从科学计算、计算数学到偏微分方程自适应算法

20世纪初，英国数学家理查森（L. Richardson，1881—1953）撰写了《用数值过程预测天气》（Weather Prediction by Numerical Process）一书。为了求得准确的数据，理查森在1916年至1918年期间，还组织了大量人力进行了第一次数值天气预报的尝试。他的这一次天气预报计算是许多人用手摇计算机进行了12个月才完成的。那时的手摇计算机太慢了，要得到未来24小时的预报，如果一个人日夜不停地进行计算，需要算64000天，也就是175年。也就是说，要跟上变化多端的天气，要有一个64000人一起工作的计算工厂，才能把24小时的天气预报计算出来，实际上就是计算要与天气赛跑。这次实验虽然失败了，但它给了人们有意义的启示，是一个“异想天开”的创新。今天，人们认为理查森的工作是现代数值预报的开始，称之为数值预报发展的第一个里程碑。

当电子计算机取代了理查森的手摇计算机后，数值天气预报的思想才得到了真正的实施。1950年，著名动力气象学家查尼（J. Charney，1917—1981）等使用世界上第一台电子计算机“埃尼阿克”(ENIAC)，首次成功地对北美地区的24小时天气变化进行了预报，给出了历史上第一张数值预报天气图。这一结果的公布被认为是数值天气预报发展的第二个里程碑。而当时所用的计算工具是世界上第一台现代电子计算机“埃尼阿克”，它于1946年2月14日在美国宾夕法尼亚大学的莫尔电机学院诞生。当时这个庞然大物占地面积达170平方米，重达30吨,能在1秒内进行5000次加法运算和500次乘法运算，其计算速度是手工计算的20万倍。

从那以后，一些国家相继将先进的数值天气预报引入实际研究中。中国也于1959年开始了数值天气预报的研究，1965年中国气象局首次发布数值计算出来的天气预报，这也是现在每天新闻联播后面必不可少的一个节目。

随着计算机硬件的飞速发展，科学计算不仅在天气预报方面取得了成功，还在核武器模拟、飞行器设计、油田勘探、汽车设计和金融分析等众多领域取得了巨大成功，成为和理论科学、实验科学并驾齐驱的三驾马车之一。

“科学计算”和计算机是紧密联系在一起的。没有计算机，也就谈不上“科学计算”。但它又和计算机科学不一样。计算机就是一个可以用来算题的机器。然而，“科学计算”，是把一个完全无法计算的东西，比如一个无穷维的微分方程，变换和简化成可以在计算机上演算的东西。也就是说，一个复杂而神秘的东西，用一个简单的算法来做它的“替身”，放到计算机上去求解。计算数学的任务就是寻找和创造这些“替身”。

计算数学的核心是找到快速、有效的“算法”，让计算机的力量最大化地发挥出来。这些算法的目标是计算一大类的问题，而不是某个单一的“项目”。比如计算圆周率是完成一个项目，欧拉计算巴塞尔级数求和问题也是一个单一项目。但是，刘徽的线性方程组消去法、高斯的最小二乘法、高斯数值求积分、秦九韶的高阶方程近似求根，都是实实在在的“算法”。用这些算法编出的程序，可以解决成百上千个同类问题。比如高斯数值求积分，只要输入积分区间和函数，“算法”就可以立刻且高精度地给出积分值，而不需要绞尽脑汁去找积分的“原函数”。

▲ 引力波计算示意图

我们知道，宇宙中球体间的引力和它们之间的距离有关。计算每一对星球之间的引力、整个银河系统里的运动规律……模拟这个庞大的系统，计算量是非常可怕的。硬算的话，计算机不知道要算到猴年马月，人们只能望“洋”兴叹。再看看设计宇宙飞船、飞机导弹，其周围被一层流体气层包围着，如何设计流线型的运行物体，那是航天航空、汽车制造业的关键之关键。当然，还有如何设计我们周围的电磁波，那是我们的无线通信、互联网、隐形飞机的重要基石。这些设计，很多可以通过计算机仿真、数值计算来完成。总之，大到宇宙，小到电子，无处不存在工程师和科学家想克服的“计算”难关。

计算数学，在探索自然界奥秘的过程中，可以扮演什么角色呢？

应用数学家为上面的自然现象写出微分方程，这叫做建立模型。科学家认为，这些微分方程能够准确地描述人们想要知道的物理现象。但是，这些微分方程都是“无穷维”的，非常复杂，是“海市蜃楼”，基本上是无法找到精确答案的。有了这些微分方程，只能得到定性分析，实际结果还是看不见摸不着的。

而当代的计算机，无论有多先进，只能够对付有限多个数的运算，我们想要在计算机上运算无穷维的微分方程，得到它的解，是不可能办到的。也就是说，在计算机上做无穷多个加减乘除的运算，现在还只能是天方夜谭。

既然这般，我们可以退而求次。工程师说了，我们不需要模型的准确解，如果能得到一个相对误差不超过百分之几的“近似解”，画出一个合理的图像，让我们眼见为实，知道我们的设计结果是否合理就行了。“计算数学”要做的事，就是要做到眼见为实，要找到“近似解”。具体地说，就是要找到一个算法，设计一个编程，可以在计算机上运算，以此来代替那个可怕的微分方程。这样还不够，还要在理论上证明，得到的近似解和精确解间的相对误差不超过工程师心中的底线。有了这样的证明，确保了精确度，工程师方才“心服口服”。

▲ 移动网格变化示意图

我们再看看是如何代替可怕的微分方程的。不管用什么方法，都是要将方程“离散化”，将连续的无穷维的微分方程，变成有限多个线性或非线性方程组。与此同时，还要将求解区域作网格剖分，简单地讲，就是将感兴趣的求解区域划成一个个格子，形成“网格”，然后写出每个格点上微分方程的近似格式。为此，将微分方程在格点上的导数用相应的“差商”来代替，如一阶差商就是两个相邻格点上的函数值之差与相应坐标之差的比值，也就是说用“割线”代替切线。每个格点有一个差分方程，这就形成了一个代数方程组。离散化的工作至此完成，剩下的就是如何求解离散后形成的代数方程组了。

精确解的替身找到了，工程师却又改变主意，得寸进尺了。他们说现在精确度达到1% 了，但我想得到0.1% 甚至0.01% 的精度，让图像分辨率更高一些，如何达到？计算数学家可以用同样一个程序，达到这些要求，只不过要增加计算量。比如，增加网格点的个数。只要你给出要求——精确度E，我总能找到网格N(E)，来满足你的要求，在数学上，这叫收敛性。如果一个算法，可以通过加密网格点数来使精度越来越好，那这个算法就是收敛的。

除了收敛性这一核心问题，计算数学还有两个关心的核心问题：稳定性和效率。

计算机是不能准确表达所有的数的。比如分数1/3，如果表示成小数的话，就是无穷循环小数，所以存在计算机里的是0.3333333333333……，到底小数点后给出多少位，那就看你的计算机是怎么设计的。现在的计算机，不能准确表达无理数，也不能准确表达1/3，1/7 等有理数，一般可以保留十几位有效数字。被截断的部分，就是“截断误差”。当今的计算机里，截断误差通常可以小到10−16 ，似乎微不足道。但是问题在于，很多算法，都要在计算机上重复运算成千上万次。假设有一个算法，它在计算机上的每一次运算，都把误差放大1%，这一点点看似微不足道的放大，似乎无害，但是运算一万次后，误差就被放大了1043 倍，原来微不足道的10−15 的截断误差，现在就被放大成了1028 倍，这可是个天文数字啊！这样的误差，把所有真解的影子全都埋没了，那还了得！正所“谓差之毫厘，谬以千里”。这就涉及“稳定”，一个好的算法是不允许把误差不断放大的。

效率的问题可以简单地描述如下。如果有两个算法，一个A，一个B，都能达到误差不超过1% 的要求，但在同一台机器上，A要花两天才能算出结果，然而，B只要两小时就能给出同样的结果。我们喜欢谁呢？当然是B。这就是计算方法中不可忽视的问题，叫做算法的效率。

当今计算数学的一个重点研究方向，就是找到“高效”算法，就是说算法的效率特别高。

总而言之，科学计算的物质基础是计算机，但关键软实力是“计算方法”。计算方法是计算数学的核心，其三要素是收敛、稳定、高效。

《》（汤涛，李若，张争茹著. 北京：科学出版社, 2023. 1）一书就是要研究数值求解微分方程的收敛、稳定、高效算法。我们的侧重点是通过研究自适应网格算法，达到高效的目的。

数值计算中，按一定规律分布于求解区域的离散点的集合称为网格，产生这些节点的过程就称为网格生成。网格生成是连接几何模型和数值算法的纽带，几何模型就只有被划分成一定标准的网格时才能对其进行数值求解。一般而言，网格划分越密，得到的结果就越精确，但耗时也越多。数值计算结果的精度及效率主要取决于网格及划分时所采用的算法，它和控制方程的求解是数值模拟中最重要的两个环节。网格生成技术已经发展成为计算流体力学、工业设计等领域的一个重要分支。

网格也是偏微分方程数值解法的基础，网格体系的好坏直接影响计算结果的精度，甚至影响计算的成败。网格方法的研究经历了从结构化到非结构化、从单一网格到混合网格的过程。经过几十年的发展，这些网格方法已经很好地用于各种问题的计算，并不断出现新的针对不同情况的网格生成技术，而且形成了一些好的网格生成软件。近三十多年来，自适应网格方法（主要有移动网格方法和局部细化或粗化的网格方法）一直受到国际学术界和各类应用部门的高度重视，并且成为网格方法研究的热点问题。

非线性偏微分方程的奇性解往往反映了自然现象最核心、最复杂的部分。在数值求解中，奇性解的数值模拟也是最困难的。困难之一就是奇性导致数值解强烈地依赖于离散化的方式，或更具体地说强烈地依赖于网格。事实上，对于很多问题，网格的分布已经成为求解问题的一个重要的组成部分，其结果也构成了数值解不可分割的一部分。对于很多复杂问题，得到这样一个初始网格本身就是一件很困难的研究课题。网格变换法的基本思想是将网格的分布直接与解的某种物理性质联系起来。通过结合具体问题对网格变换法的深入研究将对发展一套快速有效的自适应网格调整方法起到重要的推动作用。

移动网格的思想是保持求解过程中网格节点数及其相互之间的拓扑连接的结构不变，但网格节点的位置则随着时间而变化，并且将较多的网格点移动到解的性质较奇异、需要进行精细地逼近的地方。通过这种调整，可以合理分布网格点，使得解变化较大的局部区域有较多的网格，从而使整体的误差减小，数据存储量减小，计算速度加快。和局部加密方法一样，在实现网格移动的时候，我们需要一个指示子一样的量来对网格移动进行指导。对于局部加密方法来说，其追求的目标是：对于事先给定的误差要求，设法使用最少的计算资源来获得相应的结果。而移动网格方法的目标则是：现在给定一定量的计算资源，设法获得最高质量的数值结果。

▲ 移动网格方法和其他自适应技术交互示意图

2004 年夏天，美国布朗大学舒其望教授和北京应用物理与计算数学研究所蔚喜军教授在中国科技大学组织了偏微分方程自适应算法暑期班。美国宾夕法尼亚州立大学许进超教授和本书作者之一汤涛教授于2006 年夏天在北京大学也举办了自适应算法讨论班。还有一些小规模的研讨会在过去的十年也时有出现。在此期间，国内有多位学者和研究生参与了自适应算法的算法研究。

在广泛的实际应用问题中，往往出现解的性质相对恶劣，方程在求解区域的局部变化非常剧烈，或者是求解区域整体相对较大，却又要对其中小部分上解的细节信息要求很高的情况。对于这样的问题，在均匀的网格上求解是不现实的，尤其是高维的问题，计算量远远超出硬件的能力。自适应方法是解决这种问题的一个途径，其中一个重要的工具是移动网格方法，其在过去的三十多年得到了重要的发展。我们根据这几年对移动网格方法的一些研究体会，写成此书。本书研究的移动网格方法要做的就是保持单元或节点数不变而通过重新分布节点位置实现自适应目标。特别地，我们将把动态网格与求解过程结合起来，用最适合求解问题的方式来生成网格，即在解的梯度大的地方网格自动加密，而在解的梯度小的地方网格自动变稀疏，其基本目标是改进计算精度，并使数值误差分布趋于均匀。

在进行移动网格研究以及准备本书过程中，我们受益于多位学者的合作和帮助，在此表示衷心的感谢！他们分别是：北京大学汤华中、张平文，英国肯特大学刘文斌，湘潭大学黄云清，上海大学马和平，美国堪萨斯大学黄维章，荷兰乌特勒大学Paul Zegeling，香港理工大学乔中华，北京师范大学-香港浸会大学联合国际学院邸亚娜，浙江大学王何宇，中山大学谭志军，澳门大学胡光辉，以及他们的学生和合作者。邸亚娜教授认真校阅了本书，在此特别致谢。

由于时间仓促和能力有限，书中肯定会有很多疏漏和不足之处，恳请读者谅解和批评指正。

本文摘编自《偏微分方程的移动网格方法》（汤涛，李若，张争茹著. 北京：科学出版社, 2023. 1）一书“前言”，有删减修改，标题为编者所加。

（信息与计算科学丛书；92）

ISBN 978-7-03-074268-1

责任编辑: 王丽平 李 萍

本书介绍了移动网格方法的历史和现状，作者根据这几年对移动网格方法的一些研究体会，写成此书。本书研究的移动网格方法要做的就是保持单元或节点数不变而通过重新分布节点位置实现自适应目标。特别地，我们将把动态网格与求解过程结合起来，用最适合求解问题的方式来生成网格，即在解的梯度大的地方网格自动加密，而在解的梯度小的地方网格自动变稀疏，其基本目标是改进计算精度，并使数值误差分布趋于均匀。本书侧重自适应网格技术，在流体计算、相场界面问题、双曲守恒律方程等问题上都有成功的应用。本书易读性强，深入浅出，提供代码，使读者容易上手实践。本书对科学计算领域的本科生和研究生，以及从事科学计算、工程计算研究的相关人员是一本有益的专业参考书。

（本文编辑：刘四旦）

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