对称与镶嵌

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

许多瓷砖在它们自己的边界内都有设计，即便瓷砖内部发生的事情并不影响相邻瓷砖的拼接，但这种设计可以极大地改变瓷砖拼接时产生的图案的外观。例如，许多方形的浴室瓷砖的图案都横跨其中一个边缘，有的甚至简单到只有一条线。这些瓷砖可以全部以相同的方式定向，并反复拼装，以填充一个表面，也可以以各种方式转动，然后拼装，如下图。正是瓷砖的组合方式和每个位置所产生的对称性导致了整体设计的产生。

对称是一种组织设计中重复部分的系统。在平面设计中，有17种方法可以将重复的部分排列起来，以填充一个曲面（二维设计）。有7种方式可以排列部件以创造一个线性图案（一维设计）。当这24种方式加在一起时，是所有表面装饰图案的基础，包括墙纸、纺织品、被子和平面设计。

对称性和镶嵌性不可避免地交织在一起，对其中之一的理解会导致对另一个的更好理解。一维和二维对称性的原理可以通过练习的形式呈现，让你可以进行对称性的实验。通过使用纸、剪刀和胶带，你将以不同的方式移动形状，看看它们是如何结合在一起创造出对称的图案的。如果你做每一个练习，你会学得更轻松、更快速，因为它们有助于澄清概念并给你带来直接的结果。当你身体力行时，你会看到对称的原则是多么令人兴奋，特别是当你能够将它们应用到你自己的艺术作品中时。

无论你的设计兴趣是什么，这些简单的练习将让你发现一个单一主题可以通过在表面上移动的方式来改变的多种方式。

理解对称性是很重要的，因为这将使理解创造镶嵌设计的原理变得容易得多。你也将有知识创造更多的设计，通过应用各种对称到你创造的镶嵌。

花时间仔细阅读，研究插图，完成练习，最重要的是，享受运用你学到的一切来丰富你自己的设计。

《城堡要塞》，Jinny Beyer，1981年

这床被子是传统对称(P4m)对称的一个例子。

对称性导论

图案和对称与节奏和交流一样古老，存在于每一种文化中，无论多么原始。对称围绕着我们，无论是在我们的环境中自然发生的，还是由人类的头脑和手创造的。对称创造了图案。这是一个基本的组织原则，一个由重复部分组成的系统形成了一个设计。当一个非对称的主题(一个晶格单元)重复形成一个图案时，对称就开始了。图案如何重复决定了图案的外观，单个单元可以以多种方式重复，产生许多不同的设计。对对称性的清晰理解是创造镶嵌图案的关键。

图2.1 在织物中发现的图案的例子。

图案

图案是重复部分的组织或排列。在自然、艺术和音乐中，一种图案依赖于三个特征:一个单一的部分或单元，该部分的重复，以及组织这些重复部分的系统。研究一下这一页上的照片就会发现，每张照片中都有一个重复形成某种图案的部分或单元。任何时候一个单元格或一个部分被重复多次，都会有一个图案。

自然界充满了奇妙的图案和设计。出去散步时，你可能会在树叶、树木、花朵和岩石上辨别出图案。动物会自然形成一种图案——鸟类编队飞行，鱼类在池塘游泳，或者成群结队地保护自己。一些与生俱来的本能导致它们以对称的方式行事。蝴蝶的翅膀形成一个图案，因为一个翅膀是另一个的镜像；当水晶重复时，雪花形成美丽的图案；树枝上的叶子以重复的方式生长。

图案和装饰品与创造一样古老，图案的再现在整个人类历史上一直是一个基本的设计原则，经常受到自然界中发现的美丽图案的启发。看看你的家。东方地毯上有图案，有一块布料，有墙纸，有键盘上按键的排列，有窗户上的玻璃窗。对建筑的研究，无论是历史的还是现代的，都揭示了重复的部分，形成了令人赏心悦目的图案。

织物上的图案通常由重复的元素组成。事实上，许多织物都是这样设计的，即重复的元素组合在一起形成一个整体图案。如这里所示的织物所示，很难看出瓷砖在哪里贴合在一起。图案的重复元素可以以不同的方式排列，以形成各种不同的图案。主题重复形成图案的每一种方式都是一种对称。

对称的图案和设计在自然界、动物行为和建筑中随处可见。花瓣，叶子，蝴蝶的翅膀，孔雀的羽毛，和雪花显示出美丽的重复图案。本能驱使动物在成群的鹿、鸟群和鱼群中形成对称的图案。

学校主楼单元

图2.2。Judy Spahn于1983年制作的 "黄房子 "是传统 "学校之家 "设计的变体。左边是用于制作图案的单体或主单元。

图2.3。这里展示的是重复构成 "Castle Keep "设计的较小单元，以及构成重复拼块的四对镜像单元。

图2.4. 传统拼布被子 "Castle Keep "的细节。

在过去的25年里，随着人们对手工艺兴趣的复苏，成千上万的人在编织、各种纺织艺术和被子制作中尝试了表面设计。

分析传统的被子图案是研究对称性的一个很好的方法，因为大多数被子都是由多个重复形成设计的单个单元组成的。在传统的校舍被块中，块本身就是重复形成设计的单个单元或单元。多个较小的单元首先形成块的设计，然后块在面组的表面上重复。

对称的类型

对称是基本的组织原则；它是一种排列重复部分以形成图案的系统。有各种类型的图案可以用对称的运动来创造。水仙花、雏菊、吊灯或足球都有对称性，但在表面设计中，有两种对称图案需要研究。其中之一是创建一维线性或饰带对称图案的运动，其中重复部分仅在一个方向上，如图2.5和2.6所示。

另一种通过对称运动创建的图案是二维或墙纸设计，其中重复的部分在两个方向上填充整个表面，如地板上的瓷砖、马赛克壁画或被子中的块。请看图2.7中的例子。

图2.5 睡莲的详细资料，在拼布边界和织物边界上都具有线性对称。

图2.6 在印度阿格拉的泰姬陵的建筑细节中可以看到几个一维对称的例子。

图2.7 二维对称，来自泰姬陵的细节。

布料和墙纸的图案

在现代印刷设备发明之前的几个世纪里，织物的图案是用木头雕刻出来的，图案的重复是经过精心设计的。将木块浸入染料中，然后小心翼翼地将其印在布上，直到整个表面都被图案所覆盖，这就是费力地印制织物的方法。设计中的每种颜色都用一块木版。木版画在16世纪通过与印度的印花布贸易传入欧洲人手中，这种技术被用于印刷布料和墙纸。

18世纪中期，铜版印刷首次用于布料上。在一块大铜片上刻着一个图案，这片铜片和布一样宽，有一码长。这种方法一次可以打印更大的表面，从而极大地加快了印刷过程。因为密铺(平移单元)更大，所以在重复之前可以有更多的设计元素。限制是只能印刷一种颜色，所以木版印刷继续用于多种颜色的图案。

织物手工雕版印刷。这种织物正在晾着。大约在1800年。

苏格兰雕版，嵌有金属，用于手工雕版织物。

19世纪初，滚筒印刷机的发明彻底改变了纺织业。在这种技术中，图案被雕刻在圆柱形的铜辊上，这样布料就可以连续印刷，不同的辊对应不同的颜色。拼块的重复部分是装在巨大机器上的滚筒的周长。

手工印刷的织物木版。Sanganar，印度。

生成对称图案的方法

有四种运动可以产生所有的线性和二维对称性。这四种运动很容易记住，而且了解它们将有助于你设计所有对称和镶嵌的设计。

平移

第一种生成图案的方法叫做平移。在平移中，主要单元是拼块。它总是朝向同一方向，并横向、纵向或对角线地移动，如图2.21所示。

旋转

第二种操作单元格的方法是旋转。在旋转中，主单元格被旋转一定的次数，旋转次数取决于主单元格的形状和旋转的角度。旋转的次数取决于主单元的形状和旋转的角度。在旋转中，单元格并没有被翻转，而只是转动。在图 2.22 中，等边三角形旋转了六次，形成了六边形的拼块。正方形旋转了四次以创建正方形拼块，菱形旋转了三次以创建六边形拼块，矩形旋转了两次以创建正方形拼块。在所有情况下，箭头都表示旋转发生的位置。

镜像

从主单元生成图案的第三种方法是通过镜像。这也被称为“反射”。在镜像中，主像元的一面或多面被反射。当生成具有镜像的图案时，您需要创建主单元的两个版本，一个是另一个的镜像。想象你有两个单元格在一块透明的纤维上。以完全相同的方式将它们叠放在一起，像打开一本书一样打开上面的那本书。想象一下侧面有一个铰链。本质上你是在移动单元，然后翻转它。如果单元格水平移动，它会水平翻转。(这被称为垂直镜像，因为镜像线在垂直方向上延伸。)如果垂直移动，则垂直翻转。(因为镜像线在水平方向上延伸，所以称为水平镜像。)图2.23中的示例显示了在一侧、底部、两侧和底部镜像的主单元。虚线表示单元的镜像位置。

滑移

从原始单元生成图案的第四种方法是滑移。滑移是平移和镜像(反射)的结合，因此通常被称为滑移反射，但我发现更容易简单地称之为滑移。有三种滑移方式，水平滑移、垂直滑移和对角滑移。这些操作可以通过各种方式实现，但这才是最适合我的。对于水平滑移，单元格水平移动并垂直翻转(2.24a)。随着垂直滑移，单元垂直移动并水平翻转(2.24b)。这与镜子形成对比，在镜子中，单元在移动时被翻转到相同的方向。在对角线滑移中，翻转(或反射)发生在单元的一个角上，然后移动单元，使其侧面邻接原始单元的两个侧面中与反射角(2.24c)相邻的任一侧面。在本文中，由于空间限制和互锁图案的相关性，我们只探索基于水平或垂直滑移的图案，但是读者应该知道，在基于滑移反射的对称组中，可以通过主单元的对角滑移来实现附加图案。

图2.25 17个二维对称组中的每一个的图案。

图2.26 七个线性对称组中的每一个的图案。

这四个操作——平移、旋转、镜像和滑移——以及它们的组合将产生7个线性或边界对称(也称为饰带对称)和17个二维对称(通常称为墙纸对称)。

图2.25和2.26显示了使用17个二维对称和7个线性对称创建的设计示例。对于一些图案是如何产生的，这似乎是一个完整的谜，但是解决方案非常简单。如果你多做练习，研究例子，用不了多久你就能看到一切设计，找到基本单元，并理解那个设计是如何产生的。更重要的是，你将能够使用各种对称操作来创建自己的设计。

二维对称标签

不同的作者和数学家用许多不同的方法来标记或命名这17个二维对称群。下面的信息是因为当你开始学习对称时，你可能想知道为什么对称群被这样标记。此时，不要试图完全理解标签系统。浏览这一部分，继续读后文，然后回来再读一遍这一部分。在你详细阅读了每一个对称群以及它是如何产生的之后，它会变得更有意义。

当我第一次开始研究对称的时候，我发现标记系统让人迷惑，而对我来说把我自己的标签贴在组上要容易得多。就我如何操纵单元而言，我自己的标签对我来说是最符合逻辑的，而且它们似乎让我教的学生对对称不那么困惑了。然而，随着我对对称组越来越熟悉，标准的标签开始变得更有意义，我现在可以互换使用它们。这本书将使用标签，我已附加到每个对称组与缩短标准标签旁边列出在括号。

多丽丝·夏茨施耐德（Doris Schattschneider）在1978年为《美国数学月刊》85期撰写的一篇题为《平面对称群:它们的识别和记法》的文章中解释了命名17个二维对称群的记法系统，该系统已成为标准

该系统是晶体学家用来对晶体进行分类的二维对应系统，因此，17个壁纸对称群有时被称为二维晶体群。结晶学的记法是把图案作为一个整体来看待，而不一定是各个部分。作为一个设计师，我更感兴趣的是各个部分是如何创造图案的。在许多情况下，创建同一图案的方法不止一种，因此有时会造成设计者对结晶器符号的混淆。我在这里的目标是解释这个符号系统，因为它对我来说是最有意义的，而且，这样做也是为了让其他对创建图案感兴趣的人明白。对于我可能在他们的标签上采取的任何自由行为，我向晶体学家们表示歉意。我特别感谢凯文·李（Kevin Lee）和多丽丝·夏茨施耐德（Doris Schattschneider）对符号系统的帮助。

图案的对称组是对一个主单元所做的所有操作（平移、旋转、镜像、滑移）的组合，以创建一个拼块，通过平移重复产生图案，而符号系统则告诉了每个操作是什么。晶体学系统最多基于四个符号。下面解释我对这些符号的解释。其中许多符号已经被缩短，以产生现在最常用来描述这些对称性的标准系统。

从标签上从左到右，我的解释如下:

1.所有组的第一个字母要么是p，要么是c。p代表原始单元(晶体学家称之为原始单元)。c代表居中单元(我将其称为交错单元)，但它实际上仍然是一个初级单元格。

2. 第二个位置的数字表示对称中旋转的最高阶数。在拼块的成型过程中，旋转发生在什么位置，由数字后面的字母决定。凡是数字后面直接有一个m（表示镜面）的时候，就表示旋转发生在镜面线上。换句话说，单元格必须先被镜像，然后沿着镜像形成的角度旋转。如果m出现在另一个字母之后的第四个位置，则必须先旋转单元格，然后再将镜面应用到结果上。

只包含字母p或c后面跟着一个数字的对称组是非常简单的。记号p1表示一次完整的旋转(360°)就能生成瓷砖。这与对单元格什么都不做本质上是一样的。任何时候，当1出现在其他标签中时，它只是作为一个占位符，意味着没有任何操作。符号p2表示瓷砖旋转2次（180°）；p3表示旋转3次（120°）；p4表示单元格旋转4次（90°）；p6表示单元格旋转6次（60°）。如果标签中没有数字，则表示不需要旋转来创建瓷砖。

3.第三个位置(如果标签中没有数字，则是第二个位置)是一个字母，表示对主单元的一侧进行的第一个操作(m =镜像，g =滑移，1 =旋转前没有操作)。

4.第四个位置(如果标签的第二个位置没有数字，则为第三个位置)也是一个字母，表示对单元格的相邻边所做的操作。

下表显示了晶体学家对17个二维对称群的标记、简化的标准符号、我给这群的名称和一个简短的说明。在解释中，原单元一词被缩短为单元。描述指出哪些操作生成重复的密铺。

注：当符号中出现两个m（mm）时，意味着沿着单元的直角有水平和垂直的镜像线。

二维对称群

一维(线性)对称标签

已经有各种各样的标签加到了线性对称群上。本文中解释的符号是最常用的。

每一个线性对称群都有一个由两个符号组成的标签——要么是两个字母，要么是两个数字，要么是一个字母和一个数字的组合。第一个位置总是包含m或a，如果m在第一个位置，则意味着该对称性将包含垂直镜像。第一个位置上的1表示没有垂直镜面，也没有其他变化。1，就像在二维对称中一样，只是作为一个占位符使用。

第二个位置的符号将是1、2、m或g。1表示没有变化，是为了完成记号。2表示中点或半圈旋转，g表示滑移，m表示发生水平镜像。

我给线性对称组附上了自己的标签。我的记号以及现在的标准标签都列在图中。

右边是垂直镜像和水平镜像。

一维对称群

欧若拉，Jinny Beyer, 1989年

为了设计这个被子，四个大单元被轮换使用。这是风车(p4)对称的一个例子。

青山不改，绿水长流，在下告退。

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