怎样想到用三角形面积公式

怎样想到用三角形面积公式？

初看这个问题，感觉很无聊，求三角形面积，不用公式用什么？但随着教学推进过程中越来越多地出现了应该使用面积公式，学生即始终想不到用它，于是返回来重新审视这一应用最为广泛的面积公式，三角形的面积等于底与高乘积的一半，应该不简单。

最初级的应用就是给出三角形的底和高，计算三角形的面积，使用到的运算为乘法，现在在运算上提升，已知面积求底，或求高，立刻转变为除法，再变下去，只是简单增加运算量，并不值得。

换个方式考察，融入观察图形，这次应用起来十分精彩，以下面两道试题为例。

第一题

如图，△ABC的面积为4cm²，AP与∠ABC的平分线垂直，垂足为P，则△PBC的面积为__________cm².

解析

条件元素有△ABC的面积，BP平分∠ABC，AP⊥BP，所求结论是△PBC的面积；

由△ABC的面积出发，求△PBC的面积，并且题目其它条件并无一个关于线段长度，意味着用最初级的面积公式法不可行，因此我们必须寻找这两个三角形面积之间的数量关系，并且由于△PBC在△ABC内部且共边，猜测它们是倍数关系，下面来证实。

BP是角平分线，同时也是AP的垂线，这两种性质的线重合，极易联想到等腰三角形中的“三线合一”，那么，等腰三角形在哪里呢？不妨延长AP交BC于点D，如下图：

我们很容易证明△ABP和△DBP中，∠BAD=∠BDA，于是BA=BD，得到等腰△ABD，然后根据三线合一，得到点P为AD中点；

至此本题的钥匙拿到了，BP是△ABD的中线，CP是△ACD的中线，它们都可以将三角形分成面积相等的两部分，于是S1=S2，S3=S4，而这四部分之和为4cm²，所以“各取一半”得到S2+S4=2，所以△PBC的面积为2cm²；

从本题思维导图可以看出来，关键点其实在于三角形中线等分面积，而这个结论又是基于三角形面积公式的“等底等高”结论，因此学生需要由条件中的“角平分线”、“垂线”因素联想到“中线”，而这三者全部集中于一条线段上，目前学段只有三线合一能做到，所以辅助线作法是延长AP构造等腰三角形，实际教学中，八年级学生很难想到这一层，多数奔着构造全等三角形去了，甚至还有自以为是的学生用所谓的模型去尝试，嘴里说着中线倍长延长BP的，有误认为△ABC是等腰直角三角形去构造手拉手模型的等，虽然是一道填空题，却也着实让某些学生原形毕露了。

第二题

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，分别作点A，B，C关于各自对边的对称点A'，B'，C'，若△A'B'C'的面积为48cm²，则BC的长为__________cm

解析

作图非常关键，理解“关于各自对边的对称点”，即点A与点A'关于BC对称，点B与点B'关于AC对称，点C与点C'关于AB对称，如下图：

图中最容易发现的是一对全等三角形，△ABC≌△A'B'C，根据全等三角形的性质，它们的对应线段相等，那么问题在于，它们的对应线段除了对应边之外，还包括对应中线、对应角平分线、对应高，哪一对才是我们需要的呢？

由于条件给出了△A'B'C'的面积，观察这个三角形，线段CC'⊥AB，而AB∥A'B'是很容易证明出来的，所以CC'⊥A'B'，若将它延长，不正好是△A'B'C'的高吗？如下图：

现在重点观察线段C'E，它由三部分构成，分别是CE、CD和C'D，由轴对称性质，CD=C'D，由全等三角形性质，CD=CE，因此这三条线段彼此都相等，于是C'E=3CE，所以我们可以求出△A'B'C的面积，是△A'B'C'的三分之一，等于16cm²，故△ABC的面积也是16cm²，再由三角形面积公式，得到1/2BC·AC=16cm²，我们将其中的AC换成2BC，得到BC²=16，解得BC=4cm.

从本题思维导图可以看出，AC=2BC其实是个伏笔，触发方程的关键结论是△ABC的面积，仍然与上一题类似，从面积得到面积，并且△A'B'C'与△A'B'C同底，且高存在3倍的数量关系，而这个数量关系要想能观察出来，又必须延长DC得到整个△A'B'C'的高，平行线的关系也要能从轴对称中推导出来，因此本题难度实际上在于找到各条件元素间的关联，找不到，便会跟老师说看不懂题目。

解题反思

这两道与三角形面积有关的填空题，学生刚刚上手的时候，多数有点懵，不知从哪突破，也就是说，轴对称的本质含义并未深入理解，更没想到三角形面积公式在这两道题中的使用。

我们返回到课堂教学中，三角形面积计算公式，学生真的理解了吗？

求三角形的面积，小学生也知道是底乘以高再除以2，如果我们在教学中始终给出底和高来求面积，属于机械重复，达不到深入理解这个公式的目的，在初中阶段，对它的运用更为灵活，底和高未必会直接从图中反映出来，缺底或缺高的情况比比皆是，这种结构不良类的习题，更考验学生的整体建构能力，如何才能让学生想到，是我们在教学过程中孜孜以求的大成之境。

以三角形面积计算公式为例，首先要站在整个初中学段角度去看待它，在学习三角形、四边形、平移、轴对称、旋转等章节的过程中，从不同角度去考查学生对公式的理解；其次是在每一次解题过程中，如果因为没有想到使用它，一定在要反思中点明，尤其是在对学生分析解题思路的时候，说清为什么要这么想，引导学生多问“为什么”，最后在学生解题过程中，有意识地弥补他们的知识体系里的漏洞，通过提示也行，反思也罢，这个环节不可少。

当然，这一切的前提，是作为教师要多研题，去挖掘试题背后的知识框架，思考怎样让学生也建立起对应的框架。