高考物理：用v－t图象解题！

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用图像来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法。图像是一种直观且形象的语言和工具，它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律。

图像法是物理研究中常用的一种重要方法，运动学中常用的图像为v－t图像。利用图像法可直观地反映物理规律、分析物理问题。在理解图像物理意义的基础上，用图像法分析解决有关问题（如往返运动、定性分析等）会显示出独特的优越性，解题既直观又方便。

利用图像法解题要点：

（1）首先要明确图像的意义，即是要看清楚图像的坐标轴的含义；

（2）对图像的截距要有清醒的认识；

（3）图像在不同的象限时，要加强认识，对于斜率和面积问题尤其要明确其意义；

（4）多个图像的交点，表示的意义要明确。

（5）注意数形结合，图像与函数表示式是息息相关的。

运用图像解题的能力可以归纳为以下两个方面：

1.读图

2.作图和用图

依据物体的状态和物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图像来研究和处理问题。以x-t图像、v-t图像为例说明如下：

总结提升：利用图像解题的关键是要灵活的运用图像的斜率，交点、以及面积所代表的物理意义来分析问题、在追击相遇中利用图像解题更是能达到事半功倍的效果。如追击相遇问题，可总结如下:

①速度小者追速度大者

②速度大者追速度小者

下面举例说明v－t图象在解物体直线运动问题题中的应用。

一、定性分析：

例1、如图所示，质量相同的木块A、B，用轻弹簧连接，置于光滑的水平面上，开始时弹簧处于自然状态. 今用水平恒力F推木块A，则弹簧在第一次被压缩到最短的过程中，下列说法正确的为（ ）

A. A、B速度相同时，加速度

B. A、B速度相同时，加速度

C. A、B加速度相同时，速度

D. A、B加速度相同时，速度

解析：假设物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，弹簧的压缩量为x，则在压缩过程中，由牛顿第二定律得：A物体的加速度

，B物体的加速度

，由此可得：随着弹簧压缩量的增加，A物体的加速度变小，B物体的加速度变大，且它们均做变加速直线运动，这样，我们就难以用匀变速直线运动的公式进行定量计算，但我们可根据A、B运动的规律作出它们的速度图象，如图所示，这样，我们就可以进行定量的分析了，在t1时刻，两图线的斜率相同，即两物体的加速度相同，但速度却不同，即

. 故选项C对选项D错；在t2时刻，两物体的速度相同，但两图线的斜率不相同，即

，故A、B选项错. 正确选项为C.

由此可知：利用v－t图象解题，可对运动学中某些复杂，甚至无法直接求解的定性问题，通过科学地分析，从而转化成我们所熟悉的解题方法，进而使之得到解决.

例2、A、B两车由静止开始运动，运动方向不变，运动总位移相同，A行驶的前一半时间以加速度a1做匀加速运动，后一半时间以加速度a2做匀加速运动；而B 则是前一半时间以加速度a2做匀加速运动，后一半时间以加速度a1做匀加速运动；若a1>a2，则：

A．B车行驶时间长，末速度大

B．A车行驶时间长，末速度大

C．B车行驶时间长，末速度小

D．A车行驶时间长，末速度小

解析：A、B两车的速度时间图线如图，总位移相等，即图线与时间轴所围成的面积相等，从图线上看出，B的行驶时间长，末速度大．

例3、一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC。已知AB和AC的长度相同。两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间

A.p小球先到

B.q小球先到

C.两小球同时到

D.无法确定

解析：本题采用图象法解决比较方便，在AB上做匀加速直线运动，在AC上做加速度越来越小的加速运动，作出速度时间图象，从图象上直观地比较时间的长短。作速度时间图线，由机械能守恒定律可知沿斜面AB，曲面AC运动到底端时速率相等，在AB上做匀加速直线运动，在AC上做加速度越来越小的加速运动，而运动的路程相等，从图象可以看出tP＞tQ．故Q小球先到底部。

例4、两支完全相同的光滑直角弯管(如图所示).现有两只相同小球a和a/ 同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？(假设通过拐角处时无机械能损失)

解析：首先由机械能守恒可以确定拐角处v1> v2，而两小球到达出口时的速率v相等。又由题意可知两球经历的总路程s相等。由牛顿第二定律，小球的加速度大小a=gsinα，小球a第一阶段的加速度跟小球a'第二阶段的加速度大小相同（设为a1）；小球a第二阶段的加速度跟小球a'第一阶段的加速度大小相同（设为a2），根据图中管的倾斜程度，显然有a1> a2。根据这些物理量大小的分析，在同一个v-t图象中两球速度曲线下所围的面积应该相同，且末状态速度大小也相同（纵坐标相同）。开始时a球曲线的斜率大。由于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达（经历时间为t1）则必然有s1>s2，显然不合理。考虑到两球末速度大小相等（图中vm），球a'的速度图象只能如紫线所示。因此有t1< t2，即a球先到。

例5、(2014高考安徽)如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线。已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以出速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2.则　：

A.v1=v2 ，t1＞t2

B. v1＜v2，t1＞t2

C. v1=v2，t1＜t2

D. v1＜v2，t1＜t2

解析：小球在运动过程中机械能守恒，故两次到达N点的速度大小相同，且均等于初速度，即v1=v2=v0；两小球的运动过程分别为先加速后减速和先减速后加速，定性做出小球运动的速率—时间图象如图：则图线与坐标轴所围成的面积表示小球的运动路程，小球两次的路程相等，故两次图线与坐标轴所围面积相同，由图可知，t1＞t2，A正确。

例6、甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一路标，从此开始，甲车一直做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一个路标时速度又相同，则最先和最后经过下一个路标的车辆分别为（ ）

A. 甲车、乙车

B. 乙车、甲车

C. 乙车、丙车

D. 丙车、乙车

解析：由题可知这三辆汽车的初、末速度相同，它们经过的位移相同，而题中并不知乙、丙两车在各阶段是否做匀变速直线运动，因此，我们只能分析它们的一般运动，即变速直线运动，这样，匀变速直线运动的规律就无法求解这一问题，如果我们利用图象法，即在同一坐标系中，分别作出这三辆车的v－t图象，如图所示，由此可知：乙车通过下一个路标的时间最短，即乙车最先通过下一个路标，丙车最后通过下一个路标，答案：C.

二、定量计算

例1、一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ，初始时传送带与煤块都是静止的. 今让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动，经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动，则黑色痕迹的长度为（ ）

解析：本题计算的方法我们可以用如下两种：

方法一：根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0，根据牛顿运动定律，可得a=μg，设经历时间t，

传送带由静止开始加速到速度等于

①

煤块达到的速度v0的时间为

②

由于传送带的加速度大于煤的加速度，故传送带最先达到v0，然后便匀速运动，所运动的时间为

③

则：

④

解得：

，即黑色痕迹的长度为

方法二：图象法：

，黑色痕迹的长度即为阴影的面积，如图所示，即

答案：A.

由此可知，在分析一道有多种解法的题目时，我们可优先选择直观、简单的v－t图象法，从而使问题的解决变得迅速、准确.

总之，我们在解物理问题的过程中，不同的题目其解题方法不同，灵活选择不同的解题方法，能使问题的解决变得简单、直观，从而达到事半功倍的解题效果.

例2、一辆汽车以初速度为0出发，从Ａ地沿一条直线驶向B地，并正好停在B地。已知A、B两地相距为s，汽车做匀加速行驶的加速度为a1，做匀减速行驶的加速度的绝对为a2。试求汽车从A地驶向B地所需的最短时间。

解析：我们用速度图象分析所需最短时间的方案，先画出可能的速度时间图像。

由于速度图象与时间轴所围的几何图形的面积值等于汽车在这段时间里的位移，从图可看出，在位移(即面积)一定的情况下，开始一直加速，接着马上减速行驶，使之刚好在B点点停止，对应所需时间为最短。设加速的位移为S1，减速的位移为s2，最大速度为v，则有：

例3、从地面以初速度V0竖直上抛一小球，经过时间

后在同一地点以同样的速度向上抛出另一个小球，则两球相遇的高度是( )

解析：这个题出得非常好，因为第一个球是做竖直上抛运动，如果按照独立方程思路来做，需要对于

时刻是否上升到最高点分情况讨论，实在烦琐。所以此题我们考虑用常规方法则很烦琐，如果用相对运动法来做会简单一些，但思维要求较高，所以我们换用速度时间来分析。画出1、2球的v-t图象如图所示：

假设2球抛出时1球未到最高点。明显看出，只有在1球下降时才会和2球相遇，也可这样理解，二者具有相同的初速度及加速度，但是1球先抛出，所以二者在上升过程中不会相遇。当1球到最高点时，2球还有

时间到最高点，故当1球下落时会和2球相遇，则两球相遇高度h=

三、数形结合：运用v-t图像求解滑块木板问题

说明：

①交点表示两物体速度相等；

②图像所围成的面积表示物体的相对位移；

③关于解题中适当的文字说明：

目的：为了清楚的表达解题思路。

通常包括以下几个方面：

小结：用V-T图像帮助我们处理板块问题，可以直观的显示出速度、位移、相对位移的变化情况。

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