广东
今天老黄要分享2022年高考数学理科全国乙卷的一道简单的复数问题，并且进行一些拓展，让大家对关于复数的问题有一个更深入的了解。下面用z'表示z的共轭复数。
已知z=1-2i, 且 z+az'+b=0, 其中a, b为实数，则
A. a=1, b=-2; B. a=-1, b=2; C. a=1, b=2; D. a=-1, b=-2
方法一：直接由z=1-2i，可以得到z'=1+2i.
那么z+az'+b=(1-2i)+a(1+2i)+b=1-2i+a+2ai+b=(1+a+b)+(2a-2)i=0，
所以2a-2=0,1+a+b=0. a=1, b=-1-a=-2.
这种方法非常基础，相信小伙伴们看完都是能够理解的。就是这个方法有点慢，至少花1分钟，用1分钟解决这么一道选择题，对于高考来说，老黄觉得花的时间有点多了。
方法二：通过逻辑思维，30秒内可以解决，可以节省一半时间以上。
能使z+az'+b的虚部消失的，必定有a=1. 而能使z+z'+b的实部为0的，必定有b=-2. 怎么样？足够快捷吧！这样的思维要学会，高考数学中必定能用到的。
下面是老黄给这道题进行的几个变式，试试你能不能把它们全部解决了。
变式1：z=1+ai (a≠0), 且 z+bz'+c=0, 其中a, b, c为实数，则b=____, c=_____.
变式2：z=a-bi (b≠0), 且 z+cxz'-2=0, 其中a, c, b为实数，则a=____, c=_____.
变式3：已知z+z'-2=0, 写出一个符合条件的z=_______.
变式4： z=a-bi (b≠0), 且 z+az'-2=b+bi, 其中a, b为实数，则a=____, b=_____.
变式1和原题完全是一致的，能使z+bz'+c的虚部消失的，必定有b=1. 而能使z+z'+c的实部为0的，必定有c=-2. 就是z的实部的两倍的相反数。
变式2中c的取值与前面两个问题同理，都有c=1, 而-2a=-2，所以a=1。
变式3还是运用“使z+az'+b的虚部消失的，必定有a=1”的原理。不过这里已经有a=1了，那说明什么呢？说明z的虚部系数是任意的，因此，最简单的答案是z=1. 当然，你要写成z=1+i或者z=1-5i，都随你。
变式4的变化有点大，但万变不离其宗，由虚部系数的关系有：-b+ab=b, 解得a=2；由实部的关系有：b=a+a^2-2=4.
怎么样？高考复数的问题是不是都很简单啊！
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