二维对称设计：17种平面对称群中的前11种

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

前11个对称群最好用一个正方形的基本单元来解释。有些图案也可以用其他形状生成。这些形状将在后面讨论，但为了简单起见，正方形用于插图和练习。为了让你看到图案根据所应用的对称操作会有多大的不同，在解释所有前11个对称组时使用了相同的基本单元。

图 3.1. 基本单元。

使用对称性

下文详细介绍了如何通过各种方式操作主单元来创建图案。看插图和阅读并不一定能巩固如何生成对称图案的概念。直到我坐在原生单元上操作，并在每个组中排列图案，我才完全理解对称组的概念。对你来说，最简单的学习方法是自己移动和排列单元格，我建议你做这些章节中的每一个练习。

要在每个对称组中创建图案，首先要切割出单个的初级单元，并将其中两个或多个单元粘在一起，以创建一个拼块。然后制作几个相同的拼块，并使拼块朝向相同的方向。并排放置拼块以形成图案。

前11个对称组中的图案在本章中已作了说明，可以使用这里所示的主单元片来形成图案。

1.平移对称（p1）

第一对称组的图案最容易。在平移中，主要的单元是拼片，并且这个单元或拼片通过平移一遍又一遍地重复。拼块总是朝向相同的方向，并向侧面和上下移动。

图3.2显示了并排平移的初级单元，是平移(p1)对称的一个例子。

标准符号—p1

我发现把第一个对称称为“平移”是最简单的，但是对于那些希望将其称为“p1”的人，我对标准标记系统的解释如下。p指的是原单元，p后面的数有两种解释。首先，1可以表示用于生成图案的单元格旋转的次数。在本例中，1表示将原始单元格(p)旋转一(1)圈或360度来创建图案。所以本质上它只是旋转回自己。因此，一个单元创建拼片，并且该单个单元或拼片被转换为图案。对1的另一种解释是简单地将其称为占位符，因为创建切片不需要任何操作。

图3.2 平移对称

有时，分析模式和理解主单元和拼块或平移单元的位置会令人困惑。事实上，当看一个整体的设计时，就像在许多织物中常见的那样，任何数量的不同部分都可以被认为是一个拼块。主要考虑的是找到一个包含设计的所有部分的区域，这些部分将一遍又一遍地重复以产生图案。

我们倾向于看到一个特定的图案，并想把它想象成拼块，但事实上拼块可能只包含图案的一部分，当拼块结合在一起时，这些部分再次结合起来形成整个图案。寻找重复设计的最简单方法之一是在相邻图案相遇的地方画线，在设计表面创建一个网格，就像埃舍尔的鸟一样(插图3.3)。或者，从图案的某个部分到相邻图案的相同部分画线，如插图3.4所示的织物设计。

图3.3 M. C.埃舍尔的《第128号对称图》

图3.4 显示平移对称的织物设计

2.中点或半圈旋转(p2)对称

需要两个主要单元来创建中点或半圈旋转(p2)对称组中设计的单幅图块。为了了解这个对称群是如何工作的，取两个基本单元，把它们一个叠在另一个上面。现在把一个大头针放在一边的中点，把上面的那个旋转180度。如图3.5所示，你将得到一个向上的单元格和一个向下的单元格。

图3.5 创建中点旋转对称拼块

标准符号—p2

这种对称性的p2标记可以解释为在边的中点旋转180 °( 2)的主单元(p)。在p1中，单元使用了整个360。在p2中，单元格使用一半的度数，即180度，因此需要两个单元格来构成完整的360度，或创建单幅图块。

创建图块集，然后通过平移将图块放在一起。根据这种对称性，可以生成三种不同的图案，这取决于是单元的侧面、底部，还是侧面和底部都中点旋转。(无论中点旋转单元格的右侧还是左侧，都会出现相同的整体模式，如图3.6a所示。第二种模式也是如此；通过旋转单元的顶部或底部，你将获得相同的设计，如图3.6b所示。)第三种图案可以通过双中点旋转来制作。这需要四个初级单元。一旦单元格的边被中点旋转，中点旋转每个单元格的底部(图3.6c)。

图3.6 中点旋转(p2)对称性的三种变化示例。

图3.7 中点旋转对称的例子。圆点表示旋转发生的位置。

图3.8 梅花J是中点旋转(p2)对称的一个例子。

大写字母N、Z和S是中点旋转对称的例子。你会发现，如果你将其中一个字母切成两半，将其中一半画在描图纸上，然后将图纸旋转180度，这一半将与另一半完全吻合。pod这个词也是如此。如果单词通过o垂直分成两半，你会看到当一半旋转180°时，两半是一样的(图3.7)。

我记得小时候我是多么着迷于一副纸牌中的J、Q和K。我不太明白怎么会有人设计出一个图案，并且知道当你把卡片翻过来的时候，盯着你的脸会完全一样。但是当卡片被切成两半时，你可以看到两半是完全一样的，一半只是在中点旋转了180度(图3.8)。

交错网格或链状栅栏也是中点旋转对称。查看设计时，很难看出图案是如何产生的，但如果将公共点连接起来，在设计中创建一个网格，图案是如何产生的就很明显了，如图3.9所示。中点旋转(p2)的其他示例如图3.10至3.12所示。

图3.9 起初，一个交织的格子图案可能会令人困惑，但当网格放在上面时，初级单元就可以被分割出来。

图3.10 这种面料的图案是中点旋转(p2)对称的一个例子。底层网格是一个平行四边形。

图3.11 这个在尼泊尔加德满都市中心街道上发现的窗户是中点旋转(p2)对称性的另一个例子。

图3.12 这张伊朗马鞍毯是中点旋转(p2)对称的一个例子。华盛顿特区纺织博物馆

3.风车或90°旋转(p4)对称

在风车(p4)对称组中需要创建四个单元格。堆叠四个主要单元在彼此之上，以确保他们的方向是相同的。用大头针固定其中一个角，将前三个角旋转90°，然后将顶部两个角旋转90°，最后将顶部一个角旋转90°，直到它们全部围绕这个角旋转，形成拼块。

图3.13 由九块拼块组成的图案。主单元格围绕右下角旋转。

图3.14 由九块拼块组成的图案。主单元格围绕左下角旋转。

取决于旋转哪个角，可以用该对称组中的主单元生成两种不同的图案。如果右上角或左下角旋转，则创建一个图案，如果左上角或右下角旋转，则出现不同的图案。但是，应该做一个说明。如果右下角和左上角旋转，将出现不同的方块，但是当方块重复时，将出现相同的图案。旋转右上角和左下角也是如此。

标准符号-p4

这种对称性的p4标记可以被解释为围绕一个角旋转四(4)次的主单元(p)。在这种对称中，我很容易看到一个风车，我更愿意称之为风车对称。

插图3.15和3.16显示了风车(p4)对称性的几个例子。

插图3.15 .传统风格绗缝图案中的风车(p4)对称示例。

图3.16 .说明风车(p4)对称性的镶嵌织物设计。

4.滑移对称（pg）

到目前为止，已经讨论过的三个对称群都涉及主晶胞的旋转，而没有翻转。接下来的八个对称组要求主单元翻转或上下颠倒。

需要两个单元来构成滑移(pg)对称组中图案的平铺。要创建单幅图块，请将两个单元格堆叠在一起，两个单元格都是正面朝上且方向相同。现在拿起顶部的单元格，向右移动(水平)，然后上下翻转(垂直)。这是一次滑移(图3.17)。将拼块放在一起时，你会看到有垂直的行，第一行所有拼块都朝向同一方向，下一行拼块翻转。想象几排并排的拉链，你会得到一个相似类型的图案(图3.18)。

图3.17 当主单元水平移动和垂直翻转时，形成一种滑移(pg)对称模式。

图3.18 成排的拉链显示出滑移对称

标准符号-pg

这种对称的pg名称指的是具有滑移反射(g)的主要单元(p)。我觉得叫它滑移最简单。

根据滑移的方式，可以用滑移创建四种不同的图案。例如，图3.17中的图案是通过水平(横向)移动单元格并垂直翻转它而创建的，但如果单元格向下(垂直)移动，然后水平翻转，则会形成不同的图案(图3.19)。生成滑移时要记住的要点是，如果单元格水平移动，它会垂直翻转。相反，如果单元格垂直移动，它会水平翻转。这里未示出的两种模式也可以通过对角滑移主单元来创建。(参见第21页。)插图3.20到3.22描述了用滑移对称创建的其他图案。合唱线编排举例说明了滑移对称，其中单元首先水平移动，然后垂直翻转。图3.22显示了图案是如何创建的。

图3.19 通过垂直移动单元格和水平翻转形成的滑移模式

图3.20 传统几何图案中滑移对称的例子

图3.21 展示滑移(pg)对称示例的织物设计

5.双滑移(pgg)对称性

需要四个单元来构成双滑移(pgg)对称的拼块。取四个原始单元，将其中两个堆叠在一起，正面朝上，方向相同。水平滑移(水平移动顶部单元格，垂直翻转)。取另一个单元格，将其放在同一方向的第一个单元格(左上角的单元格)上，这次进行垂直滑移(垂直向下滑移单元格，水平翻转)。最后把最后一个单元格放在你刚刚滑过的那个(左下角的那个)上面。确保它与放置它的单元格处于完全相同的位置。现在向右滑移单元格以填充最后一个洞。(水平移动，垂直翻转。)

标准符号—pgg

pgg标签是指带有两个滑移(gg)的主单元(p)。晶体学家在符号中保留一个2(p2gg)。我对这个符号的解释是，主单元(p)有两个滑移(gg)并旋转了180°(2)。

为了理解如何使用这种符号生成图块，请创建两个水平滑移的图块，并将它们以相同的方向堆叠在一起。现在，在两块拼块之间的底部放置一个大头针，并将顶部的一个旋转180度到底部。你会发现这是另一种生成双滑移拼块的方式，因为这种拼块与对面显示的拼块完全相同。

图3.23 双滑移(pgg)对称

图3.24和图3.25展示了双滑移(pgg)对称的例子。

图3.24 为双滑移(pgg)对称创建图块的另一种方法

图3.25 双滑移(pgg)对称的例子

6.镜像对称 (pm)

需要两个单元来为镜像(pm)对称组中的图案生成单幅图块。取两个单元，正面朝上堆叠，一个放在另一个上面，确保它们的方向一致。单元格上的R表示右侧。在单元的一侧放置一面镜子，看看图案的镜像是什么样子。

要创建拼贴，假设你正在打开一本书的封底。拿起最上面的单元，打开它。用胶带将两个单元粘在一起，形成拼块。实际上，单元是水平移动的，然后水平翻转。制作几个拼块，然后通过平移将拼块一个接一个地放在一起。创建镜像单幅图块与创建滑移单幅图块非常相似，但有一个非常重要的区别。在滑移中，如果单元水平移动，它会垂直翻转，而在镜像中，如果单元水平移动，它也会水平翻转，因此一个单元是另一个单元的精确镜像。

图3.26 镜像对称(pm)

标准符号——pm

在标准符号标记系统中，pm代表主单元(p)和镜像单元(m)。

图3.27 传统风格被子图案中的镜像对称示例

根据单元的哪一侧被镜像，可以出现两种不同的图案。如果镜像左侧或右侧(垂直镜像),将出现与镜像单元顶部或底部(水平镜像)不同的模式。术语水平镜和垂直镜指的是镜线的实际位置。

蝴蝶、人形、老虎的脸——都是镜像对称的例子。大写字母T、Y、U、A、V和M以及单词bud就是垂直镜像的例子。字母E、D、K、C和B是水平镜像的例子。插图3.27至3.31展示了通过镜像(pm)对称创建的设计示例。

图3.28垂直和水平镜像示例

图3.29 .镜面对称织物，单元格是矩形

7.交错镜像对称(cm)

交错镜像(cm)对称组与镜像(pm)对称组非常相似，唯一的区别是镜像单元在放在一起时是交错的，而不是一个排列在另一个之上。需要四个主要单元来为该对称组中的图案创建正方形小块。

标准符号—cm

在标准符号标签中，c代表“居中”单元，m代表镜像。我只是觉得交错镜像容易看到也容易记住。

图3.32。可以用交错镜像(cm)对称创建两个不同的拼块，并且它们各自产生不同的图案。

要生成单幅图块，请像在“镜像(pm)”对称组中一样制作两个镜像单幅图块。现在错开拼块，如图3.32所示。这种交错的单元群实际上可以用于拼块，因为这些单元会不断地组合在一起形成图案，但使用起来会很别扭。使用方形拼块更容易。要创建方形图块，请选择右下角突出的单元格，并将其移动到左边的洞内。

就像在镜像对称组中一样，根据单元是镜像到两侧中的一侧然后交错，还是镜像到顶部或底部然后交错，会出现两种完全不同的图案。

图3.33 .由交错镜像(cm)对称创建的两块拼块形成的图案

交错镜像(cm)对称组中的图案很有趣，因为两个不同的单元，一个正方形和一个三角形，可以用于生成相同的设计。事实上，许多具有这种对称性的图形的原始单元，在三角形中比在正方形中更明显。例如，再次查看用主单元创建的图案，你将开始看到，不是镜像的正方形单元，而是由两个镜像的三角形组成的对角设置的正方形。两种单元产生相同的模式。图3.34中的红线表示方形单元和拼块以及三角形单元和拼块。

图3.34三角形初级单元的交错镜像(cm)对称。正方形和三角形单元都生成相同的图案。插图中的红线表示正方形和三角形的主单元格和单幅图块。

图3.35 .花篮设计显示由三角形和正方形初级单元形成的花砖。

图3.37。在传统风格的被子图案中，交错镜子(厘米)对称的例子。

图3.38。织物设计显示交错镜像(厘米)对称的例子

8.滑移交错镜像对称(pmg)

滑移交错镜像(pmg)对称群几乎与交错镜像群相同，只有一个主要区别。当一组反射镜与另一组反射镜交错时，如交错反射(cm ),该组反射镜也会上下颠倒。要创建单幅图块，请制作两组镜像单元，就像前面的两个对称组一样。错开一组镜子，然后垂直翻转或旋转180度。要创建一个正方形拼块，拿起右边突出的单元格，移动它来填充左边的洞。根据镜像主单元的哪一侧，可以创建两种不同的模式。插图3.39显示了两种可能性以及如何制作拼块。将这些与图3.32中的交错镜像对称组进行比较。

标准符号-pmg

在标记系统中，pmg代表初级单元(p ),它首先被镜像(m ),然后被滑移(g)。

插图3.39。从同一个单元创建的两个不同的单幅图块，具有滑移交错镜像(pmg)对称性。

图3.40和图3.41中的示例还显示了滑移交错镜像(pmg)对称组中的模式。

图3.40由滑移交错镜像(pmg)对称产生的两块拼块形成的图案。

图3.41 滑移交错镜像对称的例子。每组设计都使用了相同的单元格。设计上的差异是基于单元的哪一侧被镜像。

9.双镜面对称(pmm)

创建双镜像(pmm)对称组的单幅图块需要四个主要单元。将镜子放在一个初级单元的四面，然后观察它们，看看对称群产生的图案是什么样子。要创建单幅图块，请制作两组镜像对。将它们堆叠在一起，朝向相同的方向。然后简单地向下移动单元格，垂直翻转它们。

标准符号-pmm

在这种对称性的标记系统中，p代表主单元，mm表示沿直角方向有水平和垂直的镜面。

图3.43 双镜面对称

图3.44传统风格绗缝图案中的双镜面(pmm)对称示例。

图3.45显示双镜面(pmm)对称示例的织物设计。

10.交错双镜(cmm)对称

交错双镜(cmm)对称非常有趣，这组图案非常动态。八个正方形单元组成拼块，根据单元的转动方式可以产生四种不同的图案。首先制作两块双镜面拼块(参见第57页的对称说明)，然后如图3.46所示交错排列这些拼块。正如在交错镜像和交错滑移镜像对称组中一样，很难处理形状奇怪的拼块。因此，通过将右下角的两个单元格直接向上移动来填充这个洞，将它变成一个矩形。

标准符号—cmm

最容易想到的是，这个对称群的标记系统是以三角形为基本单元的。这个三角形产生一个覆盖最小面积的拼块。c代表“居中单元”,第一个m表示直角边上的镜像，第二个m表示生成的三角形沿其最长边镜像。

图3.46 交错双镜(cmm)对称

图3.47可用于交错双镜(cmm)对称的三角形单元。

图3.48织物设计显示了交错双镜(cmm)对称的示例。

正如在交错镜像(cm)对称群中一样，三角形单元也可以用于在该对称群中生成图案。这个三角形必须包含一个直角。图3.47中的红线表示也能产生这种图案的单元，但当在织物或玻璃等介质中复制这种图案时，上一页所示的正方形单元要实用得多。为了创建图块，三角形在形成直角的两条边上被双重镜像。两个单元，正方形的和三角形的，产生相同的图案。

绗缝沙漠玫瑰是交错双镜(cmm)对称的一个例子，如图3.48所示。使用交错的双镜像对称很容易生成图案，但是当分析某些设计时，原始单元和拼块有时难以辨别。

因为该单元可以沿四个角的每一个附近的边被双镜像，所以产生四组不同的单元。如果这些是在双镜像对称组中的拼块，它们将产生相同的图案，但是由于双镜像是交错的，每个产生不同的图案。

11 四次旋转镜像或镜像风车(p4g)对称

第三个对称组，风车(p4)，包括围绕一个角旋转主单元四次；因此，四个单元构成了拼块。总共需要16个单元来制造镜像风车(p4g)对称的拼块，其中八个单元正面朝上，八个单元反面朝上。

标准符号-p4g

有多种方法可以移动单元格来实现相同的模式。这种对称性的标记系统似乎是以三角形为基本单元的。首先将单元格绕直角旋转四次(p4)，然后滑移结果(g)，这产生的结果与正方形单元格旋转四次然后镜像的结果相同。

图3.50 主单元的四个角中的每一个都可以旋转，以产生四个不同的转轮块。将镜子放在风车状拼块的所有面上，看看镜像风车状(p4g)对称图案是什么样子。

图3.51 可以从主单元创建的四个图块中的两个

要在镜像风车(p4g)对称组中创建图案，从风车拼块开始(参见第39页)，然后在所有面上镜像该单元。在风车(p4)对称组中，你看到了如何根据旋转的角生成两种不同的图案。镜像风车(p4g)对称组中的图案也是如此，只是这次可以通过旋转四个角中的每一个来生成四个不同的图案。你可以从四个风车状拼块中的任何一个开始。镜像所有的面，想出四种不同的设计，如图3.52所示。需要两个风车和两个反向或镜像的风车来制作重复的拼块。将单元影印到纤维上，创建四个风车状拼块，正面朝上。现在将其中两个翻转过来，如图3.51所示交替放置。

要看到图案是什么样子，沿着风车状拼块的两边以直角放置两个镜子。

在交错镜像(cm)和交错双镜像(cmm)对称组中，你看到了相同的图案是如何从两个不同的原始单元生成的，一个是正方形，另一个是三角形。镜像风车(p4g)模式也是如此。根据设计和如何使用，这种三角形单元可能更有效，因为重复的拼块更小，需要的单元更少。在任何一种情况下，无论是方形单元还是三角形单元被隔离，模式都是相同的。

图3.52 可以使用镜像风车(p4g)对称创建的四种模式的示例

图3.53 展示镜像风车(p4g)对称示例的面料设计。

青山不改，绿水长流，在下告退。

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