与长矩形单元不符，标出了一个变化区。来自 I. El-Said [Sai76]。

在大多数设计中，El-Said[sai 93]将正方形视为明确的外部边界(由圆和圆以外的相关网格扩展组成的边界)。在这种情况下，W.K. Chorbachi[CHO 89]曾说过，在所有的设计中并不总是能找到正方形。在他的书《巴别塔:超越伊斯兰设计中的对称性》的节选中，他写道:“……最后，在一些设计案例中，不可能掩盖分析方法不成立的事实。这些图(图4.3)显示为包含一个基于变化的非标准区域。细长的矩形区域显然属于“单向”的2重对称概括，其在4重对称组的正方形中被压倒性地表示。在插图中(见图10 ), W.K. Chorbachi认为矩形是设计的外部边界，并证明正方形不可能总是被标记为外部边界。然而，他也认为外部边界在设计中是不可或缺的。但是，正如上面已经证明的那样(见图7和图8 ),外部边界对于星形/玫瑰形设计来说是虚幻的，并且它的存在不能总是被确认，直到并且除非外部网格的存在可以被追踪。

6. 结论

我们可以得出这样的结论：群理论是对排列进行分类，而不是对单元图案进行分类。本文提出了一个可行的定理，使我们能够根据网格属性对任何星形/轮廓图进行分类。它还为星形/轮廓图生成了一个分类名称，为读者提供了有关最小网格数（MNG）和最小几何形状（LSG）的信息，这些信息用于实现伊斯兰几何图案的设计。根据我们的经验，伊斯兰几何图形的分类结果是相对的。在这种情况下，命名方法将根据新研究的结果而改变。

参考文献

[Joy97] Joyce, D. E., The 17 plane symmetry groups Department of Mathematics and computer science,

Clark university, Worcester, MA 01610.

[Sai76] El-Said, I., and Parman, A. Geometrical Concepts in Islamic Art: World of Islam Festival. Publ. Co. London, 1976.

[Gru92] Grunbaum B., and Shephard G.C., Interlace Patterns in Islamic and Moorish art. Leonardo, 25:331-339, 1992.

[Dew93] Dewdney A.K.. The Tinkertoy Computer and Other Machinations, pages 222-230. W.H. freeman,1993.

[Lee95] Lee A.J., Islamic Star Patterns. Muqarnas, 4:182- 197, 1995.

[Abb95] Abbas, S.J. and Salman, A. Symmetries of Islamic Geometrical Patterns, World Scientific, 1995.

[Abb92] Abbas, S.J. and Salman, A. Geometric and Group Theoretic Methods for Computer Graphic Studies of Islamic Symmetric Patterns. School of Mathematics, University College of North Wales, Bangor, Gwynedd, LL57 1UT, UK. Computer Graphics Forum, Volume 11, number 43-53, 1992.

[Gla99] Glassner A. Andrew Glassner’s Notebook: Recreational Computer Graphics. Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco, CA. 1999.

[Lee98] Lee, X., The 17 Wallpaper Groups. http://www.xahlee.org/Wallpaper_dir/c5_17WallpaperGroups.html

[Sai93] El-Said, I. Islamic Art and Architecture: The System of Geometric Design. Grant Publishing Limited, U. K. 1993.

[Cho89] Chorbachi, W.K. In the Tower of Babel: Beyond Symmetry in Islamic Designs. Math Applic. Vol. 17, No. 751-789, 1989.

[Han36] Hankin, E.H., Some Difficult Saracenic Designs Pattern Containing Fifteen Rayed Stars. The Mathematical Gazette, Vol. 18, 165-168, 1934, and 20, 318-319, 1936.

[Ahm99] Ahmad M. Aljamali and Ebad Banissi, Grid Method Classification of Islamic Geometric Patterns

青山不改，绿水长流，在下告退。

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