压轴题研题活动第96场2022年大连第26题

精彩点评一

认真聆听了赵红勋老师关于2022年大连市中考数学第26题的解题教学，收获颇丰。对我平时的教学工作也有很大的启发。本题的三问由简单到复杂，深入考察了学生数形结合思想，转化思想，对学生的数学建模，计算能力，几何直观等基本素养有较高要求。赵老师从构建知识体系，培养解题能力，渗透学科思想，达成学科素养四个层次分析，阐述了如何在教学中培养学生学科素养。

第一问求点的坐标。赵老师从二次函数和一元二次方程关系入手，深度分析了两者之间的关系，带我们学习了配方法，公式法，因式分解法，特别强调了韦达定理与对称轴的关系，将数量关系和图形结合起来，体现了数与形的统一。在教学过程中，离不开对教材的深入解读和研究，帮助学生构建基础知识框架体系。

本题第二问求面积的最小值。赵老师特别强调了图形由点到线，由线到形，由形到面积。从而将用数表示的点的坐标与图形结合了起来。求面积的最小值，需要假设动点坐标，将面积表示出来。在面积的表示过程中，充分体现了转化的思想。赵老师娓娓道来，讲述了6种表示面积的思路，进而总结面积的表示分为割补法，等积变换，等比转化，铅垂法等四种方法，阐述了求三角形面积的通常性方法。从而达到了几何图形与代数的结合，实现了图形语言和数学符号语言的相互转化。教学中要注重培养学生看图识图能力，使之理解几何图形语言，并转换为数学符号语言，用数学语言描述世界。通性通法的探究过程有助于帮助学生形成几何直观，学会建立模型。

第三问求P点的坐标。由于该题图形复杂，条件较多，相等的线段和相等的角较多。要在纷繁复杂的条件中，找到基本数学模型，也是学生解题经常遇到的难点。赵老师从图形中列出来所有点，所有相等或相关的线段，有相等或相关的角进行一一罗列，归类。将条件与结论联系，找到等量关系，从而实现难点突破。首先，通过三角形的相似，全等，直线的位置找到思路。在分析完条件后，基于条件的构造，也是本题的难点。赵老师将求点P坐标的方法分门别类，主要分为直接法和间接法。特别是转化为先求点G，Q，L三点的坐标，从而确定直线方程式，再将直线方程与抛物线对应方程联立，求得P点坐标。还可以通过平行线，求斜率k的值。或利用图形的对称性进行求解。赵老师在这里列举了六种思路22种解法，把第三问讲得深刻，讲得透彻，讲得鲜活。

解题反思方面，给我印象最深刻的是赵老师引用波利亚的话，“好问题同某些蘑菇相似，他们大都成堆的生长，找到一个后，你应当在周围找找，很可能在附近就有几个。”这给我们指出了研题应该注重一题多解，一题多变。研究一题，总结一类。

最后，感谢赵老师带来的精辟讲解，感谢张钦博士提供的平台和各位专家的分享。

精彩点评二

认真学习了赵老师对2022年大连市中考题26题的讲解，收获颇丰。本题是一道代几综合的题目，考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式以及相似三角形的判定与性质。赵老师层层剖析，从题目本源出发，多种解题视角的变换，促进了思维向多层次、全方位的发散，学习完赵老师的研题，我对此题有了更深的认识，下面谈谈几点学习感受：

一、以退为进寻根源

此题的第三问在剖开函数的外壳之下，实际上需要利用几何的相关边、角、形的相关知识来求点的坐标，赵老师从多个角度利用构造全等三角形、相似三角形、平行线以及轴对称的方法将此题进行了讲解，讲解的非常透彻，罗列的方法很多，但是之间的联系与区别又非常清晰明了，通过分类能够更好的帮助学生梳理知识点之间的关联，进一步发散思维，最后构造完整的知识体系。

二、数形结合理清题意

本题是一道函数综合题目，函数本身就很抽象，对于学生而言不好理解，如何将抽象的函数具象化，数形结合是最佳的解题搭档。此题的三问都需要用到数形结合的思想，第一问赵老师通过二次函数和一元二次方程两者之间的关系，利用四种解题方法将函数的数量关系和图形紧密结合，使得学生能够将基础知识内容联系起来，构建出基础知识框架。第二问在求图形面积最小值时，赵老师通过多种角度的解析，再由函数建模得到的代数式和图形之间的联系，将数学符号语言与图形语言相互转换，赵老师总结了函数面积常见方法，割补法、等积变换法、等比转换法、铅锤法、平行线法，渗透了数形结合的思想。第三问中需要求点P的坐标，赵老师通过在审题的过程中研究问题背景，通过将条件信息融入图形，图形性质分析，问题条件关联知识，再借助辅助线将目标问题转化化归，层层拆解，构建数学模型，最后得出结果，赵老师将各种方法娓娓道来，紧紧抓住其中关联，让我收获颇丰。

华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，对于此类具有几何背景的函数题，需要通过构建与数相对应的图形或图像进行分析，进而以形显示数的特征，以数表示形的内在关系，达到数学问题的抽象与具象相互转换的目的，以形助数获得数学问题形象直观的解法。让我也更加清楚的认识到，在日常教学过程中，要在潜移默化之间培养学生的几何直观和数据观念，这样才能让学生碰到条件复杂的代几综合的难题时保持清醒的思路，更好的理清图形和代数之间的关系。

一堂好的习题课需要老师关注的点太多了，我也还有很多方面需要学习，感谢赵老师的精彩讲解，感谢张钦博士及团队提供这么好的学习平台，我将继续跟着各位优秀老师学习，提升自己的各方面能力。

精彩点评三

赵红勋老师以辽宁省大连市中考数学第26题为例，拨开函数背景下的层层面纱，循序渐进、由浅入深的分析揭示几何之实的本质，令人印象深刻，回味无穷！精彩的讲解衬托出赵老师高超的教学水平，反复聆听，收获有三：

收获一：注重学生思维能力及逻辑推理能力的培养。数学的生长不仅仅体现在知识的增多，更是体现在数学思维的成长，赵老师通过本道中考题的讲解教会学生如何分析问题、如何解决问题的数学思想方法。比如本题的第三问，“在二次函数图像上找一个点，使得角度相等”这类问题学生理解起来是比较困难的，但是赵老师从分析题干条件出发，从点、线段、角的层面分析题目的条件，找准学生理解题目的困惑及解题的瓶颈，层层深入，突破难点。赵老师从明确图形特征与条件信息（即研究问题背景的“形与神、动与静”）教会学生正确审题，由图形特征联想到哪些知识方法（即条件信息融入图形，图形性质浮现脑海，问题条件关联知识）教会学生如何思考问题，最后通过作辅助线、问题转化、建立模型等教会学生解决问题的具体做法。赵老师在讲题过程中教会学生优化学习数学的思维方式，进而开启学习数学的进阶之路。

收获二：注重方法归纳提炼，倡导通性通法。赵老师对每一问的多种解法都进行了细致深入的分析，对多种方法进行归纳总结，提炼出“通法”，注重用通法去解决问题，同时注重培养学生的几何直观感知能力。

收获三：注重课堂生成及解题后的反思。赵老师分享了一位学生的课堂生成对教学的促进，生动的诠释了何为“教学相长”。赵老师还非常注重解题后的过程反思，提倡老师应站在学生的角度分析题目，培养学生的审题能力，进一步培养学生推理论证的能力，站在学生的角度反思总结，帮助学生梳理知识点，梳理思路和方法，提升学生的解题认知能力，升华解题思想，使学生实现从知识技能到思想素养的进阶蜕变，激发学生强烈的学习欲望，从而真正提升数学素养。

最后，非常感谢张钦博士提供的研题平台及赵老师的精彩讲解，令人深受启发，获益匪浅！

精彩点评四

二次函数一直稳居九年级数学的研究高峰，函数与方程，函数与几何图形的融合，常令学生不寒而栗，赵老师以大连第26题为例，抽丝剥茧，层层深入，让我感受到了不一样的函数解题教学：

一、常法入门高度重视

由函数解析式。联系一元二次方程，点的坐标与方程的解，基本的数形结合思想，赵老师仔细分析，给学生铺好前进的台阶，彰显出数学课里满满都是对所有学生的关爱。

二、提炼图形特征找方法

第二小问，用函数最值求面积和最值，思路流畅，计算较为复杂。于是老师引导学生分析，图中的图形之间的联系，用全等和直角三角形转换，简化运算。

在进行全等构造时，抓住固有的边和角，以此造势，构造办法牵引而出，将三角形的面积转化为平行于坐标轴的线段乘积，自然大大减少了运算量。

第三问，有了前两问点的坐标和线段长度的经验，有了新的角度相等关系，联系邻补角、外角，导角运动自此开始，一发不可收拾。

发现45°和90°后，由相等的一组角，看邻补角、外角进行转换，新的等角呼之欲出……

三、代几分离融合秀于林

在发现众多角度和线段的关系后，学生也许会想到，披着函数外衣行几何之实质。去掉坐标系，在脑海里自由构造几何图形即可。全等、相似、勾股定理的计算即得点P或点Q的坐标。同时赵老师还引导学生发现，当两个角的和为45°，这两个角的正弦值其一是，另一个角的正弦值就是。由此再次跟学生总结了同类几何图形模型和识别策略。

完全已知的二次函数，由其对称性，加之一组相等的角，赵老师带领学生做了构造全等的解读。

赵老师引导学生回看函数后，再次引导用平行线转移角，再用一次函数求点的坐标。完成数形结合的回归。

赵老师每分析完一个问题，会带着学生做总结反思，有助于引领学生从单个的题目走向系统的思考，从一个到一类到，潜移默化完成完成“点线面”般的延伸。至此，感谢张钦博士带领宜昌市初中数学老师们创造了这个引人思考和实践的平台，每一次聆听都受益匪浅,，作为宜昌数学教师之一，自己深感有幸。

精彩点评五

认真学习了赵老师2022年大连市中考题第26题的解题研究，让我收获颇丰，受益匪浅。本题以一个经典的抛物线作为背景，考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式以及相似三角形的判定与性质。由浅入深地考查了学生对基础知识掌握的情况，着眼素养，立足基础，聚焦思维。

面对二次函数的压轴题，如何从简单的条件中挖掘背后的线索，赵老师从第一个简单的问题开始，循序渐进的讲解。第一问考查抛物线与坐标轴的交点B、C的坐标，赵老师从二次函数与一元二次方程之间的关系入手，渗透数形结合的思想，借助解方程求解抛物线与坐标轴的交点坐标，讲解了四种基本方法，立足基础且全面。

第二问考查了在抛物线的背景下求面积的最小值问题，为了找到面积的最小值，运用转化的数学思想，设动点的坐标并表示面积，这种题型中面积表达出来一般是一个二次函数。赵老师详细讲解了表达面积的常用思路，总结了割补法、等积变换法、等比转换法、铅锤法、平行线法。再次充分渗透了数形结合的思想方法。赵老师还进一步引导分析图形之间的联系，用全等三角形和直角三角形进行转换，减小运算量。

第三问在给定条件下判断P点的存在性，求点P的坐标。赵老师启发学生从已知角相等可以联想全等、相似、三角函数、一次函数等知识，结合勾股定理进而求点坐标。赵老师将题目研的透彻，研的生动，共六种思路22种方法，利用数形结合的方法进行推理，通过对问题的深入分析选择不同的方法，合理选择最优化的解答过程。

在本次研题中，赵老师对每一个问题都进行了深刻的分析，一是问题背后涉及知识点；二是方法多样性的探讨；三是回归教材知识点的思考。时时有引导，问问有反思，既解答了学生的疑惑，又站在教师的角度，对教材，对教法进行了重组和拓展，让我们站的更高，看的更远。赵老师注重对方法的总结提炼，注重对学生能力的培养，让学生能够举一反三，触类旁通。

非常感谢赵老师的分享，也感谢张钦博士搭建的平台，让我借助这个平台学习更多的教育教学知识，让我能不断提高，不断做更好的自己。

个人感言

本次研题选择的是2022年辽宁省大连市中考数学第26题，本题以最经典的抛物线=²−2−3作为背景，考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、及相似三角形的判定与性质.。研题过程中我力求从学生的视角，教师的视角，命题者的视角呈现，我这样做的目的之一审视学生读图、识图，构图能力；目的之二，与自己的解题思路对接，打通不同解法之间的思维关联；目的之三，对经典图形、经典辅助线加深记忆，对唤醒的期待；目的之四，欣赏数学之美，在琢磨图形与解法之中感受数学思维之美妙。

在第（3）问中，我以六种思路呈现一题多解，我在惊叹解法之多的同时，更需要对这些解法进行分析、对比、和总结．这时候，我问自己这么4个问题：

①哪些解法在故弄玄虚，用看起来复杂或者新奇的写法对普通的解法进行包装？是不是有些步骤可以删减？

②哪些解法是重复的，指导思想一致，仅仅是操作细节上略有差异？

③哪些解法之间是等价的？譬如在用面积法推导出正切值1/2，1/3后，用模型再出一解法是否就有点多余了．

④哪些解法具有教学价值？哪些解法只具有研究价值?我在平时的教学过程中落实了多少？

教学价值的高低取决于思路的自然度，思路越自然，教学价值越高，想让学生学会自己分析问题，就不得不追求思路的流畅性．我既要引导学生多角度思考问题，获得不同的解题方法，更要引导学生解后反思，不以问题解决为终点，而要对问题的解法和思考过程及时总结反思，多问自己几个问题，如：这个题考查了哪些知识点？是否还有简便的方法？坚持这样做的话，学生在反思中就会不断获得解题经验，提升解题能力，才能感受到数学之趣和数学之美。

借用2022全国新高考1卷作文提示语：对于初学者而言，应该从本手开始，本手的功夫扎实了，棋力才会提高。一些初学者热衷于追求妙手，而忽视更为常用的本手。本手是基础，妙手是创造。一般来说，对本手理解深刻，才可能出现妙手；否则，难免下出俗手，水平也不易提升。

对于初次研题的我而言，我未必需要自己下出"妙手"；我需要的是"把握基本，参透变化"。知晓"试题的变化"，教会学生，让学生练好"本手"，创造出"妙手"!数学很大，我很小，作为教师，我惟愿以启发为"楫"，带领学生泛舟于数学之海，行进途中，或看数学定理证明之精妙绝伦，或看解题思想方法之出神入化，一起感受数学之美，对于砥砺前行者，为人师者必当引领他们乘风破浪，寻梦数海；而对于半途改变航向者，若能助其在数海拾贝一二，其亦是不虚此行。

学无止境，任重而道远。在此感谢张钦博士搭建这个线上研学研教研题平台，感谢长阳县教育研究与教师培训中心方卫老师鼓励与指导，感谢武立锋老师、李梦园老师、陈莉丽老师、张敏老师、杜晓莉老师的点评，感谢我的学生、我的团队及身边的贵人，你们的鼓励是我不断努力的动力，你们的建议是我进步的阶梯，感谢有你、有你们真好。

在今后的工作学习中，坚持教学研究，一题多变，不变初心，悄悄地改变学生的习惯，静静地浸润学生的心灵，轻轻地搞些活动，慢慢地扩大学生的视野，让学生在不期然中受到熏陶，慢慢地越变越好！

赵红勋老师简介

赵红勋，长阳土家族自治县津洋口初级中学教师，现任宜昌市中小学教育质量综合评价研究初中数学课题组命题审题专家组成员，长阳名师工作室主持人，曾获市级师德标兵、县第一届骨干班主任、县第一、二届学科中心组成员、县学科带头人、优秀教师、文章在中小学教育上发表。教育箴言：质胜于华，行胜于言。