四川
大家好！本文和大家分享一下这道1996年高考数学压轴题。这是一道考查函数综合性质的题目，整体来说难度不算大，现在很多高三学生看见都说很简单。接下来我们一起来看一下这道题。
先看第一小题：求证|c|≤1。
c只在函数f(x)里出现，所以要证明结论就要从函数f(x)入手。那么，怎么由f(x)得到c呢？很明显，当x=0时，f(0)=c。由题意，当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1，那么显然当x=0时，|f(0)|≤1，从而得到|c|≤1。
再看第二小题：证明|g(x)|≤2。
要证明|g(x)|≤2，只需要证明-2≤g(x)≤2，也就是说需要求出g(x)在[-1,1]上的值域。
当a≠0时，g(x)是一个一次函数，所以需要分a＞0和a＜0来讨论。
当a＞0时，g(x)是增函数，所以g(x)在[-1,1]上的值域就是[g(-1),g(1)]。由于-1≤x≤1时，|f(x)|≤1，则|f(1)|≤1，|f(-1)|≤1，所以g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-[|f(-1)|+|c|]≥-2，g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2，从而得到此时|g(x)|≤2。
当a＜0时，g(x)是减函数，此时g(x)的值域为[g(1),g(-1)]，然后按照前面的方法证明即可。
当a=0时，g(x)=b=f(1)-c，所以|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2。
综上就可以证明出题干结论。
下面再介绍一个不易想到但更加简单的证明方法。
x可以表示为[(x+1)^2-(x-1)^2]/4=[(x+1)/2]^2-[(x-1)/2]^2，而1可以看成[(x+1)-(x-1)]/2，将其代入g(x)的表达式，然后再变形就可以得到g(x)=f[(x+1)/2]-f[(x-1)/2]。
由于当-1≤x≤1时，0≤(x+1)/2≤1，-1≤(x-1)/2≤0，所以|f[(x+1)/2]|≤1，|f[(x-1)/2]|≤1，从而|g(x)|≤|f[(x+1)/2]|+|f[(x-1)/2]|≤1+1=2，从而结论得证。
最后看第三小题：求f(x)的解析式。
a＞0时，g(x)为增函数，所以g(x)的最大值为g(1)，则有a+b=2。又a+b=f(1)-c，所以c=f(1)-2。又题意知，|f(1)|≤1，即-1≤f(1)≤1，-3≤f(1)-2≤-1，即-3≤c≤-1。又由第一小题知，-1≤c≤1，所以c=-1。
又当-1≤x≤1时，f(x)≥-1=c=f(0)，所以f(x)≥f(0)，即函数f(x)的对称轴为x=0，那么可以得到b=0，从而a=2-b=2。所以f(x)=2x^2-1。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
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