新定义“关联点”的函数味道——2023年北京中考数学第28题

新定义“关联点”的函数味道

2023年北京中考数学第28题

近年来，压轴题中出现几何图形的最值问题，越来越频繁，通常情况下，这类问题离不开数形结合的分析方法，其中较为普遍的命题方式是将几何图形数量化，变成函数的最值，若是涉及一次函数，则必然出现自变量范围，若是涉及二次函数，情况会复杂很多，会出现顶点、对称轴、自变量范围等，但在2023年北京中考数学新定义压轴题中，我看到了不一样的解决方案，利用三角函数理解最值。

首先对于人教版教材中的锐角三角函数章节，虽然章节标题中有“函数”二字，然而实际教学过程中，函数的味道却并不浓，甚至在某些课堂上，它纯粹成为了几个特殊三角函数值的运算，但是在教材中，第62页的概念探究及63页的小贴士中，明确指出了三角函数的“函数”味道，如下图：

而2023年北京中考数学第28题，尤其是最后一问探究取值范围时，则不可避免涉及到最值问题，尽管我们可以依靠直观猜想解题，但要给学生讲清楚其中的缘由，仍然要多问几个为什么。

题目

在平面直角坐标系xOy中，圆O的半径为1，对于圆O的弦AB和圆O外一点C，给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是圆O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”.

(1)如图，点A（-1，0），B1（-√2/2，√2/2），B2（√2/2，-√2/2）.

①在点C1（-1，1），C2（-√2，0），C3（0，√2）中，弦AB1的“关联点”是______________；

②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；

(2)已知点M（0，3），N（6√5/5，0），对于线段MN上一点S，存在圆O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”.记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围.

解析：

01

(1)读懂新定义，直线CA，CB一条过圆心，一条是圆的切线，通过连接操作直观得到结果：

①动手连线，不多讲，见下图：

0 1

0 2

0 3

通过以上作图，我们发现有两个点符合要求，分别是C1和C2；

②我们去年图中多余的点、线，仅观察圆O及其弦AB2，如下图：

根据“关联点”定义，我们需要分类讨论，若CA过圆心，CB是圆的切线，作图如下：

x轴即直线CA，根据圆的切线定义，连接OB2，并过点B2作它的垂线，与x轴相交于点C，显然可以得到等腰Rt△OB2C，并且OB2=1，可求得OC=√2；

若CB过圆心，CA是圆的切线，作图如下：

我们得到了前面的C1点坐标，求得OC=√2；

01

(2)根据题目条件作图如下：

我们连接SO并延长，与圆O有两个交点，分别是P和P'，同样过圆外一点S作圆O的切线也有两条，切点分别是Q和Q'，由圆的对称性，我们先考虑点Q，点Q'同理；

0 1

当S是弦PQ的“关联点”时

我们需要考虑弦PQ的长度与点S的位置间的关系，以PQ长度为出发点，顺藤摸瓜：

第一步，确定边-角关联

观察PQ所在Rt△PQP'，其斜边PP'=2，为定值，于是PQ的长度与∠P的余弦值有关，则我们得到PQ=PP'cosP=2cosP，用文字描述为“PQ随∠P增大而减小”；

第二步，替换角

∠P是圆周角，它所对的弧是弧P'Q，于是∠P=1/2∠QOS，我们再次描述PQ与∠QOS的关联为“PQ随∠QOS增大而减小”；

第三步，确定角-边关联

在Rt△QOS中，OQ=1，为定值，则斜边OS的长度与∠QOS的的余弦值有关，则我们又得到OS=OQ/cos∠QOS，用文字描述为“OS随∠QOS增大而增大”；

第四步，确定边-边关联

现在通过中间桥梁∠QOS，我们可得到PQ与OS间的关联，PQ随OS增大而减小。

现在可以轻松求解PQ的最值的，由OM>ON可知，当点S与点M重合，OS最长，即PQ最短，如下图：

过点Q作QK⊥y轴，很容易得到△MOQ∽△QOK，分别求出OK=1/3，QK=2√2/3，从而求出此时的PQ=2√6/3，即t最小值为2√6/3；

当OS⊥MN时，由垂线段最短可知，OS最短，即PQ最长，如下图：

先求出MN=9√5/5，此时由面积法求出OS=2，继续由△MOQ∽△QOK，分别求出OK=1/2，QK=√3/2，从而求出此时的PQ=√3，即t最大值为√3；

至此，第一类分析完毕，当SP经过圆心，SQ是圆O切线时，2√6/3≤t≤√3；

0 2

当S是弦P'Q的“关联点”时

由前面的两种位置图形，可知P'Q随OS的增大而增大，然后分别求出P'Q的最大值为2√3/3，最小值为1，于是第二类分析完毕，当SP'经过圆心，SQ是圆O切线时，1≤t≤2√3/3；

本题还有其它思考方向，过点P'作P'L⊥SQ，如下图：

求解方法类似，不再赘述，供读者参考。

教学思考

本题第1小题，其实也可看作是网格作图题，尽管较为简单，但与武汉、天津的网格作图题思想类似，当然在难度上有所控制，按新定义题型的通常设置，第1小题是对新定义“关联点”的直接运用，考察学生是否理解了概念的表面含义。

从第2小题开始，对学生概念的深入理解程度要求较高，题目采用了直接写出答案的形式，并非鼓励学生去盲猜，而是有依据猜想，当老师在课堂上给学生讲解此题时，不能一句“显然易证”去描述，多数学生会一头雾水。所以对于讲解第2小题，必须弄清楚PQ增减的原因，这也是建立函数模型的理由。

当我们寻求PQ增减原因的时候，事实上也是在建立PQ的函数模型，于是，选择合适的自变量非常关键，所以我们在解析中经历了四个步骤，逐步建立了PQ与∠P、∠P与∠QOS、∠QOS与OS间的关联，最终确定了自变量为线段OS的长，建立PQ与OS间的函数关系，当然，这种函数关系不一定要按照本文中的关联，中间桥梁可以有多样选择，但最终，我们需要的是PQ关于OS的函数关系。

解完题之后，再回看题目设置，这与我们在课堂上研究函数关系的方式完全一样，不同的是，教材上往往会直接给出自变量、因变量，让我们探索它们的关系式，通过表格、图象、关系式的方式描述，但在本题中，却需要我们自已寻找自变量，这需要深刻理解函数，新定义“关联点”，的确需要我们去寻找“关联”，从边角关系入手，借助勾股定理、相似三角形、三角函数等，建立变量间的函数关系，从而真正体会其中的函数味道。

在研题系列视频中，第1讲、第34讲、第68讲分别讲解了2020年、2021年和2022年北京中考数学第28题，并针对新定义题型的解法对教学进行了深入思考，这些宝贵的思考均收录于《从优秀试题研究中领悟初中数学教学》一书，当然，全国各省市的中考压轴题中，新定义题型不仅仅是北京市独有，但这种题型无疑对学生数学概念的理解提出了极高要求，这类题型在讲解过程中，老师体会非常明显，学习能力强的学生可以说是一听就懂，但稍弱一点，便很吃力，甚至听不懂，更有趣的是，这种理解能力上的差距，必须通过课堂教学中对数学概念的挖掘缩小，而不是通过大量重复训练，即提倡多思，非唯多练，这是一种正确的教学导向，在书里大量的教学思考中屡屡提到，所以强烈推荐一线教师阅读思考。

教研参考书籍推荐

《从优秀试题研究中领悟初中数学教学》（张钦著）