太精彩了！火柴人VS数学的这个视频我一口气看了无数遍…

一拼一拉一变

百变造型，肆意畅玩

魔幻创意拼凑，玩转空间魅力

等你一起开发空间思维

本文整理转载自：知乎 作者：半数o阿白

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之前超模君在B站冲浪时，就刷到了一条高居热门榜首的火柴人视频。

这条视频的作者@火柴人Alan Becker是一名美国动画大神，他的火柴人系列在YouTube无人不知。在B站，他也拥有300多万的关注。

这回一出手便是“神作”！是直接跟最抽象、难懂的学科——“数学”。

视频的主角是一个橙色火柴人。刚开始，“小橙”在黑色背景中摆弄数字。一不小心，小橙召唤出了欧拉公式，并和它在数字世界中大战一场。

打斗期间，出现了各种眼花缭乱的高等数学公式。凭借密集、晦涩的知识点，这条视频被网友称为史上最难看懂的动画。

全程膜拜着看完后，超模君的第一反应就是脑子要不够用了，需要一个详细的逐帧解析。

这不，就让超模君看到了这个非常棒的剖析文章，也想和粉丝分享。（以下文文章原文）

作者在视觉呈现上极具天赋，里面的数学知识和表示都是经过深思熟虑的。

按照顺序的话，开始部分为基本的算术篇幅较长，可以分段阅读，一次读完是不太现实的。

算术

加法和减法不用多说，其中有一些特殊的细节，当触碰等号的时候，会对左边的表达式化简，而且还可以取出数字符号作为手中的工具，这就为后面的各种旋转，颠倒形成新的运算和符号做了铺垫。

这里出现了欧拉公式-1=e^(iπ)，欧拉公式是复平面上单位圆旋转的特殊值，函数本体为 f(z)=e^(iz) ，限制z为实数，则是以2 为周期的周期函数 f(0)=e^(i0)=e^(0)=1⇔f(2π)=e^(i2π)=cos(2π)+i sin(2π)=1 ，所以也可以称为 圆函数，同三角函数密不可分。

出现了神奇的操作，通过在实数前面添加虚数单位i，打开了虚数世界的大门。这里是一种假想，因为人们发现波函数是复数，可是我们这个世界可以测量的物理量都是实数，于是人们想象存在一个虚数世界，与实数一起构成了复数世界。

从数学上看，实轴乘上i后在复平面旋转了90°，也就是与实数世界垂直，看起来就好像在实轴的一个点容纳了一个新的世界。所以是传送门的形式，而不是单纯的几何变换，如旋转，平移，放缩。

开始演示乘法的构造，是对加法的重复，所以乘法是一种矩阵加法的缩写形式，这里就是 3×3 的数字1矩阵的完全加法。

除法演示，是对减法运算的计数，从一个数字到零需要进行多少次减法。所以，乘法和除法是复杂的数学构造，很多小学生都会在这里卡住，无法理解。因为这里涉及了一种脱离了具体的抽象，将数字切换为运算的次数。

这里巧妙的展现了除以0带来的后果，就像陷入了永无止境的运动中，毕竟非零数字减去无数次的零，也不会减小一个单位，更不用说减到零。这里应该是作者非常满意的地方，给出了一种有趣的可视化解释。

开始探索指数的奥秘，二次方，其实是一种简写8²=8×8，而乘法 a×b已经被解释为行列分别为a,b的数字1矩阵的完全加法，所以这里就是8行8列的数字1矩阵的完全加法。

指数改变的时候，维度提升，矩阵是二维，立方体是三维，四维，五维超出了人们的想象，不过由于这里的数字是有限的，就可以把立方体看作点，重新组成矩阵，立方体，就像俄罗斯套娃一样，如此，高维也可以被认识。

不过，在几何上，这种方法就行不通了，因为人们认为三维空间是全宇宙，那么只有找到宇宙的边界，想象出无数个新的宇宙，组合在一起才能认识四维空间。更高的维度就只能停留在逻辑推理中了。

这里出现了奇特的等式，零维是什么东西呢？为什么是1呢？大概零维就是永远的点了，也就是1，无穷，任意数，都被封闭在了这个点中。熟知线性代数的人估计见过零空间的构造，通过线性变换可以把一条线线缩为一个点，也可以把一个面缩为一个点。

开始探索负数指数的奥秘，此时的指数作用又发生了变化， 4^(-1)=1/4=1÷4是除法的简写，也就是取倒数，于是指数运算规律 a^(m−n)=a^(m)/a^(n)依然成立，负指数是通过运算律定义的，所以更加抽象。这就是代数方法，通过定律把握数学对象。

比如4^(3−1)=4^(3)/4^(1)=64/4=16=4^(2) 改写之后就是 4^(3-1=)4^(2) 或者 推出f(x)=4^(x)推出f(3−1)=f(3)/f(1)=f(2)替换成符号为 f(m−n)=f(m)/f(m)这个视角就是函数性质，比如常用的线性函数满足代数性质 f(m+n)=f(m)+f(n)。

出现了重头戏，根号，根号产生了无理数，给人们带来了极大的困惑，有无数的人无法理解无理数为什么存在，怎么会有写不完的数字。

这就是数学的神奇之处，他并不依赖于人们的经验，从无理数开始，数学变得越来越超越人们想象，逐渐变成了专门的学问，因为理解他是有门槛的。

证明根号2为无理数本身都是令人费解的，逻辑与几何直觉分道扬镳。深入的内容可以学一些浅显的代数数论内容，也就是域论，包纳根号2作为有理数域的扩张 Q[√2]，你会发现数字的结构非常复杂，几乎能找到所有的数学结构，所以数论也被誉为王冠上的明珠，无数的数学家投身其中，希望破解自然的奥秘。

这里根号2没有具体解释，他的几何含义是面积为2的正方形，其边长为多少，也就是方程 x²=2 ，通过方程定义数字是数域扩张的重要内容，虚数i其实就是方程定义的 x²=−1 ，人们无法从已知数字世界中找到解，所以规定了一个解，用符号i表示，所以，复数与代数的关系是很密切的。

我们的主角，虚数再次登场，虚数被过去的人们视为幽灵数字，认为他是一种不应存在的事物，所以很多知名数学家公开反对虚数。

而现在，我们知道虚数代表了另一个维度，人们沿着实数，虚数，复数，四元数的道路，发现了n维空间的概念，由此数学进入了高维之中，今天，线性代数已经成为了大学必修课。

不得不说，时代弄人，现在我们认为稀松平凡的事实，在过去就是大逆不道，而可以想象未来人们普遍承认的事实，在现在大概也会遭到强烈反对，相比于数学研究的突飞猛进，人们对未知事物的接受程度反而会造成很大的制约。

变换

欧拉公式又出现了，这里是虚数运算，i×i=i²=−1， i×i×i=i²×i=−i

− i = i e^( i π )

开始了精彩的打戏，这里使用的数学知识是数学变换，将数字乘法视为函数实现状态的切换，这也是抽象代数的基本思想。

f(A)=i² ∗ A，f(e^{iπ})=−e^(iπ)看起来就是我们的欧拉公式发生了镜像对称，翻转了前进方向。

出现了，等价形式， −e^(iπ)=−[cos(π)+isin(π)] ，结果表达式变长，就像武器一样。

这里使用的是复数乘法变换，我们注意到欧拉公式首先角度减去了π，然后开始画圆，方向顺时针，最后画了一个半圆落地。这个过程就是一个函数变换，在量子力学中也被看作算子对函数的作用。

f(z)=e^(-iπ) ∗ z，f(e^{iπ})=ei^(i{π−π})=eº

看起来就是位置切换 e^(iπ)=−1→eº=1 ，这就是为什么欧拉公式从圆的一点运动到了另一点。在动画中则是展示了每一帧的位置，这些位置构成了集合 {e^(ix)：x∈[−π,0]}。

这里同样进行了变换，旋转45°，而且是逆时针。

使用了i变换旋转90°，需要注意的是， i=e^(iπ/2)，所以逆时针旋转90度。

几何

发现了点，开始画坐标系，注意坐标带有i，说明这个平面也是复平面，所以虚数空间和复数变换其实不在一个维度中。

徒手画圆，rad为弧度，所以-1对应的值为3多一些，对应π的小数表示3.14..

这里一闪而逝，记录了弧长1，单位圆的弧长与弧度相同，长度，半径，弧度 l=Rθ =1∗θ=θ

说明确实为单位圆。

极坐标下的参数变换，一个是半径改变，一个是角度改变，还有一个精心添加的偏心率改变。

θ/r含义就是弧度表示法，所以出现了 π。

圆函数拆分出了正弦余弦对应于两个坐标参数 t,τ 。作用于圆出现正弦波，余弦波。

对波进行了复数变换，这也是泛函分析中常有的事情，算子对函数整体变换，获得新的函数。

相位不同的两列波。

复变

出现了，无穷级数，这个表达式是指数函数在零处的泰勒展开e^(z)=∑{z^(n)/n!}带入具体值后获得对应形式，

发射出去的实际上是各阶展开项的值，由于含有无理数π，所以是近似值。

可以发现随着子弹射出，展开项的n也在增大，但是毕竟有无穷项，所以子弹是无限的。

这个盾牌是四条弧形成的。

长度8条弧的圆柱。

给出的是体积。

正余弦作为复变函数的展开，开始了指数增殖。为什么可行呢？因为他是 1=1/2(1+1)，自然能够不断的展开。这是一种递推思想，不动点迭代 x=1/2(x+x)。

这边的操作非常魔幻，将数字改造成了发射圆球的函数，是一种巧妙的艺术创作。

这里的无穷可以认为是开了，一次发出无限子弹。

空间

这里写的是三维空间的张成结构。大概指这个点突破了平面，就像你的屏幕突然鼓起来一块。

突然切换为四维，实现了维度穿越。比较科幻。

数学符号高达，太抽象了。

虚数

虚数空间的景象。这些数字都是纯虚数。

有一个问题，e的身体到底是什么样的结构呢？看着像一张嘴，但是又是手，搞不明白。

特殊函数

开始了魔幻的操作，伽马函数取正整数就是阶乘。

这个公式值为 ∑1=∞

无穷大不断增大。

双重无穷，形成了一个实心圆。

这三个符号一般用来表示一些特殊的函数，比如黎曼 ζ 函数，欧拉函数 ϕ ，狄利克雷函数 δ。

集合基数

很多人说后面有一个庞然大物，阿列夫，不过确实很难看清楚。 勉强描了两个图。

ℵ这个是集合基数的内容， ℵ0 为可数无穷，为自然数集的基数， ℵ 为其上一个无穷基数，他是否是实数集的基数，就是大名鼎鼎的连续统猜想。

结束了，这一次数学之旅。

视频，文字，图像，都是一种载体，目的是传达每个人对数学的理解。

超模君 说

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