经典回顾：社会传播的高阶网络模型

导语

高阶交互指的是作用在网络的高阶结构上且涉及多个体的交互行为，相较于二元交互，高阶交互可用于描述系统中涉及多个体的交互行为，例如多个作者之间的学术合作，多种化学物质引发的化学反应等等。基于高阶交互的研究，能够从新的角度去解释传播现象，研究网络高阶结构与功能之间的关系，发现二元交互视角下缺失的动力学性质等。发表在 Nature Communications 上的一篇经典论文定义了一种作用在社交网络的2-simplex上的高阶交互机制，并使用SIS传播模型在实证网络上进行了仿真研究，实验结果表明高阶交互的引入，会导致传播出现非连续的相变，作者通过平均场估计，发现高阶传播概率是能否出现非连续相变的关键因素。

研究领域：高阶交互，社交网络，传播动力学，非连续相变

周方| 解读

梁金| 审校

邓一雪|编辑

论文题目： Simplicial models of social contagion 论文地址： https://www.nature.com/articles/s41467-019-10431-6

1. 社交网络中的复杂传播现象

社交网络中存在各种传播现象，例如病毒在人群间的传播、科技产品的推广、以及大众观点的形成等，这些传播现象都可以基于复杂网络的视角进行建模。

以往，在社交网络传播的研究中，研究者们主要将个体间的交互行为抽象为二元交互，即信息的传递在两个个体间完成。但是社交网络中存在着很多传播现象，例如创新型产品的推广、谣言的传播、社会规范的采纳等，这些传播现象是复杂的，仅通过二元交互无法有效的对其进行刻画；同时，社交网络中很多传播现象还依赖于社会增强作用，所谓社会增强作用指的是信息 （产品） 多次或者被多个个体曝光在目标个体的视角下，最终导致目标个体转发 （采纳） 了该信息 （产品） 。

因为二元交互的局限性，亟需从新的视角对社交网络中复杂的传播现象进行刻画，而本文的作者从高阶的视角对传播过程进行了研究，并且得到了一系列重要的结论。

2. 高阶结构&高阶交互

在复杂网络中，学者们引入单纯形（simplex） 用于描述网络中的高阶结构，简单来说，k-simplex是网络中k+1个节点的集合，这k+1个节点之间相互连接，例如，0-simplex表示网络中的点，1-simplex表示网络中的连边，2-simplex表示网络中的三角形，3-simplex表示网络中的四面体等等, 不同阶的 simplex 组合起来，我们称之为单纯复形（simplicial complex） ，单纯复形的定义源于拓扑代数[1]。如图1b所示，给定一个网络，它能够表示为不同阶simplex的组合。关于单纯形更严谨的定义请参考[2]。当 k>1 时，k-simplex 所表示的是网络的高阶结构。

高阶交互指的是作用在网络的高阶结构上且涉及多个个体的交互行为，依据定义，可知高阶交互是复杂的。在这篇论文中，作者基于经典的SIS模型在2-simplex上定义了高阶交互，具体定义如图1h所示，有三个节点处于2-simplex上，其中两个节点已被感染，这两个节点将分别以概率β感染个体i，同时这两个节点会以高阶作用的形式，通过概率βΔ感染个体i。除上述高阶交互的定义之外，该论文中其余所有的传播机制与SIS模型保持一致。

图1. 任意一个网络总是能够表示为不同阶 simplex 的组合

3. 实证网络中的高阶结构

在实证网络中，如何确定simplex是一个有争议的问题。以2-simplex为例，如果有3个节点a,b,c构成了三角结构，在数学定义上其是满足2-simplex的，但如果a,b,c在同一时段内并没有发生传播行为，那么本质上a,b,c所构成的2-simplex在传播过程中，仍然遵循普通的传播规则，也即是上面的图1f和h表现出来的差异。

这篇文章中是如何确定三个节点组成的结构是2-simplex的呢？研究者使用了四个真实社交场景下，个体之间多次面对面的交互数据构建了四个实证网络：Workplace、Conference、Hospital、High school，保留了三个节点在20s时间内出现在同一场所的频次在前20%的三角结构，将其定义为2-simplex，然后基于高阶交互的定义，在构建的实证网络中使用SIS模型模拟传播过程。由上可知，实证网络中某些结构虽然满足simplex的数学定义，但是仍然需要结合网络的实际场景来定义simplex。

4. 高阶交互下网络的动力学性质

这篇论文中的传播机制包括两部分，高阶传播和普通传播。高阶传播的定义在上述部分已给出，普通传播则是基于SIS传播模型的，模型中的个体有两种状态，易感态 （Susceptible, S） 和感染态 （Infected, I） 。模型有两个参数，分别是感染概率β和恢复概率μ：感染态个体以概率β感染易感态个体，感染态个体以概率μ恢复成易感态。

下图展示了Conference实证网络的结构，以及基于SIS的高阶传播模型得到的结果。图2b表示了最终感染个体的比例与传染概率的关系，不同曲线代表不同的高阶传染概率λΔ下得到的结果，当λΔ=0时，高阶传播模型退化成普通的SIS传播模型。在下图中，作者得到了两个重要的结论：

• 一是随着λΔ从0增大到2，网络的动力学性质发生了变化：当λΔ大于某个值时，传播出现了非连续相变；

• 二是当λΔ=2且传染概率λ较小时，随着初始感染节点数量ρ0的不同，最终感染节点比例ρ*出现了双稳态现象。 也即当ρ0较小时，最终感染的节点数量ρ*=0，当ρ0较大时，最终感染的节点数量ρ*>0，表现在下图中则是当λΔ=2时，曲线在双稳态区域出现了迟滞回线现象。

因篇幅原因，这里仅展示了一个实证网络的结果，在剩余三个网络上，实验结果保持一致。

图2. (a) Conference网络结构图。(b) 传播概率λ与感染个体比例ρ*关系图。归一化后的传染概率λ=β〈k〉/μ，归一化后的高阶传染概率λΔ=βΔ〈kΔ〉/μ，其中〈k〉表示网络的平均度，〈kΔ〉表示网络中平均的2-simplex数量，βΔ表示高阶传染概率。

为了更深入地分析传染概率λ和高阶传染概率λΔ如何导致非连续相变现象的产生，基于网络是均匀混合的假设，作者通过平均场的方法对最终感染的节点比例ρ*进行了估计，得到如下理论结果：

1. 当λΔ≤1时，高阶传播的相变点与经典SIS模型下（λΔ=0）的相变点保持一致。

2. 当λΔ>1时，λc表示临界传染概率，可分为如下三种情况：

• 如果λ<λc，此时唯一的稳定态是在吸收态。

• 当λ>λc时，如果λ>1，是不稳定态，而是稳定态；

• 如果λc<λ<1，可得与都是稳定态，当时（ρ0表示初始感染节点的比例)，传播收敛到吸收态；时，传播最终收敛到。

其中和是在平均场估计方法下传播可能收敛到的两种状态。

图3. 模拟仿真传染概率λ、高阶传染概率λΔ与感染节点比例ρ*的热力图。其中临界传染概率。

通过模拟仿真，图3直观展示了λ、λΔ与ρ*之间的关系，与理论分析部分所得结果一致。首先，当λΔ>1时，在λc处出现了非连续相变（在λΔ>1时 ，λc曲线两边的ρ*的变化不连续）；其次，当λc<λ<1时，最终感染的节点比例ρ*取决于初始感染节点的比例ρ0，在此区域内，传播达到了双稳态，传播最终收敛到的状态取决于ρ0。

5. 总结

本文提出了一种作用在社交网络的2-simplex上的高阶传播模型，作者使用真实的交互数据构建了包含2-simplex的实证网络，在实证网络上模拟仿真发现传播出现了非连续的相变，然后通过平均场方法系统地分析了传播出现非连续相变的原因，发现高阶传播概率的取值决定了传播是否会发生非连续的相变。最后，作者所提出的高阶传播模型可应用于研究真实场景下的高阶传播现象，同时也可推广应用到超图或者类-Kuramoto模型上。

参考文献

[1]. Spanier, Edwin H. "Algebraic Topology McGraw-Hill Book Co., New York-Toronto, Ont." (1966).

[2]. https://en.wikipedia.org/wiki/Simplex

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