用密铺理论玩转穿珠斜纹编织

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

平面密铺，特别是周期性密铺，可以作为穿珠编织图案的基础，称为斜纹编织。我们描述了特定的方法来创建复杂而美丽的斜纹编织从周期性的拼块，通过放置珠子或附近的顶点或边缘的拼块和编织在一起的线。我们还介绍了星形拼接的概念及其相关的斜纹编织。我们将创建的斜纹编织组织成几个类，并探索它们之间的一些关系。然后，我们使用结果来设计许多分层图案的插图。最后，我们证明了每一个正常的拼块都会产生斜纹编织，为进一步探索提供了很多机会。

1.介绍

穿珠编织者通过用针线连接珠子(任何有孔的物体)来创造各种各样的设计，包括类似机器织物的平织(图1)。由像罂粟籽一样小的珠子(因此被称为种子珠)制成的串珠织物通常用于制作珠宝，尤其是手镯和项链。出于美观和实用的原因，串珠织物通常设计有图案，该图案可以重复以视觉上吸引人的方式覆盖任意大的区域。这与平面密铺的数学理论有着天然的联系。然而，虽然艺术家和数学家已经研究了几个世纪，但相对来说，很少有人用作珠饰设计。在本文中，我们将探索从平面周期性多边形密铺中产生的串珠图案(我们称之为斜纹编织)，并表明这仅仅是数学密铺中所有可能的串珠设计的冰山一角。

在第二部分，我们将回顾密铺的数学理论的思想和符号。我们还将介绍星形密铺的新概念。在第3、4和5节中，我们将继续探索一些可以从多边形密铺中获得的复杂而美丽的串珠图案，并提供一些例子和插图。我们对创建这些图案的不同方法进行了分类，并探讨了它们之间的一些关系。在第六节中，我们将证明无限类的密铺，即规则密铺，可以作为斜纹编织的基础，这为将来更多的探索和研究提供了机会。

2. 平面密铺

在本节中，我们将简要回顾密铺数学理论中的定义和符号；欲了解更多信息，请参考Grunbaum和Shephard[11]以及Kaplan [12]的著作。我们还将介绍星形密铺的概念。它将是我们许多串珠图案的来源。

2.1.正常的多边形密铺

平面密铺是用有限的拼块覆盖平面的任何方式，使得没有间隙并且没有两个拼块重叠。拼块仅在孤立点(三个或更多拼块相交的地方)或弧线(两个拼块相交的地方)相交。这些点和弧将分别称为密铺的顶点和边。单个拼块的边界被分成这些边和顶点的序列，这些边和顶点也被称为拼块的顶点和边。如果有可能用平行四边形的网格覆盖一个密铺，使得每个平行四边形内部的图案是相同的，那么这个密铺就是周期性的。一个平行四边形内的密铺块称为平移单元，它可以通过定义网格的向量的重复平移来重建整个图案。我们主要对单个拼块是多边形的密铺感兴趣，因为这是我们可以用珠子编织的密铺。一般来说，多边形的边和角不必与密铺的边和顶点相对应(例如，见[11，图1.1.4])。然而，在本文中，我们将关注边对边的多边形密铺，其中拼块的边对应于多边形的边，顶点对应于角。为此，我们将在讨论中交替使用术语“边”和“侧”(以及“顶点”和“角”)。图2显示了周期性多边形密铺的三个例子，圆形(代表珠子)放置在每个边的中点。

图1：基于平面重复密铺的平面编织（自上而下顺时针方向）：只有顶点珠的 "雪花之星"编织法、超级 RAW 编织法、六角形斜纹编织法和只有顶点珠的阿基米德星编织法（另见跨边缘编织法部分）。

我们需要为我们的密铺图添加另一个技术限制。如图 3 所示，考虑一个无限嵌套的相似多边形集合，并添加额外的边来连接多边形的相应顶点。那么，包含奇异点的局部就包含了无限多的边和顶点。由于我们将通过在边和顶点上缝合珠子来进行斜纹编织，因此这是一个问题！

图3：不是局部有限的密铺。

另一个问题出现在拼块有孔（如图 4（左））或两个拼块在不相交的弧线上接触（如图 4（右））的情况。在第一种情况下，串珠织物会直接散开；在第二种情况下，编织时图案的一部分会脱离其余部分。

图4：一种密铺，其拼块不是简单连接的，而是在两条不相交的边上接触的拼块。

为了避免这些问题，我们只讨论正常拼块[11，第 3.2 节]。如果（1）每个拼块都是拓扑圆盘（即它没有孔，如图 4（左），且环绕其外侧的环不相交），（2）每两个拼块的交点都是一个连集（因此拼块不能在两条或两条以上不相交的边上相碰，如图 4（右）），（3）拼块是均匀有界的（拼块有最小和最大尺寸，与图 3 不同），那么这个拼块就是正常的。在本文中，"密铺 "一词仅指正常的多边形密铺，通常是周期性密铺。

2.2. 正则密铺、阿基米德密铺和对偶密铺

密铺法顶点的价数是与该顶点相交的边的数目或与该顶点相交的拼块的数目（对于正则表达式密铺法而言，这两个值是等价的）。在所有拼块都是正多边形的拼块法中，顶点的类型是以顶点为中心循环列出的与顶点相邻的拼块的边数。因此，如果一个顶点与 n1、n2......、nk边数的拼块相连，那么它的类型就由符号 n1·n2·n3 ... nk 表示。由于有很多方法可以做到这一点（取决于我们从哪块拼块开始，以及我们绕顶点的方向），标准的做法是取所有可能性中在词典图形上排在第一位的符号。我们使用指数符号来表示一个图形连续重复了几次；例如，3·12·12 也可以写成 3·12^2。如果一个平面图的所有顶点都是同一类型，我们用 (n1·n2·n3 ... nk) 表示该平面图；这种平面图称为阿基米德平面图，共有 11 个 [11, 第 2.1 节]。其中包括 (3^6)、(4^4 ) 和 (6^3 ) 正则密铺，它们都是p^r形式的密铺图（图 2）。有 k 个顶点类型的密铺，即任何顶点都可以通过密铺的对称性指向相同类型的任何其他顶点，称为 k-uniform 密铺，用符号表示为 (a1·b1·c1 ...; a2·b2·c2 ...;...; ak·bk·ck ...) 。

给定一个由正多边形组成的密铺图 T，我们在T的每个密铺图中心放置一个顶点，并用垂直于 T 边的边连接顶点，从而定义它的对偶密铺图 T*（例如，见 [12, 第 4.2 节]）。例如，图 5 显示 (4^4 ) 的对偶密铺是 (4^4 )（因此这个密铺是对偶的），而 (6^3 ) 的对偶瓦形是 (3^6)（反之亦然）。

图 5：密铺图 4^4 和 6^3 及其对偶密铺图（用虚线表示）。

阿基米德密铺的对偶是11个拉维斯密铺[12，第4.2节]。由于阿基米德密铺的拼块是正多边形，因此拉维斯密铺的顶点也是正多边形，这意味着如果v条边在顶点相交，则任意两条连续边之间的角度是360°/v。我们用对偶阿基米德密铺的符号来表示每个拉维斯密铺。

2.3.星形密铺

星形密铺由多个星形副本组成，如图6和图7所示，它们连接在一起形成周期性密铺。任何多边形密铺都可以用来构造星形密铺。

有n=3个点的星形是一组n个三角形，角与角相交，使得它们的底边形成一个有n条边的多边形(三角形都指向外)。星形的n个点是n个三角形的n个顶点。如果一颗星的所有三角形都是等边全等的，并且内部多边形是规则的，那么这颗星就是规则的(图7)。如果内部多边形是规则的，并且三角形都是等腰的(但不一定是等边的或全等的),并且底边在内部多边形上，则星形是半规则的。图6中的八角星是半规则的。

图6：3、4、6、8点的星星。

图7：3、4、6点的常规星星。

为了从初始多边形密铺创建星形密铺，我们在每个顶点放置一颗星，如下所示。选择小于顶点处任一边长度一半的距离d。在距离顶点d处画一条垂直于每条边的线段，其端点与相邻边的垂线相交。这些线段将形成顶点在内部的多边形的边。然后我们在每条边上放置一个三角形来形成一个星形，这样星形的点就落在初始密铺的每条边的中点上。图8显示了在三个规则密铺上的这种变换的例子。

图8：(4^4)、(3^6)和(6^3)的星密铺：开普勒星、大卫星和阿基米德星。

给定的密铺可能有许多不同的星形密铺，这取决于距离d的选择。在本文中，我们将选择尽可能规则的星形(尽管这通常不是必需的)。如果所有的星都是正则且全等的，那么星密铺就是正则的。基于平面(4^4)、(3^6)和(6^3)的三个规则密铺，有三个规则星形密铺。基于(3^6)的星形密铺更普遍地称为阿基米德密铺(3 6 3 6)；由于六角星类似于大卫之星，我们称这种密铺(及其相关编织)为大卫之星。基于(6^3)的星形密铺也非常类似于密铺(3 6 3 6)，除了在(3 6 3 6)的每个三角形内有一个附加的三角形；我们称之为阿基米德之星。我们基于(4^4)绘制的正星形密铺不是正多边形的密铺(八边形不是正的)，而是类似于两个均匀的密铺(3 4 3 12；3 12^2 ).该密铺由天文学家和数学家约翰尼斯·开普勒于1619年发表，因此我们称开普勒星的一个星密铺为(4^4)开普勒星密铺，以纪念他在密铺理论方面的开创性工作。

如果所有的星都是半正则的，那么星密铺就是半正则的。任何顶点是正则的密铺都诱导半正则星形密铺，因为与每个顶点相关的边都是以该顶点为中心的正多边形边的垂直平分线。特别地，我们可以考虑上一节提到的11个拉维斯密铺。除了三个正则星密铺，两个基于拉维斯密铺的半正则星密铺是雪花之星和夜空。雪花之星是与(3 6 3 6)对偶的星形拼法，即由60颗钻石(绗缝者称为婴儿块或翻滚块)组成的密铺(图9，左)。雪花之星是由三点和六点的规则星组成的。夜空是与(4 8 ^ 2)对偶的星密铺，即图9中的等腰直角三角形密铺。

图9：拉维斯密铺和它们的星密铺的例子：雪花之星和夜空。

3. 在边缘编织珠子：仅边缘编织和边缘覆盖斜纹编织

我们如何将拼块变成串珠图案？通常，密铺的斜纹编织是用于将排列在(或靠近，如图12所示)密铺的边缘和顶点上的珠子连接在一起的编织，使得密铺中每个拼块上的珠子按顺序连接(例如，成环)。最显而易见的方法是在拼块的每条边上都放一个珠子，这样珠子的孔就与拼块的相应边对齐了。这就是所谓的边缘斜纹编织。图2显示了三种常规密铺的边缘珠织图，图10显示了用真正的珠和线编织的这些相同的片段。

图10：三角形编织(3^6)、原始编织(4^4)和六角编织(6^3)的示例，带有火抛光的4mm珠子。

编织的方法是将线穿过每个珠子，使图案中每个拼块周围的珠子都用线连接起来。每个拼块周围的珠子一般都缝成一个环形，但图 2 中的拼块并没有暗示特定的穿线路径，事实上，可以有许多不同的穿线路径。在实践中，珠子的大小可能各不相同，或者一条边上可能有多个珠子。此外，不同的密铺结构也可以实现相同的边线编织；例如，许多不同的四边形密铺结构都可以实现图 10 中心所示的直角编织（RAW）。本文描述了五类斜纹编织，取决于珠子放置的位置：纯边斜纹编织、边和覆盖斜纹编织、纯顶点斜纹编织、顶点和边斜纹编织以及跨边斜纹编织。我们从三个最简单的斜纹编织实例开始，即图 2 和图 10 中的常规纯边缘斜纹编织。

仅边缘编织的密铺法（4^4）通常被称为 RAW，它是所有角编织法中最流行的一种。在谷歌TM上搜索 "直角珠编织"，会出现成千上万的点击率。此外，关于 RAW 的书籍和文章即使没有上百篇，也有几十本，例如 Prussing [17] 和 DeCoster [1] 所著的书籍和文章。RAW 是如此受欢迎，以至于一些作者和出版商把所有角编织都称为 RAW 的变体，而不管底层密铺是否有直角。我们更倾向于使用 "斜纹编织 "这个更笼统的术语，并将 RAW 视为其特例。

比 RAW 少见但也被珠绣编织者使用的是常规三角编织，它与密铺法（3^6 ）相对应。Lim [15] 和 Mach [16] 分别提供了使用双针和单针编织三角形的说明。与其他两种规则编织法相比，基于规则密铺法（6^3）的六角编织法不太流行，但仍经常使用，伦茨 [14] 等艺术家也对其进行了研究。六角编织既快速又容易操作，而且很容易向不同方向编织 [5,6]。图 11 展示了两个使用六角编织法编织的手镯。这两个手镯展示了当不同数量和形状的珠子被放置在拼块的不同边缘时，同样的角编织会呈现出不同的效果。传统的祖鲁珠饰制作者使用的是一种网状编织法，这种编织法可以编织出六角形[10]，但珠饰制作者倾向于将网状编织法与角形编织法区分开来，因为它们的编织方法不同，即使珠子的排列方式可能相同；网状编织法是用之字形针法缝制的，而角形编织法是用环形针法缝制的。在众多使用角织的设计师中，伦兹 [14] 和谢伊 [18] 尤为著名。

图11：用 10 号和 11 号种珠编织的六角形编织、用 11 号种珠和小号珠编织的六角形编织。

在更复杂的设计中，顶点周围通常还会编织其他珠子。在串珠多面体（如图 15 中的例子）中，伦兹 [13] 将边珠称为结构珠，因为它们赋予了编织的基本图案；普鲁辛 [17] 称它们为交叉珠或工作珠。其他珠子被编织在边缘珠之间，以覆盖线、提供装饰和稳定边角 [13]。这些覆盖珠也被称为稳定珠 [13]、中间珠或线套 [17]。这就产生了边角覆盖斜纹编织的概念，如图 12 所示。图中拼块为灰色，线为黑色，边缘珠较大，覆盖珠较小。

图12：(3^6)、(4^4)和(6^3)的边盖角编织。

在边覆角编织法中，拼块的每条边上都有一颗珠子，每个有 n 个价位的顶点都有 n 个珠子，依次围绕顶点排列。因此，在这种角编织法中，每个拼块的每条边上都有一颗珠子，每个角附近也有一颗珠子，如图 12 所示。因此，一个有 m 边的拼块对应一个由 2 m 个珠子组成的环。在实践中，边覆角编织物可以是硬质的，也可以是柔性的，这取决于对图案和珠子尺寸的选择。如果编织的是柔性织物，覆盖珠可以提供很好的锚点，在第一层珠的基础上编织另一层珠（如图 15 中的串珠多面体）。

4.顶点编织：仅顶点斜纹编织和顶点边角斜纹编织

到目前为止，我们已经讨论了只在边缘上编织和边缘覆盖斜纹编织，这些编织都是通过将珠子放在密铺图案的边缘上，也可能放在顶点附近（即作为盖珠）来完成的。现在，我们将考虑直接在顶点上放置一颗珠子的问题。如果顶点的价数是三或更多，那么有多种方法可以确定珠孔的方向，并将珠子与其相邻的珠子相连。然而，我们将只探讨在第 2.3 节中介绍的星形结构的顶点上放置珠子；在这种情况下，每个顶点的价数都是4。我们总是选择顶点珠的方向，使其在孔的两端分别与两个边珠相邻。虽然任何边珠的孔的方向都是唯一的，但顶点珠的方向恰好有两种选择。（图 13），而且任一方向都可以织构。

图13：确定顶点珠方向的两种方法。

在编织星形图案时，除了构成星形点的三角形外，我们要在每个多边形中缝制一个连接珠子的环。关于三角形，请注意星形图案的每个顶点都是两个三角形的交汇点（如果内部多边形恰好是三角形，则不计算在内）。我们选择将顶点珠孔的方向指向这两个三角形的中心。图 14 显示了我们如何在三角形的每个顶点上排列一颗珠子。我们选择这种特殊的排列方式，因为这样可以隐藏珠孔，而且几乎看不到线。这种编织方法也可用于其他多边形，但在实际操作中，三角形的编织通常是最紧凑的，这也是为什么在三角形周围省略了一圈额外的线的原因。

图14：三角形上珠子的方向：仅在顶点上，以及在顶点和边上。

5. 星形编织

星形编织源于之前的串珠工作，特别是八面体簇（图 15 左）[8]。要制作八面体簇，我们首先要编织一个正八面体的边缘和封面（图 15 右）。然后，我们在外层编织一层星形珠子，这些星形珠子通过覆盖珠子与八面体相连。

图15：八面体簇状串珠和边盖串珠正八面体。

受这些串珠星形图案的启发，我们创造了星形密铺法来设计手链和扁形吊坠的平面编织。星形编织是由星形密铺法产生的串珠图案。

星形编织法的生成分为两个步骤。我们从一个任意的密铺开始，然后按照第2.3节所述将其转换为星形密铺。然后，通过在星形编织图的每条边（如第 3 节所述）和每个顶点（如第 4 节所述）上放置一个或多个珠子，以三种不同方式之一将星形编织图转化为斜纹编织图。正如只在边上编织的斜纹编织只在边上编织一样，只在顶点编织的斜纹编织只在顶点编织，而顶点与边编织的斜纹编织在顶点和边上都编织。图 16 显示了每个边上都有珠子的开普勒星拼图（左图）、每个顶点和边上都有珠子的开普勒星拼图（中图）以及每个顶点都有珠子的开普勒星拼图（右图）。

图16：只在边缘、顶点和边缘以及只在顶点上有珠子的开普勒星（超级 RAW）。

当用珠子编织时，只有边缘的版本使编织下垂，显示出线和珠子的孔。对于仅织边的织物来说，这通常是正确的。因此，出于审美的原因，我们关注另外两种可能性。对于开普勒的星形编织，使用紧密包装和更优雅的版本，在顶点和边缘都有珠子，如图16的中心所示，产生了图17中的珠子手镯[2]。当然，图16中的珠子是理想化的，可以用更大、更小或更多的珠子代替。例如，图17中的手镯包含两种尺寸的种子珠，沿着每个三角形的两条边使用两个小珠。通过精心选择珠子颜色，营造出一种环环相扣的错觉，进一步增强了设计效果。令人高兴的是，开普勒星手镯中的四角星类似于八面体星团串珠中的星星(图15，左)。因此，这种星形密铺的顶点和边缘编织实现了我们制作珠状星形平面编织的目标。

图17：镶有11号和15号种子珠的开普勒之星手链。

现在考虑图 16 右侧所示的只顶点编织；我们称之为超级 RAW，[7] 提供了相关教程。将其与 (4^4) 的边缘覆盖编织法进行比较（图12，中）。两种编织中的珠子处于相同的相对位置，但线的路径不同。线路径却不同。特别是，超级 RAW 在（4^4）的每个角落都有额外的线程，将将被覆盖的珠子连接在一起，形成一个循环。类似的关系也适用于其他拼块，这意味着我们可以用不止一种方法生成相同的串珠图案。有时我们会得到完全相同的图案，正如我们在后面的定理 2 和 3 中描述的那样。还有的时候，就像本题一样，两种方法得到的珠子排列是一样的，只是其中一种方法在连接某些珠子时多了一条线。这就是我们第一个定理的本质。此外，如果每个顶点有三颗以上的覆盖珠，就像（4^4）的例子中那样，额外的线程会对珠子织物的合身性产生明显的影响。如果每个顶点只有三颗盖珠（例如 (6^3 )），肉眼或手感上的差异并不明显，但多穿的线需要更长的缝合时间，并能缝出更结实的织物。

定理1:

设T是一个密铺。T的星形密铺的仅顶点编织与T的边缘覆盖编织具有相同的珠子图案，加上在T的顶点连接覆盖珠子的额外的线。

证明:

正如我们在图18中所观察到的，放在T边上的珠子也在T的相应星形的点上，方向相同。放置在T的顶点附近的珠子与放置在T的星形密铺中围绕星的中心的珠子位置和方向相同，但是在星形密铺中，它们连接在一起形成一个环。

图18：T的边缘覆盖编织以及T的星形密铺的纯顶点编织。

图8(中间)显示了我们如何使用(3^6)来创建大卫之星密铺(3 6 3 6)，图19显示了我们如何仅使用顶点珠子(左)以及顶点和边珠子(右)在该密铺上放置珠子。图1底部所示的图案与图19左侧的图案相同(边界不同)。图1中的编织是六角编织(6^3的仅边缘角编织)；我们现在看到它也是(3^6)的星形密铺的顶点唯一编织。这不是巧合，反映了(3^6)和(6^3)是对偶密铺的事实。尽管图1(下)和图19(左)中的织物使用了两种颜色，但是所有的珠子都可以制成相同的类型，因此每个环都具有六个相同的珠子，如图2和图10(右)所示。因为(3 6 3 6)中的每个顶点都是同一类型，所以织物中的每个珠子也是同一类型；也就是说，每个珠子相对于周围的珠子具有相同的螺纹路径和位置。尽管将六角编织(图2，右)视为(3^6)的星形密铺(图19，左)的顶点编织似乎有些麻烦，但星形图案很有用，因为它标识了两种不同的边类型，当与顶点一起串珠时，创建了更复杂的大卫星形图案(图19，右)。

图19：六角织法和大卫之星。

大卫之星编织几乎和六角编织一样简单。图20中的三个手链展示了用真珠编织大卫之星的不同例子。左上方的手链经过简化，只使用了两种珠子。右上角的手链则利用了可以在不改变编织其他部分的情况下扩大编织中选定的珠行这一事实。许多其他编织，如开普勒之星，也有同样的特性。底部的手链展示了大卫之星编织法的一些边缘（图 19 右图中的粉红色边缘）上的小号珠是如何强调星形图案的，这也是星形编织法名称的由来。

图20：11号和15号种子珠的大卫之星手镯；11号和15号种子珠和4mm晶体；8号和11号种子珠和喇叭珠。

现在来看看 (6^3 ) 的星形编织。图 8（右）显示了我们如何使用 (6^3 ) 绘制阿基米德星形编织图。图 21 显示了只使用顶点珠（左）和同时使用顶点珠和边珠（右）的星形编织图。正如定理 1 所预言的那样，只有顶点珠的阿基米德星（图 21 左）与 (6^3 ) 的边缘和覆盖编织法（图 12 右）的珠子排列相同，只是多了一圈线。对于珠子编织者来说，（6^3 ）的边缘加覆盖编织方式是两种编织方式中更优雅的一种，因为它只需要较少的针数就能编织出相同的珠子织物。然而，如图 1 左所示，阿基米德星的额外线程为编织补丁的边界提供了更多可能性。通过观察边界，我们可以确定该补丁的线程为阿基米德星。正如我们在之前的 "大卫之星 "和 "开普勒之星 "的例子中发现的那样，当我们同时使用顶点珠和边缘珠时，额外的线程也会带来一种全新的编织方式。这就是阿基米德星编织法（图 21 右），另一种孔洞特别大的紧密编织法。图 22 展示了使用这种编织方式编织的手镯。第一作者提供了编织该手镯的分步说明[4]。

图21：只有顶点珠和顶点边缘珠的阿基米德星。

图22：镶有11号和15号种子珠的阿基米德星手链。

我们用几个由拉维斯密铺织成的星形织物的例子来结束这一节。夜空密铺图(图9，右)诱发了两个美丽的半规则星形编织。图23显示了通过仅在顶点(称为野餐织物，因为它类似于格子野餐毯)以及在边缘和顶点(称为夜空织物)放置珠子获得的图案。这些组织的例子如图24所示。请注意，图24中的垂饰并没有显示出如图23左侧所示的拼块的相同片段。图23右侧的夜空插图是图24右侧完整手镯中使用的片段的子集。第一作者已经提供了编织野餐和夜空编织的分步说明[3]。

图23：野餐编织(仅顶点珠)和夜空(顶点和边缘珠)。

图24：带有8、11和15号种子珠的野餐挂件和带有8、11和15号种子珠的夜空手镯。

图9(左)显示了我们如何使用拉维斯密铺来生成半规则的雪花之星密铺。雪花之星是由三点和六点的规则星组成的。图25显示了雪花之星密铺如何看起来像带有边珠和顶点珠的星形编织。图1(上图)显示了只有顶点的珠子组成的雪花之星组织。

图25：镶有 8 号、11 号和 15 号种子珠的雪花之星手链。

图26显示了两个使用拉维斯密铺(3 12^2)生成星形密铺的只有顶点珠的星形编织的例子。该图显示了改变每个顶点上珠子的大小和数量如何影响最终珠状织物的纹理。

图26：仅用顶点珠：8 号和 11 号种子珠以及 8 号、11 号和 15 号种子珠编织的星形拉维斯拼块 (3 12^2 )。

6. 跨边缘编织

在本节中，我们将介绍第五种使用密铺生成珠形编织的方法。乍一看，这种编织方式与我们之前所见的编织方式大相径庭，但我们会发现它与星形编织密切相关。

给定一个拼块 T，我们分三步创建 T 的跨边缘编织图案，以六边形拼块为例，如图 27 所示。首先，我们在 T 的每条边上放置一颗珠子，珠孔与边垂直（图 27 中的矩形）。然后，对于 T 中的每块拼块，我们在相邻边上的每对珠子之间放置一颗珠子，孔的方向朝向边上的珠子（图 27 中的椭圆）。最后，编织的线径（图 27 中的虚线）将每个边缘珠子与拼块内部相邻的两个珠子连接起来，同时也将相邻的两个内部珠子连接起来。

图27：六边形拼块的跨边缘编织。

图1显示了串珠织物的四个跨边缘组织实例。从顶部顺时针方向看，我们有(3 6 3 6)，(4^4)，(6^ 3)和(3^6)的跨边缘组织。

下面的定理描述了跨边组织和星形组织之间的关系。

定理2:

设T是一个密铺，T*是它的对偶密铺。然后，T的跨边编织与T*的仅顶点星形编织具有相同的图案。

证明：

正如我们在图27中所观察到的，放置在T的拼块内部的珠子位于一个多边形的顶点上，该多边形的边数与原始拼块的边数相同；这个数就是T*对应顶点的化合价。T边上的珠子位于三角形的点上，三角形的底边形成了多边形的边。所有这些都是以T*顶点为中心的星的顶点。

图28说明了T = (6^3)的定理2。定理2的一个美丽的结果是，我们可以在一张图中画出重叠图案的序列。图29显示了这样一幅图可能的样子。

图28

图29：基于定理2对T=(6^3)的设计。

图 30 展示了 T=(3^6) 的定理 2。图 29 和图 30 可视为对偶图。

图30：定理 2，T=（3^6 ）。

跨边编织和星形编织之间的对应关系可以进一步推广。对于任何单个密铺法，你都可以想象一种跨边编织法，即每条边上都有两颗珠子（分别位于两条线路上），在多边形内部，两颗珠子之间还有一颗额外的珠子。图 31（左）和 [18] 显示了 (63 ) 的双跨边编织。请注意由 12= 2×6 个珠子组成的环，以及有两个珠子将 12 个珠子组成的环连接在一起（横跨每条边）。同样，我们可以想象一下，在内部多边形的每条边上放置两个星点，而不是一个星点，这样就形成了双星拼图（感谢 Florence Turnour）。图 31 右侧是相关的双星编织图，每条边和顶点上都有珠子。请注意，每颗星都有 12 个点，而且星与相邻星之间有 2 个星点相连。

图31

对于任何n，当跨边珠子是三重、四重或n重时，这些结构可以类似地定义。定理3陈述了定理2的相应推广；证明几乎相同，所以省略。

定理3:

设T是一个密铺，T*是它的对偶密铺。那么，T的n跨边织纹与T*的仅顶点n星织纹具有相同的图案。

图 32 左边是 T=(4^4 ) 和 n = 1 时的定理 3，右边是 n = 2 时的定理 3。

图32：定理 3，T=（44 ），n=1（左），n=2（右）。

7.可编织的密铺

我们已经研究了一些可以通过珠子编织实现的密铺。在这一节中，我们要问一个更普遍的问题，即可以用珠子编织哪种密铺物。我们首先需要更精确地解释用珠子编织拼块是什么意思。

由于编织一个无限的拼块需要无限的时间和金钱，我们实际上是要编织拼块的有限部分。我们以前曾非正式地使用过密铺的片段这一术语；现在我们将它定义为其并集是拓扑圆盘(没有洞的有界连通区域)的拼块的子集。如果一个密铺的片段存在斜纹编织，那么这个片段是可编织的。如果一个密铺的每个片段都是可织的，那么这个密铺就是可织的。这是通过沿补片的每条边(或在每个顶点处或附近，或两者)放置一个珠子，并通过珠子编织一根线来固定它们的相对位置来实现的。为了在最后得到一片织物，我们希望使用一根任意长的线(尽管它可能会多次穿过给定的珠子)。为了将每个珠子固定到位，线必须将它的两端与其他珠子连接起来。穿过珠子的连续的线对应于沿着密铺的边缘的路径。这些提供了密铺可织的条件。

定义

如果给定一个贴图的任意片段，沿着该贴图的边缘存在一条有限路径，该路径至少经过该片段的每一条边缘一次，但不会连续两次经过任何一条边缘，那么该贴图就是（边缘）可织的。

定理 4：

任何正则密铺 T 都有一个只经过边缘的斜纹编织，因此是边缘可织的。此外，线的路径可以选择经过片段内部的任何边缘两次，经过片段边界上的任何边缘一次。

证明：

由于任何正则密铺T 都是局部有限的，因此 T 的任何拼块都只包含有限个贴片。为了构建线程路径，我们首先想象一个线程环绕每个拼块的边界，如图 33 左侧红色所示。

图33：为正则密铺的偏淡构建线程路径。

我们还考虑了片段的生成树。更确切地说，我们考虑的是对偶图的生成树，该生成树的顶点位于片段的每个拼块的中心，如果两个拼块相邻，则通过一条边连接。图 33 显示了的生成树。现在，我们沿着生成树的每一条边，以半扭曲的方式连接线环，如图 33 右侧所示。这样得到的路径就是一个单一的线环路（因为生成树不包含循环），它经过任何内部边两次，任何边界边一次。

由于正规密铺类是无限的，定理4给出了无限类的可织密铺(包括，例如，对于任何有限的n，任何规则密铺的所有n星密铺)，它包括最普通的密铺。虽然我们的证明表明，在用珠子编织给定的密铺块时，存在最小的线路径，但在实践中，大多数珠子编织者使用的线路径不是最优的，而是更直观的。一般的方法是从边界拼块开始，并为该拼块缝制一圈珠子。然后前进到相邻的拼块，并为该拼块缝制一圈珠子，珠子连接到第一个拼块。编织拼块的顺序通常被选择成使得在前进到下一行之前一次编织一行拼块。同时，一些珠子具有非常小的孔，用锉刀或钻头扩大它们通常是困难的。因此，知道我们可以用每个珠子最多两次的方式织出任何一种只织边的角形织物是很有用的。

重要的是要注意，定理4只说密铺有一个只有边的斜纹编织。很容易看出，任何具有仅边缘斜纹编织的拼块也具有边缘和覆盖斜纹编织(因为线路径是相同的；我们只是添加更多的珠子)。然而，不清楚任何具有仅边斜纹编织的密铺也将具有仅顶点或顶点和边斜纹编织。

幸运的是，我们仅在星形密铺的上下文中讨论了顶角编织，定理1暗示从正常密铺T生成的任何星形密铺T*确实具有仅顶点(因此也是顶点和边)的斜纹编织。根据定理4，T将有一个只有边的织纹，因此是一个边覆盖织纹。但是根据定理1，T*具有与T的边缘和覆盖编织相同的珠布置，并且唯一额外的线连接每个星形中的覆盖珠。但是从图15中可以清楚地看出，可以在不改变任何珠子的方向的情况下，在每个星形处增加额外的线环，从而产生T*的仅顶点斜纹编织。这也是星形密铺对珠子编织特别感兴趣的另一个原因。

8. 有待进一步研究的领域

周期性密铺可以创造出无数美丽的串珠图案，我们只研究了其中的一小部分。第一作者和弗洛伦斯·特纳尔（Florence Turnour）目前正在为珠子编织手工艺者撰写一本书，书中列举了许多这些图案的例子，并解释了如何用珠子编织它们[9]。除了简单地编织周期性倾斜之外，还有许多其他有趣的主题值得探索，例如：

·利用珠子的颜色来强调密铺物中的各种图案。

·从非周期性密铺中创建图案，例如彭罗斯密铺和螺旋密铺。

·用珠子串起 4 价以外的顶点。

·确定是否每个法线密铺都有一个仅顶点的斜纹编织。

·叠加密铺描述分层珠饰设计。

·由不同密铺生成的相似星形组织(以及星形组织的星形组织)之间可能的对应关系。

·将这些想法应用于三维物体，如多面体和三维空间密铺。

我们希望这篇文章只是密铺数学和编珠艺术之间漫长而富有成果的合作的开始。

参考文献

[1] M. DeCoster, Beaded Opulence: Elegant Jewelry Projects with Right Angle Weave, Lark Books, New York, 2009.

[2] G. Fisher, Kepler’s Star: A quick and easy flat weave, beAd Infinitum, Long Beach, CA, 2008.

[3] G. Fisher, Night Sky Weave Star: A flat weave for bracelets and pendants, beAd Infinitum, Long Beach, CA, 2008.

[4] G. Fisher, Archimedes Star: A flat weave for bracelets and pendants, Vol. 12, No. 5, Beadwork Magazine, August/ September 2009.

[5] G. Fisher, Hexagon angle weave beads (video). Available at http://www.youtube.com/watch?v=6e9eV1c82VY, accessed February 13, 2012.

[6] G. Fisher, Beaded circle earrings made with hexagon angle weave (video). Available at http://www.youtube.com/watch?v=FAs3mNJ3qyg, accessed February 13, 2012.

[7] G. Fisher, Animated how to weave super right angle weave with beads(video). Available at http://www.youtube.com/watch?v=t5ENWHfF8JU, accessed February 13, 2012.

[8] G. Fisher and B. Mellor, Three-dimensional finite point groups and the symmetry of Beaded Beads, J. Math. Art 1 (2007), pp. 85–96.

[9] G. Fisher and F. Turnour, Beaded Flatland: Methods and Designs for Beaded Right Angle Weave and Other Angle Weaves (tentative title), book in preparation.

[10] D. Fitzgerald, Zulu Inspired Beadwork: Weaving Techniques and Projects, Interweave Press, Loveland, CO, 2007.

[11] B. Grunbaum and G.C. Shephard, Tilings and Patterns, W.H. Freeman and Co., New York, 1987.

[12] C. Kaplan, Synthesis Lectures on Computer Graphics and Animation: Introductory Tiling Theory for Computer Graphics, Morgan and Claypool Publishers, San Rafael, CA, 2009.

[13] G. Lenz, Personal e-mail, received July 23, 2008.

[14] G. Lenz, Geometric jewels. Available at http://www.flickr.com/photos/geometric_jewels/, accessed February 13, 2012.

[15] C. Lim, Triangle weave instruction. Available at http://www.beadjewelrymaking.com/Arts_and_Craft_Idea/triangle_weave_instruction.html, accessed February 13, 2012.

[16] M. Mach, Learn triangle weave. Available at http://www.beadingdaily.com/blogs/daily/archive/2009/04/22/learn-triangle-weave.aspx, April 22, 2009, accessed February 13, 2012.

[17] C. Prussing, Beading with Right Angle Weave (Beadwork How-To Series), Interweave Press, Loveland, CO, 2004.

[18] L. Shea, ‘‘Have a Heart Bracelet,’’ ‘‘Rainbow Mandala,’’ and ‘‘Bridal Party Choker.’’

Available at http://www.bridgesmathart.org/art-exhibits/bridges2007/shea.html, accessed February 13, 2012.

[19] Gwen L. Fishera* and Blake Mellorb, Using tiling theory to generate angle weaves with beads

青山不改，绿水长流，在下告退。

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