伊斯兰几何图案的感知和设计词汇

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

本文介绍了伊斯兰艺术和建筑遗产中几何装饰的形式和意义的三种不同学术解释：外部文化立场，深奥的宗教论点，和内部科学方法。文章的主要部分超越了伊斯兰信仰的文化忠诚或规定，而是围绕着重建和制作几何图案的内部形式主义和纯美学方面，旨在探索它们的感知词汇，以及它们的生成原则和内在过程。分析从最基本的层面开始，几何图案可以被视为开放或封闭表面多边形或线性配置的组合。其他感知方式涉及多边形的外观和内在几何形状、色调或颜色，以及通过图形-背景反转或通过将线性设计感知为二维平面之外的互锁元素来应用准三维空间。然后，本文从构成多边形、重复密铺和设计整体的层面，探讨了视觉感知手段与图案固有的重复、几何和对称性之间的关系。除了双边对称中相似性和同一性的狭义含义之外，还引入了对称的替代概念，然后基于晶体学家发现并由数学家发展的分类，将其应用于建立2d几何图案的综合词汇表。文章最后展示了结合几何和对称系统在重新创造传统设计或产生新图案的力量。

1导言

近年来，在研究伊斯兰装饰图案的内在设计、意义以及历史和文化背景方面取得了越来越多的成果。在文化领域，它们经常被框定为社会产品或历史风格[1]。在神学和神秘学领域被用作解释工具。在象征领域被赋予了一个深奥的维度，形式和结构的秩序成为“统一”原则的体现[2]，[3]。最后，理性/实证主义的方法忽略了伊斯兰装饰研究中的意义问题，无论是与社会相关还是更具体地受信仰的约束，而是专注于设计的形式方面及其几何和数学过程[4]。

本文的讨论范围超越了伊斯兰信仰的文化忠诚或规定；而是围绕着几何图案制作艺术的内部形式主义和纯美学方面，目的是探索它们的感知词汇和它们内在的几何原理。

2感知词汇

单个2d重复图案的设计可以使用基本图形词汇(如线条和色调)以不同的方式传达和感知，以便表达设计中固有的几何形状和对称系统。在同一个设计中，线条和色调词汇的不同应用会产生大量的解读，从而产生各种各样的图案。

在非常基本的层面上，几何图案可以被理解为开放或封闭的表面多边形或线性结构的组合。将色调或颜色引入表面多边形甚至线性元素是另一种感知方式。另一个例子是通过填充多边形的图案-背景反转，或者通过将线性设计视为平面二维之外的互锁元素，来增加准三维。本节将探讨这些和其他例子，研究视觉感知手段和图案的内在几何形状和对称性之间的关系。这将为下一节讨论对称和重复系统打下基础。

2.1表面多边形

这种解读承认了二维重复图案作为表面填充设计的基本性质。该表面被视为封闭多边形的边对边铺砌(图1(a))。在某些情况下，开放的多边形区域在无限的带状构型中起到填充空间的类似作用(图1(b))。

图1：表面填充多边形。(a)闭合多边形；(b)开放的多边形条带。

区分多边形类型的另一种方式涉及多边形边缘是弯曲的还是直线的(图2(a)和2(b))。本研究范围内的模式大多是直线型的，并且基于闭合多边形。第三个区别涉及多边形的内部轴对称或旋转对称(图2(c)和2(d))。另一个同样重要的区别是多边形所基于的几何比例系统。注意直线和曲线情况下的共同几何系统(图2(e)和2(f))。

图2：多边形几何。(a)和(b)曲线多边形与直线多边形;(c)内部轴对称;(d)旋转对称;(e)和(f)几何比例。

每个图案最终都是由在2d空间中重复的有限数量的基本多边形类型组成的。这一重要特性在图3(a)中用与图1(a)相同的图形表示。不同类型的多边形以不同的数量重复，设计中组成多边形类型的比例作为一个整体变得相关。由于图案由重复的模块组成，因此重复单元中每种多边形类型的出现次数也变得很重要(图3(b))。

图3：多边形类型和重复。(a)基本多边形；(b)重复单位的多边形。

2.2实体虚空反转

当我们能够将图案视为充满空间的表面多边形时，也就有可能对留下空洞的虚空多边形进行反向解读。当填充多边形和虚空多边形有序地结合在一个单一图案的实体虚空中时，这种现象就变得非常有趣。

任何封闭多边形图案，如果其填充多边形的读法符合交错规则（见下文 2.4 的解释），都可以被视为交替的同心多边形集，遵循图案背景反转的开关逻辑（图 4(a)）。此外，这里还可以构想出实体虚空、黑与白或明与暗的替代主题。同样的道理也适用于一些基于开放多边形的带状设计，如图 4(b)。在这个例子中，将深色区域和浅色区域颠倒一下，就能得到同一设计的转换副本。

图4：实体虚空。(a)闭合多边形；(b)开放的多边形条带。

2.3基本线性多边形

这种对几何装饰的解读将设计简化为二维空间中的直线布局。与填充多边形相关，线条表示设计的相邻多边形表面的共享边。但是在线性解读中，我们开始独立于线条定义的多边形来感知线条。现在，眼睛可以从某个点开始，沿着一个线性元素穿过不同的多边形，直到它或者如图5(a)所示看起来是无限的，或者如图5(b)所示绕回到它的原点。

图5：线性解读。(a)基本线性配置；(b)单一线性多边形；(c)两个反射的线性多边形；(d)两个相对的线性多边形。

当整个图案开始被视为这种线性元素的互锁网络时，解读变得更加有趣，这些线性元素本质上要么是无尽的连续线，要么是闭合的线性多边形。在许多情况下，单个线性元素的重复，保持相同的取向，如图5(b)所示，或者具有不同的取向，如图5(a)和5(c)所示，足以产生设计。在其他情况下，两个或更多不同的元素起到与图5(d)中相似的作用。在符合下面解释的交错规则的设计中，将图案视为互锁的线性元素是特别可能的。

2.4 交错设计

交错设计本质上是基于几何图案的线性感知，但也体现了表面和质空读数的特性（图 6(a1)、(b1) 和(c1)）。当线性图案中的线性元素开始具有一定的宽度（即线性表面）时，对交错线条的感知会转变为对交错表面元素的感知，这些表面元素的重叠会产生新的设计现实（图 6(a2)、(b2) 和 (c2)）。如图 6（a2）所示，这些元素以无限折线阵列的形式重复出现，或如图 6（b2）所示，以有限的封闭线性多边形重复出现。这些元素所形成的宽度使它们具有了自己的表面，直到出现难以区分表面和线性设计的时候，如图 6(c2)。

交错以一种开关顺序的方式工作：如果一个线性元素越过第二个元素，下一次它遇到第三个元素时，它应该穿过它(图6(a2)， (b2)和(c2))。天桥-地道逻辑可以通过交替颜色系统来强调(图6(c2))。当在任何一点上不超过2条线相交或交叉时，只能从线性图案发展成交错设计。当所有多边形顶点仅由2或4个多边形共享时，才能从图案的填充多边形读取中开发出交错设计;参考图6(a1)、(b1)、(c1)中的顶点V2、V4。

交错设计可以经历前景-背景反转或被解读为实体和虚空、黑白或明暗(图6(a3)、(b3)和(c3))。被分解成有限闭合多边形组件的交错元素可以被应用或压印在背景表面材料上。

图 6：交错。(a) 无限交错元素；(b) 封闭交错多边形；(c) 假定最大表面的交错元素。

2.5 花边图案

如果一个线性元素图案不符合交错规则，它仍然可以被转化为所谓的花边设计，如图 7(a)和(b)所示。这里的区别在于，线性元素有宽度，但它们只是相互交汇，并没有交错。它们不能以上下连续的方式交错，因为只要至少有一点有两条以上的线相交或交叉，就足以破坏整个系统，如图7中V3和V6点所示。

花边设计可以很容易地从图案与背景的关系、实体与虚空的关系、黑与白的关系或明与暗的关系中感知。实体与虚空的关系可直接应用于建筑和室内设计元素，如隔墙、用于保护隐私或过滤自然光的窗纱。

图 7：花边设计

2.6基本重复单元

这是一种对几何图案的解读，它不太关注单个的多边形元素，而更倾向于构思更大的设计模块，通过在二维空间中无休止的重复来产生整体。这包括从单个多边形的局部对称性到更大模块的对称性的转变，以及最终到设计整体的全局对称性的转变。接下来会对设计的部分-整体结构有一个更清晰的认识。该设计被视为不同基本单元的镶嵌，每一个基本单元都可以被物理地想象为一个重复的拼块。

在处理重复时，可以选择性地考虑图案的不同属性：多边形几何、表面色调或颜色、隔行或填充细节。除此之外，根据大小、边界形状和重复类型的选择，总是有不止一种方法可以构思相同模式中的重复贴图。图8(b)中的模块C1、C2、C3和C4中，拼块可以选择性地缩小到再生图案所需的最小尺寸。越来越大的拼块总是可能的。拼块既可以有一个穿过多边形的规则边界，以保持其自身的规则几何形状，如图8(b)所示，也可以有一个遵循多边形边缘的不那么规则的边界，如图8(c)所示。最后，拼块可以根据不同的重复系统的先入为的概念来描绘，无论是基于简单的平移还是其他模式的反射和旋转对称，这将在下一节中解释。

图8：模块化重复。(a)2d重复图案；(b)替代的重复模块；多边形拼块。

重要的是要注意，构思模块的替代方式将直接影响设计新图案的方法，并将最终指导旨在覆盖真实表面的物理拼块的制造过程。在后一种情况下，最好的拼块可能是那些边界不穿过单个多边形的边，但仍保持最规则形状的拼块。

3对称的词汇

在讨论感知几何图案的替代方法时，我们发现对称性和几何学在构成多边形、重复拼块以及整体设计的感知区分中起着重要作用。现在是时候更深入地探索以有序的方式实现空间填充的替代方法，即通过组合不同的对称模式来构思有序的重复系统。

3.1对称操作

如果一个系统在一次或多次重复操作后保持不变，则该系统具有对称性。显然，2d几何图案的任何基本单元的重复，无论是线性的、多边形的还是拼块状的，都是基于平移、反射或旋转。这种过程似乎扮演了对称操作的角色，因为当平移、反射或旋转(取决于它首先拥有的对称类型)时，设计作为一个整体不会改变。

图9中简单的2d几何图案说明了这个概念。该图案是无限的，并且基于三角形网格。假设我们在设计的透明副本上突出显示选定的L形区域P。在基础图案上叠加副本后，我们可以用不同的方式将它移动到不同的位置(P1、P2和P3)，同时保持两个无限图案完美叠加。满足此条件的可用移动实际上是特定的线性平移、沿选定的轴翻转整个图案或围绕选定的点旋转。

图9：平移、反射和旋转。

在该特定设计中，平移可以是距离d1或d2的倍数(图10)。在这两种情况下，沿着三个不同的轴和沿着每个轴的相反方向的平移都是可能的。如果我们沿着d1或d2以及任何指定的方向移动或复制整个设计或其一部分，它将保持不变。图11中的反射以不同的方式工作。我们可以沿其翻转图案的轴实际上是两侧对称轴，即镜像线。请注意，半正六边形在围绕选定的垂直轴“m”反射时是如何镜像的。沿着连接半正六边形中心的另一个倾斜轴“g ”,也存在一种更复杂的反射。请注意“g”左侧的选定三角形是如何被镜像并转化为右侧的反射图像的。这种平移和镜面反射的多重过程称为滑移反射。

图10：平移

图11：反射

因此，反射轴线要么是粗体连续的镜面线，要么是粗体虚线。仔细观察就会发现，在这种图案中，有两种镜像线（m1 和 m2）和两种滑移线（g1 和 g2）构成了反射轴网格。

而旋转则是围绕特定的点进行重复，这些点就是旋转中心（简称旋转中心）。当一个图案围绕一个旋转中心旋转时，整个图案保持不变，并因此具有旋转对称性。为了说明旋转对称性，图 12 和图 13 采用了两种新设计。在图 12 中，三种不同的旋转类型并存：2重、3重和 6重。在图 13 中，可以进行2重和4重旋转。在任何二维平面图形中，一般都不可能出现其他n重旋转。原因在于，只有 2、3、4 或 6重旋转与无间隙覆盖平面的重复系统相兼容。这些系统使用的网格主要以矩形、等边三角形、正方形和六边形为基础。

图12：2、3和6重旋转

图13：2重和4重旋转

双重旋转对称不要与双向镜面反射混淆。它包括围绕2重旋转中心的180度旋转，或180度旋转的倍数。请注意，在图12和图13中，突出显示的填充区域和选定的线性多边形如何在围绕指定的2重中心旋转时重复两次。属于这种区域或多边形的每个点在重复时都经历相同的180度旋转。

类似的过程适用于图12和图13中的3、4和6重旋转的情况。在三重旋转中，设计或其任何线性或平面部分可以围绕相应的中心旋转120、240或360度而不被改变。注意，在图13中，有两种类型的四重中心4和4’。第一个位于四角星的中心，第二个位于四角万字的中心。围绕两个中心可以旋转90度、180度、270度和360度。类似地，围绕图12中的6重中心旋转60、120、180、240、300和360度也是可能的。

正如我们在上面看到的，旋转中心是在一个给定的二维图形中发生旋转对称的特定点。这实际上适用于2、3、4和6重旋转对称。然而，如果我们将旋转360度整圈的一般情况视为1次旋转对称，那么这种旋转可以发生在给定图案中的任何点，而不是设计中的特定点。因此，一次旋转在理论上是可能的，并且在表征一组特定的2d图案时实际上是不可或缺的，正如我们将在下面看到的。在图示中，一个小的实心圆，以及旁边的数字2、3、4或6，将标识这些中心(图14)。

图14：旋转中心类型

3.2对称群

当应用于某个2d设计时，对称操作的不同组合，即平移、反射和旋转，可以产生无限多种重复的2d几何图案。根据这些对称运算的类型和组合方法，不同模式的组似乎具有共同的特征。这导致将重复图案分类成有限数量的对称组的能力。可能的对称群的数量是17，这与定义平面对称的17种可能性的晶体学和对称群理论一致，该理论首先由俄罗斯科学家费多罗夫分类[4]。平移、反射和旋转对称是这些组的核心。沿着平面的不同方向的平移对称是所有重复图案所共有的，并且是它们的重复模块的本质，但是尽管可以根据它们的平移模块的特征来对图案进行分类，但是另一方面，旋转对称在根据有效覆盖平面的旋转过程将这些图案分为5大类时显得更通用。这些是1、2、3、4和6重系列(图15)。当考虑镜面反射和滑移反射时，这些族出现在不同的子群或对称群中，总共有17种。

在图15中，每个对称群由两种类型的标签来标识。第一个简单地标识了旋转族及其在族中的顺序(例如2a或4c)。第二种类型更为复杂，总结了旋转中心类型、反射镜和滑移(如果有的话)，以及旋转中心与反射镜或滑移之间的相对位置。一个例子是4|mg4 ' |2，其中4和4 '是两个4重旋转中心，“2”是唯一的2重旋转中心；画线是因为它在镜像线上。4′和4′后的垂直线符号表示这些中心属于滑移线。字母m和g在4和4 '之间表示4和4 '互为镜像和滑移镜像。

因此，就重复的对称系统而言，只有17种感知2d几何图案的方式。由于它们的丰富性和无限的多样性，伊斯兰几何图案似乎是17种对称类型中的大多数，如果不是全部的话。

图15：17种不相容对称群

3.3 图案制作中的应用

利用几何工具和对称结构可以分析伊斯兰文化中的历史装饰图案，并为新图案的制作制定设计规则和策略。在这篇短文的最后，我将根据对称群理论和重复模块词汇简要说明一些几何图案的生成过程。首先，让我们区分一下三种类型的重复模块：重复单元、单元格和线性单元格。

重复单元是图案中最小的平行四边形（包括矩形和正方形）或六边形部分，当它在平面的两个方向上有规律地平移时，可以再现整个二维图案（图 16(a) 和 (b)）。单元格是重复图案中最小的表面部分，它可以在一个或多个平移、反射或旋转的对称操作下生成整个图案。这就是上述六边形和正方形中突出显示的三角形区域。线性单元格是线性重复图案的最小部分，可以在平移、反射或旋转的情况下生成整个设计。这些是单元格内的线段。

可以选择不同的几何系统来构建六边形或正方形重复单元，如图16(a)和(b)中左栏所示[5]。然后，通过在晶格内的几何结构的选定线上描摹来创建线性晶格设计。然后，根据平移、反射和旋转的特定规则，在重复单元内重复产生的设计；图16(a)中的6重旋转和图16(b)中的4重旋转。最后，为了产生图16(a)和(b)的右栏中的完整图案，使用平移再次细化重复单元设计，为了方便起见，这里以一半比例示出了这些图案。

重复单元内的替代几何系统的构建，以及模块化重复过程的自动化可以容易地由计算机软件支持，如图16中的情况。计算机甚至可以探索选择线性晶格设计的无限可能性[6]，[7]。但是，这个过程中需要智能人工干预的部分，是从无限的可能性中，选择出那些产生最有创意但最实用的设计的可能性。试错或某种有根据的猜测可能会出乎意料地带来好结果。

最后，尽管古代和中世纪的工匠或数学家很可能完全不知道对称群的概念，即使传统工匠不可能在装饰学科中吸收晶体学理论，晶体学分析的方法仍然是一种对历史实例进行感知和分类的方便手段，也是制作新设计艺术的一种非常有前途的方法。未来的重点应该是制定规则和准则，作为设计工具，指导学生、工匠甚至参与新设计生产的行业。

图16：几何结构系统和模块化重复。(a) 6重图案；(b) 4重图案。

参考文献

[1] Grabar, O., The Formation of Islamic Art, Yale University Press: New Haven and London, 1987.

[2] Ardalan, N. & Bakhtiar, L., The Sense of Unity: The Sufi Tradition in Persian Architecture, The University of Chicago Press: Chicago and London, 1975.

[3] Critchlow, K., Islamic Patterns: An Analytical and Cosmological Approach, Schocken Books: London, 1976.

[4] Grunbaum, B., Grunbaum, Z. & Shephard, G.C., Symmetry in Moorish and other ornaments. Computer and Mathematics with Applications, 12B(3/4), p. 641, 1986.

[5] El-Said, I. & Parman, A., Geometric Concepts in Islamic Art, World of Islam Festival Publishing Company Ltd: London, 1976.

[6] Dwedny, A.K., Computer recreations: imagination meets geometry in the crystalline realm of latticeworks. Scientific American, 258(6), pp. 120–123, 1988.

[7] Lalvani, H., Pattern regeneration: a focus on Islamic jalis and mosaics. The Impulse to Adorn: Studies in Traditional Architecture, ed. S. Doshi, Marg Publications: Mumbai, p. 133, 1982.

[8] MOHAMAD NASRI, THE VOCABULARY OF PERCEPTION AND DESIGN OF ISLAMIC GEOMETRIC PATTERNS

青山不改，绿水长流，在下告退。

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