在量子振荡中驾驭拓扑量子输运

过往这些时日，因为撰写所谓《量子材料》科普，Ising 早就到了文思枯萎之态：文风缺乏变化、行文难有曲折、主题多为老调重弹。每每看到一个主题，原本多为似懂非懂，却不得不硬着头皮临时抱佛脚，装模作样地、以某种看起来很在行的笔调，写上几段、描上几笔。这是笔者饭碗之外的工作状态，却也是常感惶恐不安的原因。其实，学问之道，如果不能时时更新知识，便会是老树凋枯、萎缩于桎梏之态。这也是公号《量子材料》更新越来越慢的原因。

即便如此，所谓老骥伏枥、志在千里。乘花甲之年去超越那似懂非懂，也许依然是一个不错的人生目标。

那就开始吧。凝聚态物理，特别是量子材料，所仰仗的最基本原理，当然是固体能带结构 (以量子力学为基础)。由此，物理人可以费米能级 EF 为基准，将万千物态的基本电磁输运性质确定下来：金属、绝缘体和半导体。随后，还可考虑自旋自由度，以理解能级错位而生的磁性输运行为。实话说，物理人经常为能带理论的伟大地位与普适性而感到自豪，并偶尔会情不自禁地笑面桃花一番。这种自豪的基石，乃源于能带理论能够将固体基本电磁性质的本源说清楚，而其它理论非所能为。因此，现代量子材料，即便是那么重视关联和拓扑的作用，依然还是将能带理论作为指点江山的红宝书。

能带理论描述大多数物态如此成功的原因之一，Ising 猜想，乃是这些物态和性质对应的能标足够大，动不动就是 ~ 1 eV 的物理效应。即便是与磁性相关的电荷输运，牵涉的能标也在 ~ 0.1 eV 量级。因此，那些靠近费米能级的导带和价带之几何形貌，以及这些能带犬牙交错的几何细节，似乎不那么重要。对固体输运行为的讨论，大概率只要对带隙大小，最多对导带底 / 价带顶附近的能带几何有所考量，就足够了。至于同样是凝聚态物理关注的光电效应，所涉及的能标更高一些。正因为这些效应伴随的能标足够大，对能带结构及其带隙的测量估算就无需那么精确。这个“无需”带来的好处是，可以发展一些相对简单和间接的快速测量方法，去提取能带 (特别是带隙) 的信息。如此，物理人的确发展了很多实验和理论方法，包括当下横行的计算方法 (如紧束缚近似和 DFT 等)，以“估量”能带结构和带隙大小。这些测量方法的确也有效，例如光吸收谱、半导体输运、光电激发谱测量等。它们所用的设备简单、操作相对容易、方便适用，因此走进了学术界和产业界的千家万户，对今天的信息和能源科技文明做出了贡献。

作为示例，不妨将典型半导体 Si 的能带结构示于图 1(A) 中，而将若干常见半导体 / 绝缘体的带隙数值展示于图 1(B)。Si 之费米能级上下的几条能带变化相对平缓、简洁，能带带隙 > 1.0 eV，而其它大部分材料的带隙也都较大。并且，这些带隙的理论计算与实验测量结果，都很好地落在一条对角线上，显示了能带理论对大部分材料的把控已经到位，相关物理的合理性也一目了然。

图 1. 固体能带的一些基础知识汇集。(A) 半导体 Si 的能带。能带几何简洁直观，皆因为能标很大的缘故。(B) 参见的半导体材料之带隙，可以看到带隙数值都很大，~ 1.0 eV 或更大。(C) 拓扑绝缘体 Bi2Te3 的能带结构，可以看到带隙很小，费米面附近的能带几何形状变化复杂。(D) 拓扑绝缘体和拓扑半金属的能带结构示意，展示拓扑绝缘体表面态处的半金属特征和拓扑半金属体内的 Weyl 点和表面的费米弧。(E) 拓扑量子材料的能带中若干 nodal 点、线、环的形态。

(A) From https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.79.245201。(B) From N. L. Nguyen et al, Koopmans-Compliant Spectral Functionals for Extended Systems, PRX 8, 021051 (2018), https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.8.021051。(C) From H. N. S. Krishnamoorthy et al, NC 11, 1692 (2020), https://www.nature.com/articles/s41467-020-15444-0。(D) From https://www.weizmann.ac.il/condmat/Yan/sites/condmat.Yan/files/uploads/topology.png。(E) J. Zhou et al, PCCP 22, 8713 (2020), https://pubs.rsc.org/en/Content/ArticleLanding/2020/CP/D0CP00190B。

然而，随着量子材料被广泛关注，特别是随着物理人对极端条件和终极物理的追逐，如上所述从实验和理论层面构建能带的方法，遭遇到了挑战。个中道理也很简单：量子材料几乎所有的兴趣点，都落在那些带隙很小、导带底和价带顶接近于 kiss 在一起的体系上了！此时，费米面附近的能带细节，包括形貌变化是否一张一弛、是否凸凹有致及婀娜多姿，都变得重要起来。作为示例，将最近备受关注的拓扑绝缘体 Bi2Te3 的能带结构显示于图 1(C) 中，以与图 1(A) 比对。对照之下，它们的个中不同显而易见：(1) 能量尺度有很大不同，能标差别达到一个量级；(2) 体带隙差别巨大；(3) 拓扑量子材料的能带起伏变化剧烈，远非常规半导体能带那般平缓光滑。除此之外，量子材料，不限于非常规超导和拓扑量子材料，在费米面附件的能带还可能展现出节点 nodal point、节线 nodal line、von-Hove 奇点等特征。这些特征，可以被视为很复杂，也可以被视为丰富多彩，如图 1(D) 和图 1(E) 所示。

有鉴于此，可收获一句妄语：对量子材料，小能标的能带特征，特别是费米能级附近的细节，变得很重要。此时，单靠那些“估量”得来的能带信息以支撑量子材料研究，似乎就不够了。例如，通过测量光谱吸收，有可能对半导体带隙作大概估计。但熟悉此类方法的人都知道，这种估计的误差可能比量子材料关注的能标大。此等估计提取的能带信息，不足以展示能带细节，也就不足以解惑实验观测到的效应。

看起来，必须得有办法更高精度地获取能带信息。所谓“丝纶每出能天语，殿陛长趋近帝颜”，不入虎穴、焉得虎子。要观细节，就得尽可能靠近费米面附近，方可知道素颜几何。

问题是，物理人手上并无多少既方便又好用的探测手段，以将费米面附近的能带细节一一揭露。当然，专门化的、高大上的办法还是有的，例如那著名的角分辨光电子能谱 ARPES 即属于此。这一技术之所以“如雷贯耳”和“高大上”，也是因为它远不是普通的、可入寻常百姓家的测量技术。首先，ARPES 系统比较复杂，要让其成为如一日三餐用度的锅碗瓢盆，估计不大可能。类似的光电子能谱技术，也大多面临这种问题。其次，量子材料的诸多物理效应，需要低温和极端外场环境配置。获取这些环境本身，不是难事，难的是将它们与 ARPES 集成起来。再次，但却很重要的是，ARPES 测量只能解构能带，ARPES 本身并非是一个功能器件。量子材料研究，需要将观测到的效应落地于应用和器件上。这大概是为何依然有诸多物理人，特别是量子材料人，在兢兢业业，试图发展一些简单方便、可与应用联系、又精确细致的能带探测技术之动机。

图 2. 诸如 SdH 量子振荡的基本效应和最简单物理展示。(A) GaAs / GaAlAs 半导体异质结二维电子气的 SdH 振荡和霍尔效应测量结果。(B) SdH振荡的简单机制图。电子由低到高填充于一系列朗道能级 (n) 中，费米能 EF 用红线标识。在样品左 / 右表面处，能级发生形变，各朗道能级得以与 EF 交叉，贡献表面电导 (图中画出右侧表面处的导电通道。在样品内部，如果朗道能级没有与费米能级重叠，电子运动回路依然是局域的)。如果对样品施加面磁场 B / H，则会引入塞曼能，将整个朗道能级抬升。当第 n 个能级刚好跨过费米能级时，填充的电子就成为载流子，意味着整个样品的载流子都贡献电导。由此，样品的纵向电阻与磁场的依赖关系呈现振荡型，如图 (A) 所示。

(A) https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/B0123694019011232。(B) https://baike.baidu.com/item/SdH%E9%9C%87%E8%8D%A1/23203165?fr=ge_ala。

那么，物理人应该去发展哪些简单方便的测量技术，以提取能带结构的精细信息呢？相信一定有许多人与笔者持类似想法：最好、最简单的方法，应该与载流子输运相联系！这样的信念，至少有若干直接理由：(1) 能带物理最直接的后果，就是载流子输运。这种输运对费米面附近的能带细节最为敏感，因此输运行为一定携带了诸多能带细节特征。(2) 量子材料付诸未来应用，读写操控功能会大概率落脚于载流子输运上，更不要提及当下的信息存储传输科技就是以载流子输运为主体的。事实上，常见的、用来表征量子材料物理效应的，的确以输运行为，包括直流输运、霍尔输运、光电输运等，为主导。研究这些输运的温度依赖、电场依赖、磁场依赖，研究霍尔输运、光电诱发的输运响应等，能让物理人找到足够多的信息特征，去反推能带结构。

毫无疑问，从物理机制去审视，马上进入眼帘的输运表征就是量子振荡，如 SdH 振荡 (Shubnikov – de Haas oscillation, SdH)。类似的量子振荡效应还有若干，此处只以 SdH 为例。所谓 SdH 振荡，已成为载流子输运的标准测量方法。其中最著名的 SdH 效应出自半导体异质界面处的二维电子气输运，如图 2(A) 所示，相信读者对此十分熟悉。SdH 振荡的物理图像显示于图 2(B)，具体说明参见图题。SdH 振荡对应于磁场引入朗道能级提升、跨越费米能级的进程。考虑到这些都是教科书内容，不再啰嗦个中细节。

自SdH 振荡被发现至今的近百年时间，物理人付出巨大努力拓展其外延和深化其内涵，以尝试从振荡数据中挖掘出尽可能多的能带结构信息，就如材料人想方设法从最简单的 XRD 测量中挖掘各种晶体结构、微结构细节一般。总之，SdH 振荡，给了物理人以简单测量手段去揭示能带结构的机会。或者说，载流子输运所携带的能带信息指纹，可借助 SdH 振荡测量来提取。正因为如此，SdH 振荡测量已成为探测量子材料能带结构的基本技术：简单、易行、物理图像清晰、分析直观可靠，并与霍尔效应测量相互印证和补充支撑。图 3 所示，乃包括 SdH 振荡测量在内的一些拓展测量原理，包括对微观机制更深入的描述和测量方法的一些示意图。另外，就如图 2(A) 所示那般，将纵向电阻的 SdH 振荡与横向的量子霍尔平台电阻数据画在一起，已成为输运测量表征的基本配置。

然而，伴随量子材料领域的拓展，伴随新效应和新材料的发现，物理人对 SdH 振荡也有了新期待。早年，SdH 振荡被广泛用于非常规超导的能带构建。最近十年，拓扑量子材料兴起，触发物理人去考量 SdH 振荡如何揭示拓扑量子材料的能带结构。Ising 于此完全是外行，只是匆忙读了几页书本，便写下几条读书笔记：

图 3. 量子材料载流子输运的量子振荡测量方法。(A) 不同磁场 B 作用下能带费米面的演化，其中一系列朗道能级构成了所谓的 Landau tubes。(B) 波矢空间中 SdH 测量的外加磁场 H 位于 (kx, kz) 平面内，并与 kz 方向呈 θ 角 (a)。测量得到的 SdH 振荡数据展示于 (b)，对应的 FFT 谱显示于 (c)。(C) 测量的 SdH 数据于 (频率 frequency, θ) 平面的 FFT 谱。(D) 与 (B) 对应的实空间测量几何。

(A) https://physicsworld.com/a/quantum-oscillations-appear-in-a-kondo-insulator/。(B) Fermi-surface reconstruction from SdH data, https://physics.aps.org/articles/v3/86。(C) https://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/images/angle_dep_fft.jpg。(D) SdH measuring setup, from L. D. Anh et al, AM 33, 2104645 (2021), https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/adma.202104645。

(1) 最简单的物理是，纵向电阻的量子振荡效应，即电阻变化 Δρ 与外加磁场 (H / B) 的依赖关系，可用一个简单余弦函数表达：Δρ ~ D cos[2π (F / μ0H + δ)]，虽然这种表达也含有物理人一如既往的做派，即将复杂性都隐入到表达式的各个参数里。这里的量子振荡振幅，实际上是不断衰减的，用阻尼因子 D (damping factor) 来表达衰减程度。其背后的经典物理很简单：外加磁场施加塞曼能于体系中，对应于电子于轨道中回转。磁场越大，回转速率越快，对应的运动阻尼自然也就越大。余弦函数第一项 (F / μ0H) 中，F 是振荡频率，H 是磁场。这一项也就是约化的回转动力学振荡频率。其实，最大的复杂性，隐含在所谓的量子振荡相位漂移 δ (phase shift) 中：已经知道，这种漂移携带了不同能带跨越费米能级时对应的费米截面信息。它最能反映能带结构细节和贝里相位 (Berry phase) 大小。很显然，δ 的高精度提取极为重要。

(2) 量子振荡最重要、也最易于准确获取的参数，当然是振荡频率 F。它与费米面的截面积 Ae 有简单的比例关系 F = ℏAe / 2πe (即著名的 Onsager 关系)。提取 F，即可提取费米面截面积，能带结构最主要的特征就勾画出来了。如果能对样品的晶体学取向和磁场取向进行操控，就如图 3 所示那般，布里渊区费米面的具体形态原则上都可以提取出来。总而言之，从 (F, δ, D) 三个参数组合，物理人有机会将量子材料、特别是拓扑量子材料能带结构中一些重要的、虽非全部的、其它技术未必可及的特征提取出来。这，大概算是此一研究手段的功德之所在。

(3) SdH 对重构拓扑量子材料能带结构很有价值。众所周知，拓扑量子材料与载流子输运相关的一个重要特征，就是狄拉克型线性色散，在能带上表现为一个或多个狄拉克锥。对贝里相位稍有了解的读者，马上就能想到，电子围绕狄拉克锥回环一周，就会产生一个 π 大小的贝里相位差，对应量子振荡的相位漂移 δ = ± 1/2。通过测量全参数空间的量子振荡，就能得到振荡峰值磁场和峰谷磁场 (1/μ0H) 与第 n 阶朗道能级之间的联系，即可绘制出所谓的“朗道扇图 Landau fan diagram”^_^、提取出漂移 δ 的大小。前人已揭示，对三维体系，贝里相位差为 π 的狄拉克锥，其能带对应于 δ = ± 1/8；没有贝里相位差的平庸抛物线锥，其能带对应的 δ = ± 5/8。从简单易测的量子振荡数据，三下五除二，就能给出拓扑量子材料的主要能带特征和几何相位，令人称奇不已。

好吧，既然量子振荡这么牛，既然它有潜力可挖，那不妨看看如何将其应用到拓扑量子材料的一些重要效应探测上。已经昭示，这些重要效应的探测，无论用当下的哪种办法，都存在一些困难。外尔半金属 (Weyl semimetal) 与拓扑绝缘体有一个很不同的能带特征，就是其体内存在一对手性外尔点、表面存在费米弧。这个表面费米弧 (Fermi arc) 的探测，似乎就是一个未解之难题。这里不是说诸如 ARPES 这样的谱学技术看不到费米弧，而是得到的衬度特征不那么明显、不那么具有排他性。对一个材料，探测其体能带之细节，远非容易，诸如光电子激发的信号，多是来自表面的贡献。因此，鉴定一个体系是不是外尔半金属，最好的办法，似乎应该是确定表面处是否存在费米弧。

图 4. Ashvin Vishwanath 教授他们的理论揭示了表面费米弧在量子振动中的贡献。

Quantum oscillations from Weyl Fermi Arcs, From A. C. Potter et al, NC 5, 5161 (2014), https://www.nature.com/articles/ncomms6161。

遗憾的是，载流子输运本身并不能直接给出表面费米弧的信息。要探测之，需要有某个物理效应与表面费米弧相联系，并在量子振荡测量中展示出来。如此，测得这个物理效应、倒推体系表面的费米弧，一切就能水到渠成。有趣的是，前期研究已揭示，表面费米弧与体内外尔点间存在一些新颖的耦合效应，其中一个是所谓的外尔 - 轨道效应 (Weyl - orbit effect, WOE)。这一 WOE，考虑表面态费米弧与体内外尔点之间的非局域 (nonlocal) 耦合，由当时在加州伯克利的量子凝聚态理论名家 Ashvin Vishwanath 团队于 2014 年预言，并随后在狄拉克半金属 (非外尔半金属) 中得到初步证实。WOE 的基本物理图像示于图 4。Ising 胡乱理解的图像是：一个拓扑半金属，在磁场作用下，体内载流子通过局域回环而贡献量子振荡。这一振荡，有其内禀的量子振荡特征参数 (Fb, δb, Db)，下标 b 表示 bulk。除了体内之外，拓扑半金属的表面处多出了一条费米弧。注意，这一表面态是非局域的 (nonlocal)，且与体内外尔点一起，也能贡献额外的量子振荡。并且，这额外的振荡也有其自身的一套内禀振荡参数 (Fs1, δs1, Ds1)，下标 s1 表示 surface。

如图 4 所示，如果存在一个有限厚度的拓扑半金属体系 (厚度为 L)，则在动量空间中，体内的外尔点或狄拉克锥有可能与表面的费米弧联通，形成一个非局域的、跨越体内和表面的电子运动回环。施加磁场，这一回环同样有可能诱发朗道能级与费米能级交叠，从而激发出附加的、非局域的 SdH 振荡信号 (当然，这一信号应该比较微弱)。

行文到此，本文要兜售的研究工作呼之欲出了。来自中国台湾中研院物理所的李伟立研究员与他的团队，同我国台湾大学和同步辐射光源、荷兰 Radboud University 强磁场实验室和分子材料研究所、米国 Binghamton University 的同行合作，针对这一目标开展探索，获得了不错的进展。他们的主要思路与结果 highlight 如下：

(1) 如图 4 所示，由 WOE 贡献的电子输运回环，包含来自表面部分的贡献和体内部分的贡献。很显然，如果样品厚度 L 越小，表面的贡献就越大，量子振荡中表面费米弧贡献的部分就越重要 (振荡特征可能就越弱)。这一思路，让李伟立博士他们创新性地提出通过改变样品厚度 L 来探测量子振荡演化的实验方案，以揭示其中与表面费米弧紧密相联的新物理。

(2) 虽然不同体系的量子振荡已被广泛研究，但显著的振荡效应只存在于超高品质的半导体二维电子气中。对有一定厚度的薄膜或块体体系，纵向电阻所展示的 SdH 振荡信号，其实还是很微弱的，除非能够将温度推向极低温。之所以如此，可参考图 2(B) 所展示的朗道能级与费米能级交叉的图像：理想状态下，体内的朗道能级只有与费米能级叠加在一起时，才会贡献载流子。但实际上，这样的理想状态不可能存在。普通条件下，例如温度 T = 2K 下，三维体系存在载流子热激发、存在微结构缺陷、存在晶格畸变等，朗道能级在距离费米面足够远 (~ meV 甚至更多) 时，填充电子就可被激发出来贡献电导。这些电导可能掩盖了量子振荡信号，所以实际测量的纵向电阻 - 磁场 B / H 关系取向中量子振荡的特征绝非一目了然，有时甚至难以分辨。这就需要细致和高精度的数据提取处理，才能得到 SdH 振荡的信息。因此，除了低温和足够均匀稳定的磁场条件外，样品质量也是一个关键环节。李伟立博士他们在这方面付出了巨大努力，改善样品质量，看起来达到了不错的效果。

(3) 他们选择 SrRuO3 (SRO) 作为研究对象，注意到 SRO 已被证实是铁磁外尔半金属。在超高品质、(001) 取向的 SrTiO3 (STO) 单晶 (miscut) 基片上，他们借助 MBE 生长出一系列厚度精确可控的、几无孪晶缺陷的 SRO 超薄膜。通过细致而系统的输运测量，他们的确提取到了来自表面态贡献的非局域量子振荡信息，特征频率 Fs 达到 ~ 30 T，对应于很小的费米口袋形态。随后，他们以高水准的数据比对和分析处理，展示出这一特征振荡的确来自于 WOE，也即来自于表面费米弧的贡献。图 5 所示，是李伟立博士他们得到的部分结果。

图 5. 李伟立研究员与他的团队在 STO 基片上生长出超高品质铁磁外尔半金属 SrRuO3 (SRO) 薄膜，并系统测量了 SdH 振荡数据，重构了对应的能带结构。结论是，样品的体内外尔点和表面费米弧，均对 SdH 振荡产生了显著贡献，坐实了 SdH 振荡测量可以用来表征外尔半金属态。

这是一项漂亮的工作，体现了作者们非凡的智慧和努力，证实了基于最简单直接的载流子输运测量，即可展现拓扑半金属的费米弧特征。目前的测量，依然是在相对极端条件下进行的，与任何实际应用的期待还有不小距离。通过进一步探索新材料、新工艺和新的数据提取方案，物理人最终有可能将拓扑半金属新颖的效应植入载流子输运中，为未来基于输运的拓扑量子应用提供一些愿景。

作为本文之结尾，笔者还有一丝感悟端出来。不久前，笔者曾写过一篇学习笔记《》(点击阅读)，展示了来自米国和我国台湾的一个合作团队关注拓扑量子材料作为集成电路导线应用的研究 (这一成果也发表在《npj QM》上)。这里想表达的是：《npj QM》刊登来自我国台湾的研究论文并不多，但其中有好几篇都十分关注量子材料的实际应用端。前一篇，讨论拓扑量子材料作为高品质集成电路导线应用的潜力。李伟立博士的这一篇，则讨论拓扑量子材料新效应在电输运方面的表现。它们都是面向实际应用前端的工作，具有一定启示。我国台湾地区，的确是微电子产业高度发达之地。包括台积电、台联电这些知名企业，都是行业内的翘楚，具有不可替代性。宝岛上的这些基础研究团队，虽然也关注拓扑量子研究上游的课题，但他们在选题上似乎更有选择性和倾向性：他们更加关注具有应用潜力的那些效应、更加关注量子材料新器件的研究。这种选题观念和倾向，是否值得大陆学者学习和效仿，可资讨论！

雷打不动的结尾：Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还是请前往御览原文。原文链接信息如下：

The thickness dependence of quantum oscillations in ferromagnetic Weyl metal SrRuO3

Uddipta Kar, Akhilesh Kr. Singh, Yu-Te Hsu, Chih-Yu Lin, Bipul Das, Cheng-Tung Cheng, M. Berben, Song Yang, Chun-Yen Lin, Chia-Hung Hsu, S. Wiedmann, Wei-Cheng Lee & Wei-Li Lee

npj Quantum Materials 8, Article number: 8 (2023)

https://www.nature.com/articles/s41535-023-00540-3

梦行云·花湖四月

落尘若倾诉

樱花去。棠影顾

扶疏栉密、柳条携风舞

曲枝依旧栖红绿，朱颜难久住

再行放逐、流连苔絮

烟波岸、桃叶渡

无终无始，启程作归路

夏来春去吟骚赋，要朝朝暮暮

(1) 编者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》编辑。

(2) 小文标题“在量子振荡中驾驭拓扑量子输运”乃感性言辞，不是物理上严谨的说法。基于载流子输运特征去鉴定拓扑量子材料，无论是从基础还是应用角度，都是最值得关注的课题之一。这一标题，只是想强调这一关注点。

(3) 文底图片乃拍摄于南京玄武湖东岸 (20230408)，春之迟到给了树木以独到的形态，就像拓扑量子材料费米面附近的能带结构一般风姿绰约。小词 (20230412) 原本写玄武湖岸春花迟暮，只有将谢之碧桃山樱伴随杨柳。那景色好似人间四月天、湖山梦处有精灵，就如这 SdH 量子振荡一般，总是有揭示不尽的特征风景，不断为量子材料研究增添精彩。

(4) 封面图片来自于李伟立 (Wei-Li Lee) 博士他们的研究工作，展示了外尔半金属 SRO 中体态外尔点和表面态费米弧共同构筑了一个非局域的载流子输运通道 (电子运动回路)。

本文转载自《量子材料QuantumMaterials》微信公众号

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