新定义变换线段，难易皆在一(概)念间

新定义变换线段，难易皆在一(概)念间

数学概念的学习，通常有两条路，第一条路，经历大量实例生成，例如直线概念，我们在学习这类概念的时候，经常用情景再现的教学方法；第二条路，用已有概念理解新概念，我们在初中阶段多数数学概念的学习，都走的这条路，例如有理数概念。无论走哪条路，对数学概念的理解要深刻，需要通过创设情景，预设问题，引发争论，归纳总结等阶段。

在新定义题中，基本采用的是后者，即我们要用已有数学概念去理解新情景下的新定义，往往组成新定义的每个数学概念都很熟悉，例如圆、距离、对称等，但组成在一起之后，会形成新的情景，新的关联，再加上题设条件的限制，就能出现很多有很意思的结论。

题目

在平面直角价格系xOy中，已知点P(x,y)，对于点P的变换线段给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M，将点M向上、向右各平移一个单位得到点N，称线段MN为点P的变换线段.

已知线段MN是点P的变换线段.

(1)若点P(2,1)，则点M的坐标是___________，点N的坐标是____________；

(2)若点P到点(2,2)的距离为1.

①PM-PN的最大值为____________；

②当点O到直线MN的距离最大时，点P的坐标为_____________.

解析：

0 1

(1)变换线段的定义中包括两个基本概念，中心对称和平移，并且是关于原点中心对称，平移的方向和距离是确定的，理解上比较容易，在已知线段MN是点P的变换线段基础上，给出点P坐标，顺应定义描述，先写出点M(-2,-1)，再写出点N(-1,0)；

0 2

(2)点P到(2,2)的距离为1，显然这是圆的概念，所以本小题的基础就是点P在以(2,2)为圆心，半径为1的圆上；

根据中心对称的概念，则点M在以(-2,-2)为圆心，半径为1的圆上，根据平移的概念，点N在以(-1,-1)为圆心，半径为1的圆上，如下图：

请注意上图中的三个圆，圆A，圆A'和圆B'，代表点P、点M和点N的轨迹，即可能存在的位置集合，每确定一个圆A上的点P，则相应的确定一个圆A'上的点M和圆B'上的点N，这种对应关系就是新定义中所描述的中心对称和平移；

特别是在平移过程中，点M向上、向右各平移一个单位长度，则线段MN的长度可求，MN=√2；

①PM-PN的最大值，需要观察它们所在的△PMN，我们知道三角形三边关系中，两边之差小于第三边，则有PM-PN

所以PM-PN的最大值为√2；

②点O到直线MN的距离，首先想到的是过点O作直线MN的垂线段，如下图：

点M在圆A'上，且直线MN经过点M，这两个信息告诉我们，直线MN和圆A'的位置关系只有两种：相交和相切，只有在直线MN与圆A'相切时，点A'到直线MN的距离最大；

当切线MN位于一、二、三象限时，此时我们连接A'M，OA'，如下图：

对于直线MN，它与坐标轴的夹角为45°，可通过求直线解析式中的k值发现k=1，而直线OA'，与坐标轴夹角也为45°，方法类似，于是这两条边平行，即DM∥OA'，所以得到矩形OA'MD，因此OD=AM=1；

在这个基础上我们来求点M的坐标，过点D作y轴作垂线DE，构造出等腰Rt△ODE，如下图：

我们在前面的推导过程中已知得知矩形OA'MD，并且MN与坐标轴夹角为45°，所以可知∠DOE=45°，在等腰Rt△ODE中，斜边OD=1，可求出直角边DE=OE=√2/2，于是点D坐标为(-√2/2,√2/2)，现在我们利用平移来求点M坐标，同样根据矩形OA'MD，点A'是从点O向左平移2个单位，向下平移2个单位长度得到，所以点M也是由点D同样平移得到，所以点M坐标为(-2-√2/2,-2+√2/2)，最后由中心对称得点P坐标为(2+√2/2,2-√2/2)；

当切线MN位于一、三、四象限时，如下图：

基本和前一种情况相同，所以点P(2-√2/2,2+√2/2).

综上所述，点P坐标为(2+√2/2,2-√2/2)或(2-√2/2,2+√2/2).

解题反思

本题新定义变换线段中，中心对称和平移只是表象，在这个表象之下，距离、最值才是核心，第2小题的圆，需要从集合角度去理解更合适。

距离这个概念，初中阶段是从两点距离，点线距离，线线距离一路走下来，到了圆这一章，依然没有脱离上述框架，只不过增加了圆的相关性质，例如仍然是两点距离，把其中一个点放在圆上，情况立马就不一样；再把另一个点放到某条直线上，那么可得到的拓展方向是非常多的，本题只是其中之一。

最值问题，特别是几何图形中的最值，若排除建系解析，那么与最值相关的定理必须牢记，并且在思考解题思路时，能够浮现了脑海中。

我们在平时教学中，类似的场景，总会不自觉地问学生“记住了吗？”或“学会了吗？”，显然这是一类无效提问，更多的是通过课堂检测，通常学生思考之后的作答来判断一节课的知识掌握情况，而且这还是动态变化的，只有坚持不懈地，按同一个教学导向，学生的学习收益才能最大化。本题在解完后，给人的感觉是很简单，然而在思考出结果之前，感觉有点难，这两种截然不同的感觉，出现在同一道题中，其实差别在于对数学概念的理解，读懂了，那就简单；读不太明白，那么会消耗大量时间，它完全可以用于检测相关的概念是否真理解，或者说这些概念课的阶段收获有多大；

用已有数学概念，理论上可以创造出无限个新的数学定义，但不管怎么组合概念，对于每一个元素，它的理解要足够深刻，平时学习中哪怕一点点疏忽，都极有可能导致新定义理解上的偏差，因此踏实对待平时的数学概念学习，是后期游刃有余的基础。