解决第二次数学危机的方法：分析的严格化

续接上一篇文章《第二次数学危机：逝去的无穷量之幽魂与贝克莱悖论》，欢迎各位朋友品读欣赏。

03 分析的严格化

贝克莱对微积分的攻击言之有物、有理有据，数学家们即便心有不甘，想要反驳也必须拿出站得住脚的理论才行。

此后，数学家们不断尝试为微积分建立一个严谨的理论基础。

在18世纪，欧拉、达朗贝尔、拉格朗日都进行过尝试，但都没有成功。

欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，他在许多领域都有丰硕的成果。

在微积分领域，他创作了《无穷分析引论》《微分学原理》《积分学原理》，成为“分析的化身”。

但是欧拉对于无穷小量的解释依然是模糊的，他认为0∶0可以等于任意有限的比值。

无穷小量在他看来，实际上就是等于零的量。

“分析”一词最早是与综合法相对的，指假定结论为真，然后倒推回去。

韦达认为代数就是一种分析（倒推）法，方程的根是根据结论列出方程后倒推求出的。

在17世纪，分析是代数的同义词。牛顿和莱布尼茨都认为微积分是代数的扩展，只是以无穷作为对象进行计算，无穷小是其中最重要的概念，因此微积分又被称为无穷小分析。

在欧拉之后，分析一词变得更加流行，且欧拉通过对函数的定义，让分析的主要对象变成函数。在18世纪，数学家们并没有解决微积分的基础问题，但是分析的应用却蓬勃发展，出现了微分方程、复变函数、微分几何、解析数论、变分法、无穷级数等分支，这让分析和代数、几何并称为数学三大学科。

分析的重要性提高，迫切需要为它建立一个稳固的基础，但分析的严格化运动，要等到19世纪才最终完成。

为分析建立严格化基础的先驱是捷克数学家波尔查诺。他在尝试证明微积分中的介值定理时发现，必须先定义什么叫“连续函数”。于是他消除几何直观，给出数学上的严格定义。但波尔查诺的工作长期被埋没，真正在分析严格化上产生巨大影响力的是法国数学家柯西。

柯西一生在数学上相当高产，成果几乎涉及数学的所有领域，产量上可能仅次于欧拉。他曾自己创办刊物，专门发表自己的论文。此外，在《巴黎科学院通报》创刊后，他在20年内共发表了589篇文章，以致科学院不得不限制其他人递交的论文不得超过4页。柯西在1821年出版了《分析教程》和1823年出版了《无穷小计算教程概论》，这使得他成为分析严格化的集大成者。

柯西意识到，分析的核心问题在于极限的概念。他首先重新定义了极限：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，就称该值为所有其他值的极限。”在极限定义的基础之上，柯西建立了对无穷小量、无穷大量、连续、导数、微分、积分等概念的严格定义。比如，对柯西来说，无穷小量是以零为极限的变量，这样就把无穷小量纳入了函数的范畴，2000多年来让人们无比困惑的无穷小量就这样被柯西驯服了。

同样，通过极限可以定义导数。有了导数，就可以清晰地解释什么是瞬时速度，从数学的计算上就可以清晰地证明物体运动的每一刻都有瞬时速度，这也反驳了芝诺悖论中的“飞矢不动”。

而对于积分，柯西坚持在计算积分前，首先要证明连续函数的积分是存在的，这成为分析从依赖直观到严格化的转折点。

此外，柯西还建立了无穷级数的完整理论，提出了绝对收敛和条件收敛的概念，解决了18世纪级数问题遗留的很多怪论。总的来说，柯西在分析上的贡献是决定性的，他的《分析教程》成为分析严格化运动的起点。

但柯西的理论还存在一些小缺陷，这些缺陷将由德国数学家魏尔斯特拉斯来弥补。

魏尔斯特拉斯一向以严谨著称，他所秉持的数学态度和编写的教材成为严格的典范和标准。

他认为柯西的极限概念中“一个变量无限趋于一个极限”的说法依旧存在运动上的直观，因此为了消除这种描述性语言的含糊，他给出极限的 ε-δ 定义，用不等式区间来严格表示极限，这就使极限和连续性彻底摆脱了对几何和运动的依赖，并得以建立在数与函数的清晰定义上。比如，可将函数 x² 在 x→2 时的极限描述为：“任取正数 ε，总存在某一正数 δ，使得当 0<|x-2|<δ 时，都有 |x²-4|<ε 。”此外，魏尔斯特拉斯还提出了一致收敛的概念，完善了级数的理论。

1872年，魏尔斯特拉斯提出了一个分析史上著名的反例。他构造了一个处处连续，但处处不可微的三角函数级数，震惊了整个数学界。这个函数被称为魏尔斯特拉斯的病态函数。魏尔斯特拉斯通过这个病态函数，非常充分地说明了通过运动建立的曲线，不一定有切线，因此微积分的基础应该消除几何直观，而只建立在数的基础上。如果当初牛顿和莱布尼茨发现了这个病态函数，说不定会沮丧到直接放弃微积分方法。但是魏尔斯特拉斯提出的病态函数，在19世纪却成为推动分析基础严格化的强心针，进一步使数学家们意识到，为分析建立严格基础，必须对实数系进行严格的定义。

德国数学家戴德金在实数的定义上迈出了关键的一步。1872年，戴德金在《连续性与无理数》一书中借助直线与实数的对应关系，非常巧妙地应用了一种被称为“戴德金分割”的方法，证明了稠密性和连续性是两种不同的性质，从而清晰地定义了实数的概念。

戴德金打了一个比方，如果用一把刀把直线砍成两段，那么必有一个断点，这个断点必然是两段直线中的一个端点。如果直线上只有有理数，此时考察有理数，就会发现有理数尽管是稠密的（两个有理数之间必有另一个有理数），但不是连续的！因为这一刀如果这么砍：将有理数集分成所有平方小于2的有理数和所有平方大于2的有理数，那这个断点是 √2，它不属于直线分割后两段中的任意一段，因为这个断点是一个无理数。

因此，如果直线上只有有理数，这一刀下去就砍出了一个缝隙，所以有理数不是连续的，这些缝隙需要无理数来填补，这样就清楚定义了无理数。

严格地说，有理数的一个分割就叫做一个实数，如果分割没有缝隙就是有理数，如果分割有缝隙就是无理数。

恰恰也是在1872年，魏尔斯特拉斯和康托尔分别建立了无理数的定义，从不同维度描述了实数的性质，这样完备的实数理论就建立了起来。

因此1872年被称为“无理数之年”。在古希腊毕达哥拉斯学派的希帕索斯被投入大海2000多年后，引发第一次数学危机的无理数终于得到清晰的定义，第一次数学危机至此才算真正完结。

同时，分析中要使用的实数概念，建立在了有理数分割的基础上，有理数又建立在了自然数算术的基础上，而自然数对很多数学家来说是基础和显然的，因此第二次数学危机中微积分的种种模糊概念就有了一个严谨且清晰的基础，第二次数学危机也就此终结了。

在这个过程中，专门的数学符号发挥了重要的作用。越来越多的数学家意识到数学概念与其他概念混用符号会引起很多混淆，尤其是和人类直觉有关的空间、时间等连续性概念。这也为皮亚诺、弗雷格和罗素的工作埋下了伏笔。数学也只有摆脱了从牛顿时代开始的对光学、力学和几何的直观依赖后，才能彻底用于独立性的思维。

然而，为了定义无理数，戴德金和康托尔不可避免地引入了无穷集合，这成为引发第三次数学危机的起点。

由此看来，数学史上的三次数学危机是连贯的，有其内在联系，可谓此起彼伏。

而计算的理论，就隐藏在这三次数学危机之中。

比如，康托尔的研究是从“函数的三角级数表达式的唯一性问题”开始的，然后触碰到无穷点集。

以上摘自吴翰清新作《计算》！转自博文视点，[遇见数学]已获转发许可。

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