小乐数学科普：数学家对流体方程引入非物理解——译自Quanta Magazine量子杂志

著名的纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程可能导致出现多个结果的情况，但仅限于极少数情况。

一个涡环（vortex ring）被用来证明新的结果。

作者：Leila Sloman 2022-5-2 译者：zzllrr小乐 2022-5-2

近两个世纪以来，各种对流体如何流动感兴趣的研究人员都转向了纳维-斯托克斯方程。但是数学家仍然对它们存有基本的疑问。其中最重要的是：方程与现实的吻合程度如何？

即将出现在《数学年鉴》上的一篇新论文削弱了这个问题，证明了曾经有希望的一类解可以包含违反物理学的矛盾。这一进展是朝着理解纳维-斯托克斯与物理世界之间的差异迈出的又一步——这是数学最著名的开放问题之一的谜题。

“这非常令人印象深刻，”巴黎高等师范学院和巴黎城市大学的数学家Isabelle Gallagher说。“我的意思是，这是你第一次真正拥有 [这些] 不是独一无二的解。”

流体本质上难以描述，因为它们的组成分子不会作为一个整体移动。考虑到这一点，纳维-斯托克斯方程使用“速度场”（velocity fields）来描述流体，该“速度场”指定三维空间中每个点的速度和方向。这些方程描述了起始速度场如何随时间演变。

数学家想要回答的大问题：对于任意遥远未来的任何起始速度场，纳维-斯托克斯方程是否总是有效？这个问题被认为非常重要，以至于克莱数学研究所将其作为他们著名的千禧年奖问题之一的主题，每个千禧年问题都有 100 万美元的奖金。

特别地，数学家想知道一个开始是光滑的解 - 这意味着它的速度场不会从一个附近的点突然变化到另一个 - 是否会始终保持光滑。一段时间后，可能会出现代表无限速度的尖锐尖峰。这种被数学家称为发散（blow-up）的结果会偏离现实生活中流体的行为。要获得 100 万美元的奖金，数学家必须要么证明发散永远不会发生，要么找到它发生的例子。

即使方程可以发散，也许不是所有的都丢失了。第二个问题是，发散的流体是否会始终以明确的、可预测的方式流动。更准确地说：无论初始条件如何，纳维-斯托克斯方程是否只有一个解？

这种被称为独特性的特征是普林斯顿高等研究院（IAS）的Dallas Albritton和Elia Bruè以及瑞士洛桑联邦理工学院的Maria Colombo的新论文的主题。

非量子世界以这种方式运作。物理定律决定了一个系统如何从一个时刻进化到下一个时刻，没有瞎猜或随机性的余地。如果 纳维-斯托克斯方程真的可以描述现实生活中的流体，那么它们的解应该遵循相同的规则。“如果你没有独特性，那么这个模型[可能] 是不完整的，”明尼苏达大学教授、Albritton 的博士生导师Vladimír Šverák说。“根本不可能像人们想象的那样用纳维-斯托克斯方程来描述流体。”

1934 年，数学家让·勒雷（Jean Leray）发现了一类新颖的解。这些解可能会发散，但只是一点点。（从技术上讲，部分速度场变得无限，但流体的总能量仍然是有限的。）Leray 能够证明他的非光滑解可以无限期地继续下去。如果这些解也是独一无二的，那么它们可以帮助理解发散后会发生什么。

然而，这篇新论文有令人沮丧的消息。这三位作者表明，一个 Leray 起点可以与两个截然不同的结果一致，这意味着他们与现实的联系比研究人员希望的要弱。

数学家怀疑这与 Leray 解有关，并且在过去几年中，证据不断积累。纽约大学库朗研究所教授Vlad Vicol说，新结果“在某种程度上是最重要的” 。

Albritton、Bruè 和 Colombo 在 2020 年秋季加入 IAS（普林斯顿高等研究院） 的一个研究小组时进入了这个领域。该小组的目的是阅读数学家Misha Vishik于 2018 年在网上发布的两篇 论文。虽然最受欢迎的答案是关于三维空间中的纳维-斯托克斯方程，但也存在二维版本的方程。Vishik 已经证明，非唯一性出现在这些二维方程的修改版本中。

然而，在Vishik发表论文两年后，他的工作细节仍然难以理解。七人研究小组定期大约六个月开一次会，以研究论文。“我们所有人都做出了贡献，我们能够看到发生了什么，”Albritton 说。

Vishik 的证明使用了外力。在现实世界中，力可能是由于飞溅、风或其他任何能够改变流体轨迹的因素。但Vishik的力是一种数学结构。它并不光滑，也不代表任何特定的物理过程。

有了这种力，Vishik 能够找到二维方程的两个不同解。他的解基于漩涡状流动。

“它本质上是创造一种流体流动，让你四处旋转，”Albritton 说。

Albritton和Colombo——后来 Bruè加入——意识到他们也可以使用Vishik的漩涡作为三维的两种不同解的基础。

“该策略实际上非常具有创新性，”Vicol 说，Albritton 在纽约大学做博士后研究期间他为 Albritton 提供了建议。

为了证明非唯一性，三位作者为三维方程构建了一个环形的“涡环”（vortex ring）解。起初，它们的流体完全静止，但有一种力推动它运动。这股力，和Vishik的一样，不是光滑的，保证了涡环也不会光滑。当流体获得动量时，它会沿着涡流流动，在圆环孔中盘旋，然后在外面回流。

然后作者表明，这种涡环解可以退化为不同的解。

效果就像是把石头扔进湖里。通常，你会看到一些波在短时间内消散。这些波在 纳维-斯托克斯方程中显示为添加到速度场的“扰动”。你可以通过或多或少地轻轻地放下石头来处理这种扰动的大小。如果你从靠近水面的位置非常小心地放下它，它可能几乎不会影响到湖面。

但是，如果你在 Albritton、Bruè 和 Colombo 创造的水流中投入一块石头，扰动就永远不会消失。即使你将石头从零高度落下，那微乎其微的干扰也会发展成更可怕的东西。这从相同的初始条件创建了第二个不同的解。

“你有一个解，制造一个无限小的干扰，而不是制造一个有限的干扰，”Albritton 说。“然后，解立即被分崩离析。”

新论文并未明确说明 Leray 解是否独一无二。它的结论依赖于一种专门为使非唯一性发生而设计的外力。数学家更愿意完全避免添加力，并证明某些初始条件会导致非唯一性，而不受任何外部影响。这个问题现在也许离答案更近了。

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