答粉丝提问，三角尺摆放问题，旋转与平移的结合

这是粉丝提问的一道中考数学真题。老黄做出指导后，担心他听不懂，就自己动用解了解，顺便分享给大家。这是一道关于三角尺摆放的问题，与旋转和平移有关。

将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=2√3cm.

(1)求GC的长；

(2)如图2, 将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H, C作AB的垂线，垂足分别为M, N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想.

(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D’E’F’，当D’E’恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD’的长度。

分析：(1)纯含30度角的直角三角形的三边关系的应用，或者可以结合60度和30度的三角函数。先求AC，AB，再由AD求AG，然后用AC减去AG就是答案了。

(2)一开始老黄想利用一个很少人知道的定理来解，即“一线三直角中，若三个直角三角形都相似，则中间的直角顶点平分这条线段。”后来老黄觉得，直接运用这个定理，可能会被误判，如果利用这个定理组织过程，可能会比较麻烦。所以老黄改用“等腰三角形底边三线合一”的定理来解。

注意图2中，三角形BCD易证为正三角形，而三角形ADH则易证为等腰三角形。所以M是AD的中点，N是BD的中点，又AD=BD，所以MD=ND。

(3)直接可以发现，DD'=BD. 可以证明D'E'平行于BG，则D'E'经过点G时，D'和B重合。

以上分析过程，即为思考过程，这个思考过程越快越好。老黄已经老态龙钟，还想了不少时间，聪明的年轻人们，可要争取在最短时间内完成才行哦。下面组织解题过程：

解：(1)AC=BC·tan60⁰=6cm;

AB=2BC; AD=AB/2=BC=2√3cm.

AG=AD/cos30⁰=4cm.

GC=AC-AG=2cm.

(2)猜想：MD=ND.

由(1)知BD=AB/2=BC, ∴△BCD是正三角形.

CN⊥BD, ∴ND=BD/2,

∠ADH=180⁰-∠EDF-∠BDC=30⁰=∠DAH,

∴△AHD是等腰三角形.

HM⊥AD, ∴MD=AD/2,

又AD=BD，∴MD=ND.

(3)DD’=2√3cm. 理由如下：

由(2)知∠ADE=30⁰=∠AD’E’,

DG垂直平分AB，∴∠BGD=∠AGD=60⁰,

∴∠GBD=90⁰-∠BGD=30⁰=∠AD’E’,

∴D’E’//BG,

∴当D’E’经过点G时, D’B重合，

∴DD’=DB=BC=2√3cm.

解题过程的组织，也是一门艺术，一定要保证整可能的简洁，不然一是花时间太多，二是卷子写得太乱，都是不可取的。