压轴题研题活动第80场2022年金华第24题

精彩点评一

重视几何直观，关注核心素养
------评九四中学孙涛老师研2022浙江金华24题
11月29日晚，是宜昌市初中数学工作室线上研题第八十讲，由夷陵区九四中学孙涛老师以2022年浙江金华中考数学第24题为例，阐述解题教学特别是压轴题解题教学中如何渗透和体现数学核心素养。孙老师抓住几何大综合题的本质，从解题思路、解题方法、教学启示、解法反思等方面，对这道复杂几何压轴题进行了剖析，听课中深受启发。
浙江金华中考数学也是总分120分，在10个选择题（每题3分）后，有6道共24分填空题，选择题第10题是一道几何折叠计算，填空题第16题是一道三角实际计算题（偏几何），填空选择总体难度略高于我市。后面16、17、18、20、21五道基本解答题共34分，难度与我市类似，21题是一道8分统计题，比我市21题简单。22题是一道正多边形大综合（带了一点圆），23题是一道二次函数最值题（偏图象和表格），24题就是本题，以相似、全等为核心考察学生几何直观和图形处理等综合能力。本题随着点E在折线上运动，矩形EFGH位置不断变化，学生必须具备较高的抽象能力、推理能力、运算能力和创新意识，还需要基础知识非常熟练和准确，留有较多的思考时间才能解答此题。本题突显了压轴题的难度、综合度和新颖度。孙老师研究此题，对初中几何总复习教学是十分有益的。
同时可以看出江浙一带某些区域对几何逻辑推理、几何大综合的“偏爱”，而抽象、推理、计算、创新等都是数学核心素养的重要体现。
孙老师在本讲抓住了这类问题的本质----图，图就是几何直观。学生看到准确合适的图，依据图形进行思考、想象，通过图形展开想象力。图形可以帮助学生发现、描述问题，可以帮助学生理解题意，可以帮助学生寻求解题思路，可以帮助学生估计或验证得到的结果。孙老师的研究始终围绕“变化的图形”进行。
孙老师重点研究了这个压轴题典型解法----通过审题，画出正确、准确的不同图形，分不同的情形分类讨论。通过发现图形的规律，选择合适的未知数，表示相关的线段长，再通过全等、相似等得到不同的方程，解出未知数的值，从而解决问题。这个流程中，准确的图最关键。孙老师重点探讨了平常教学中，如何培养学生的图形意识、图形感知和画图技能，探索了如何训练学生合理、快速、熟练、周全地画图。
孙老师的研题阐明了几何教学、几何图形的一个重要特征---“数形结合”，即既有“形”，也有“数式”，形变则数式变。只有从代几两个方面认识图形，才能理解透彻、掌握本质、运算简捷。图形让隐藏其中的数与式变得形象、生动，关系突显；数式让推理论证表达简便，易于学生接受和思考。总之，“数形结合”并不是函数教学特有，用数式加深对图形本质的认识，在几何变换中用数式揭示图形的本质规律，是核心素养在几何研究、图形教学中的重要体现。
不知不觉中研题就到了第80讲，研题已成为青年教师探究教法，思考教学，展示自我，快速成长的舞台。通过听直播、看回放，在演练压轴题、研究压轴题的过程中深入思考，有助于提高解题教学能力，也有助于提高课堂理念和思维境界。

精彩点评二

感谢孙老师给我们带来2022年浙江金华第24题的精彩研究，本题主要考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性强。认真聆听孙老师的研题后，收获颇多。

1.审题习惯的示范引领

审题分为两个阶段“熟悉题目”和“深入理解题目”，“深入理解题目”就是要挖掘题目中的隐含条件。新课程标准也提出：学生的审题能力和习惯对于他们自身持续发展尤为重要，因为审题不仅是解题的前提和关键，更是一个贯穿于整个学习过程中的环节 。孙老师在最初引导读题时引导学生在关键条件上都做了标记，后面分析过程中当学生遇到障碍时又重返题目中再寻找条件再思考，还多次强调要注意括号内的条件，从而拨开“迷雾”，寻找到突破口。良好的审题习惯至关重要，要引领学生前行。

2.画图能力的着力培养

学生做几何题时遇到分类讨论的题，面临的最大的困难依旧是作图。如第3问的画图是建立在对动态图形的准确认识上，点E和点F可能分处不同的边，而三角形的形状也随之发生改变，要画出这些图形，对学生的能力要求较高，平时要养成逐步作图，能将运动中的图形用多个静态图形表示出来。正如孙老师在反思中谈到的，要训练学生“知道画”“正确画”“熟练画”“快速画”“合理画”“完整画”，久而久之，才能水到渠成。

3.循序渐进地层层引导

本题难在第3问。△BEF和以G、C、H为顶点的三角形是否存在相似或全等关系，随着点E在这线上运动，点F也在不同的菱形边上，因此构造出的△BEF有不同形状。先是边长比为3:4:5的直角三角形，然后是一般直角三角形，最后变成钝角三角形，而以G、C、H为顶点的三角形形状也不断发生改变。孙老师由浅入深、循序渐进地引导分类思考、画出图形、解决问题，可见教学功底扎实深厚！

4.数学思想的充分渗透

相似三角形存在性探究，在几何压轴题中常见。通常情况下给出一个形状确定的三角形，以某些点为顶点构造新的三角形与原三角形相似，这必须考虑到两个三角形间的对应关系，所以分类是前提。在孙老师的研题中分类讨论、数形结合等思想体现的淋漓尽致，其也是数学核心素养的重要体现。

总之，感谢张博士提供的学习平台，感谢孙老师带给我们的精彩！

精彩点评三

2022年浙江金华中考数学第24题是一道几何图形沿折线运动的动态问题，重点考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，通过分析画出不同位置的草图进行分类讨论方法是解题的关键．孙老师对于的研究非常深入、细致、严密，讲解详实透彻，让我收获颇多。

一、重常规常法的解题引导,由题目信息进行多路联想形成思路

孙老师善于引导学生分析题干信息，对信息解读、思考、联想，形成科学的解题思路。第一小问，抓住矩形条件从对边平行转角或直角导角获得思路，讲解中注意培养学生不惧难题的数学学习品格。第二小问引导学生抓住EF过AC的中点的条件作图，并将条件和结论合理转化，由中点条件作为思维起点联想，从而获得解题方法，孙老师将转化的数学思想方法在教学中渗透非常到位。第三小问，由结论寻求突破，引导学生思考三角形相似的条件，抓住直角的条件，关联对应边的条件迅速制定本问的解题计划，使学生头脑中形成分类讨论的思考意识，通过画图分析自然的形成解题思路。这是值得我学习的，在解题教学中，只有关注学生如何利用已知信息进行思考，才能教会学生思考，促其思维能力的发展和提升。

二、教学中关注几何直观，深化数形结合的思想渗透。

动手操作作图对学生来说还是比较难的，分类讨论的草图数量较多，由于受时间的限制，线段的长度不易度量精准，但图形中线段、角不够真实又影响学生的思维判断，因此要求学生有较强的数据观念、图形结构的把握能力，孙老师能抓住矩形的顶点E，H分别过折线的拐点C点进行粗略分类，再根据点F两次过运动路径的拐点A来对E点的位置进行精准地二次分类，这样得到E点在整个运动中的五种分类，利用几何直观分析各种情况的可行性和不可行性。通过E点运动牵动F、G、H点的运动，并以网络画板制作动态课件嵌入PPT中进行动态演示，将图形的位置变换、线段长短的变化都得到充分体现，讲解中结合图形分析到位，充分体现了“以形助数，以数解形”的数形结合的数学思想。

三、加强方法归纳总结，积累解题经验，形成解题技能。

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，它是在做和思的过程中逐步积累的。孙老师在教学反思中根据教学内容，从学生的实际出发，创设有助于学生积极参与的归纳和思考，有益于引发学生思考和交流，让学生经历从不同的角度寻求分析问题、解决问题的方法过程，体会基本的数学思想方法和思维方式，掌握分析解决一类问题的基本方法，形成解决数学问题的基本技能.

感谢张博士为我们搭建的学习和研究的平台，感谢孙老师为我们呈现了精彩的研题案例！

精彩点评四

夷陵区九四中学孙涛老师的第80期研题，让我感触颇深，受益匪浅。2022年浙江金华中考数学第24题综合性较强，涉及菱形的性质、相似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数、中位线等多个知识点，尤其是需要通过静态图形分析图形的动态变化，考查了分类讨论思想、数形结合等数学思想，对学生的作图能力有较高要求，学生感到有一定难度。孙老师从四个方面娓娓道来，突破了难点，重点阐述了解法探究和教学反思，对我们平时的解题教学大有裨益。

一、注重深度分析题目条件，引导学生根据需要精准作图。第一问，求证线段相等，孙老师分析题目条件和结论，得到两种思路，并鼓励学生动手作图、识图，让学生不再害怕数学大题。第二问，突破难点的关键是重新按照条件作图，将文字语言转换为图形语言，并分类讨论。在引导学生作图过程中，反复结合图形和题目，分别做出两种情况下的图形，做到不重不漏。第三问，求s的值有两个难点，一是三角形相似，孙老师通过直角三角形的条件，从对应边成比例进行突破；第二个难点是动点E的位置有多种情况，影响三角形形状，孙老师从最初E点的位置出发来作图，通过多个图形呈现E的变化是如何影响△BEF和△GHC的形状的，并对其情况进行了分类，当三角形的边的表示未发生变化时，则归为一类。老师在教学时可以借助几何画板展示动图，而引导学生画好静态图和逐步作图是准确认识动图的前提。最后，孙老师又从E,F两点的位置不同进行讨论，分析了8种可能的情况，引导学生做到不重不漏，体现了孙老师扎实的基本功和教学能力。

二、教学中善于反思和总结，帮助学生建立知识体系，提升学生精准作图能力。首先，初中阶段证明线段相等的知识点较多，根据不同条件，求解方法各异，关键是帮助学生建立知识体系，掌握基本概念和通性通法，活学活用。只有建立基础概念，提升理解能力，渗透学科核心素养，才能达到综合运用的目的。其次，几何教学中要有意识引导学生积极动手画图，培养学生精准作图能力，让学生形成意识知道画，理解概念正确画，巩固技能熟练画，培养图感快速画，围绕目标合理画，考虑周全完整画；几何教学中，教师还要重视文字语言和图形语言的转化，通过教师示范，学生能够理解文字语言并准确画出图形。再次，通过对解题教学过程中的问题和产生的原因进行分析，教师在几何教学过程中要注重几何知识内在逻辑，帮助学生建立知识体系，使学生能在解题中少走弯路，取得事半功倍的效果。最后，在“双减”背景下的解题教学，数学教师要选好题，有针对性设置题目，把握题目质量，老师多做题，多研题，学生才能少做题。

感谢张博士提供的学习平台，感谢孙涛老师的精彩讲解！

个人感言

2022年浙江省金华市中考数学第24题为一道几何大综合，涉及菱形的性质、相似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数、中位线等多个知识点，尤其是需要通过静态图形分析图形的动态变化，考查了分类讨论思想、数形结合等数学思想

第一小问，学生很容易分析条件获得证明两线段相等思路，此问很基础，所以希望针对基础薄弱一点的学生多加鼓励，培养学生不惧难题的数学学习品格；第二小问学生有两个问题：1、作图不规范，而出现错误；2、审题不仔细，遗漏情况。所以一定要引导学生抓住EF过AC的中点的条件作图，并将条件和结论合理转化，由中点条件作为思维起点联想，从而获得解题方法；第三小问，由结论寻求突破，引导学生思考三角形相似的条件，抓住直角的条件，关联对应边的条件而求解，此问学生最大的困难还是作图，如何有耐心的逐步作图，如何将运动中的图形用多个静态图形表示出来是学生最大的障碍，若突破该难点，学生就能容易的解答了，所以学生的作图能力一定要从平时抓起。

一路走来，从开始对解法的探究，后面对教法的探究，思考如何能将题目给学生讲懂，到最后思考该题对学生有什么样的帮助以及对我以后的教学有什么样的启示，以本题为出发点，研究在三角形中分类寻相似，感受到规范作图对学生解题的帮助，也思考了在今后的教学中如何培养学生的作图能力，我们平时可以从“知道画”“正确画”“熟练画”“快速画”“合理画”“完整画”六个方面逐渐渗透，强化学生作图能力，让学生不光会作图，还要做好图，最后做的图能为己所用。因此感谢张博士为我们提供的学习交流的平台，同时也要感谢黄毅老师给予的指导，通过黄老师的指导，不光让我有了新的想法，也让我对教学反思与教学启示有了新的认识。还要感谢郭春艳老师，黄玉成老师，是海松老师，武立峰老师的精彩点评，感谢您们的聆听及更高层次的分析和见解，最后还要感谢研题群内的各位专家给我提供的思路和建议，正是有了你们的帮助，才有这次完整的研题。

最后，作为一名青年数学老师，深知自身的不足，今后我还要多学习，加强自身专业知识，同时要多向各位前辈专家请教，所以平时我还要多进行解题和命题研究，从而反思自己的教学，更好的引导学生分析问题，更好的培养学生学习数学的综合能力。

孙涛老师简介

孙涛，夷陵区九四中学数学教师，中共党员。曾获夷陵区师德模范、优秀教师、区优秀团支部书记等荣誉称号，教学宗旨：教育学生，从爱出发，爱是一种持久而深刻的感情。