跟着我们学正多面体：如何生成各类正多面体（一）

本文作者刘瑞祥，[遇见数学]感谢刘老师一直来的关注和支持！

正多面体的定义是，各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角也都全等的几何体。显然，这样的多面体，各个顶点的情况也相同，且均具有外接球和内切球、棱切球。正多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，前三种很容易想象和绘制，后两种比较困难。

正多面体不但是立体几何中重要的研究对象，而且也是很多分子或晶体结构的模型，比如甲烷分子就可以看做正四面体构型，而氯化钠晶体可以看做正方体结构的，还有很多病毒是正二十面体的，如此等等。还有很多几何体可以看作是由这五种正多面体衍生出来的，所以学习正多面体也是学习很多复杂几何体的前提。除此以外，古希腊学者柏拉图以正多面体附会所谓的“元素”，即正四面体代表“火”，正方体代表“土”，正八面体代表“气”，正二十面体代表“水”，正十二面体则代表“宇宙（以太）”。开普勒亦曾以五种正多面体的内接球和外接球附会行星轨道，试图以此解释行星的运行规律。因此研究正多面体或可增进对古希腊文化和近代科学史的认识。

制作正多面体的方法有多种，我们先分两篇文章介绍如何从给定的球体出发制作正多面体，今后有机会再介绍其它做法。这些内容多出自于《几何原本》和《数学的魅力（3）》（沈康身著），只在细节上有所变化。为统一起见，下面的球心均为 O，球半径均为 1，并已作出一条直径 AB。

下面的立体图、展开图和旋转动画均由“遇见数学”提供。

正四面体Regular tetrahedron

1. 以 AB 为直径作圆并在其上取一点 C，使 AC=2CB。
2. 取 AC,BC 的比例中项为 DC。
3. 以 DC 为作圆，圆心为 K（此即俯视图所示的圆），并作正三角形 EFG 内接此圆。
4. 作 HK 垂直于圆 K，又取 HK=AC。
5. 连接 KE,KF,KG。

K-EFG 为所求的正四面体，棱长为 √6/3。

正六面体（正方体）Regular hexahedron(cube)

1. 以 AB 为直径作圆并在其上取一点 C，使 AC=2CB。
2. 连接 BD，并以 BD 为边作正方形 EFGH；
3. 过正方形的各顶点作该正方形的垂线 IJKL；
4. 依次连接 IJKL。

EFGH - IJKL即为所求正方体，棱长为 2√3/3。

正八面体Regular octahedron

1. 过球心 O 作垂直于 AB 的平面，与球面截得一圆；
2. 做该圆的内接正方形 CDEF；
3. 连接 AC,AD,AE,AF 以及 BC, BD, BE, BF。

A-CDEF-B 即为所求，棱长为 √2。

以上三种几何体还有一些其它作法，但实质无二，故不再列举，只在后文介绍正十二面体和正二十面体的时候介绍多种作法。