有限设计：如何用对称性分析装饰图案？

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第三类设计与一维和二维设计一起，由有限设计组成。这些设计不允许平移或滑动反射，因此不被称为“图案”。然而，它们可能允许其他对称、旋转和镜面反射中的一种或两种。

对于一些常见的圆形设计应称为有限设计还是一维设计，可能会有歧义，例如“花盆底部内部”或某个平面上的圆内的设计。我们发现Charles Amsden (1936:9)的标准对于确定设计是否为“饰带”(即一维设计)很有用:

作为图案布局的一种形式，饰带必须具有一定的特征。它的长度必须绝对大于宽度，否则它会更准确地用一些表达几何图形的术语来描述，如矩形或正方形。它必须有一条大致平行的上或下边界线，以保持其带状。它必须围绕或跨越整个设计领域.。然后，带状可以被定义为通过绘制平行线来划分可用装饰区以创建装饰区。

使用这个定义作为指导，我们将在这里进一步解释为什么我们将在本章中检查的一些插图是有限设计，而不是饰带。

图6.2-6.6中的设计绝对不在“一般平行趋势”的边界内，因此是有限的设计。在图6.7中，一个内圆(围绕着中央的黑色区域)可以被画出来，这个内圆与篮子的外缘“大致平行”。然而，内圆覆盖了一个很大的黑色区域，因此在形状上与边缘周围狭窄的黑色线不相同。如果这个内圈是白色的，这个篮子的底色，就更自然地称之为饰带设计。

另一方面，在图6.11中，虽然内部区域确实是白色背景的一部分，但是在饰带周围只有三个重复的图案这一事实使我们不愿意将其称为饰带设计。在实践中，有三次或更少重复的设计更自然地被归入有限设计类别，而有四次或更多重复的类似设计可能被认为是带状设计。然而，拟议中的带状设计的过宽（相对于中心区域的小尺寸）使我们无法对图6.13中的霍皮篮子斑块进行这样的处理。

我们没有为有限设计编写流程图，因为严格来说，有限设计的类别是无限多的，每个正整数n至少有一个。然而，有限设计的识别和分类比一维或二维图案的分类更简单。

不同类型的单色有限设计的无限性仅分为两大类，cn和dn，如第2.5.1节所述。cn设计允许旋转1/n整圈(360°/n ),但不允许反射。dn设计允许这些相同的旋转，也允许镜面反射。cn设计看起来是围绕着它们的中心旋转的(例如，一个纳粹党所用的十字记号是C4)；dn设计看起来更静态(例如，正方形是d4)。

对于双色有限设计，类的无限可分为三个大类，如3.4.1节所述。第一个是cn '(当n是偶数时)，这是cn图案可以用与其对称性一致的两种颜色着色的唯一方法;旋转360°/n反向颜色。第二个是d 'n，它是dn的一种着色，其中所有的反射都是反色，所有的旋转都保持颜色。第三个是dn '(当n为偶数时)，在旋转360°/h时，有些反射反色，有些保留色。图6.1显示了这五个类的一个典型例子，取自一本日语设计书。

图6.1a c5日本设计

图6.1b d6日本设计

图6.1c c16’日本设计

图6.1d d’4日本设计

图6.1e d16’日本设计

我们提供了一个最常见的有限设计的小示例，以便用户熟悉这一类别。经过一些研究，应该可以很容易地识别旋转和/或反射轴的数量以及颜色变化。

我们从有旋转但没有反射的有限设计开始。著名的Acoma Pueblo陶艺家Lucy Lewis的一个小盘子（图6.2）只有两重旋转，类c2。双重中心位于盘子的中间，在两个阶梯状的三角形之间。c2图案的唯一可能的双色版本见于我们熟悉的阴阳符号，c2'类（图6.3）。霍皮族的柳条牌匾上有一个三重设计，即c3类（图6.4）。在史前的Anasazi碗的内部（图6.5）和美国东南部密西西比传统的刻痕贝壳饰物（图6.6）上可以看到四重的设计，即c4类。一个五层的例子，c5类，见于皮马族的一个盘形篮子上（图6.7）。

图6.2 露西·刘易斯(Lucy Lewis)的陶瓷碟，阿科马·普韦布洛(Acoma Pueblo)，加州科学院(California Academy of Sciences)，旧金山，no. 2;370 - 139)。C. Thomas摄影。

图6.3 c2’阴阳符号

图6.4 c3柳条匾，霍皮人(加州科学院，旧金山，编号370-911)。c .托马斯的照片。

图6.5 c4陶瓷碗，内部。普韦布洛3摘自1950年的阿普尔顿，第35页

图6.6 c4贝壳颈甲，密西西比州传统，美国东南部(美国印第安人博物馆，海耶基金会，编号15/855)

图6.7 c5盘状斑块，PIMA(加利福尼亚科学院，旧金山，编号370-836)。照片由C.Thomas拍摄。

有限设计的另一种可能的对称性是镜面反射，其中轴线通过中心点。我们看到一个简单的例子，挪威树干的盖子上有一个垂直的镜像轴（图6.8）。当然，这种排列方式，即d1类，在所有双侧对称的面具和其他类似的两部分设计上都可以找到。我们展示了一件商代晚期的青铜玉器（图6.9），器物侧面的精心设计的图案具有dl对称性。

图6.8 d1对称，木刻

图6.9 d1对称，商代青铜盂

我们现在来研究同时具有旋转和镜像反射的有限设计。一个简单的例子是在一个珠袋上发现的（图6.10），它同时具有垂直和水平的镜像轴，因此也允许有双重旋转。它属于d2类。一个由三部分组成的镜像轴的设计，即d3类，见于一个Maidu篮子托盘（图6.11）。

图6.10 d2串珠袋

图6.11 d3篮托盘

四部分图案是很常见的。例如，来自挪威的黄油雕模的内圈（图6.12）有四个镜像轴和四倍的旋转。因此，它属于d4类。（这里我们忽略了三角形小条的不系统着色，以及外边框周围的各种设计）。同样的类别由一个盘绕的霍皮篮匾代表（图6.13）。美国东北部的一个桦树皮容器上的外 "花"（图6.14）也表现出这种对称性。然而，在这个例子中，虽然三部分的花没有颜色反转，但里面的四角 "星 "却有。因此，内部的星星，就其本身而言，具有d4'的彩色对称性。（事实上，把它归入d4'类，我们仍然忽略了对角线的条纹。如果考虑到这些，内侧的星具有c4'对称性）。

图6.12 d4木雕

图6.13 d4匾牌

图6.14 d4容器

四重彩色对称的最后一个例子是在一个Solongo葫芦上(图6.15)。直角转弯始终保持颜色，而镜面反射反转颜色。因此是d'4类。

图6.15 d'4卡拉巴什，索隆戈，扎伊尔

其他常见的有限设计由六部分组成。它们可以只允许旋转，就像公元1800年的中国门图案(图6.16)，这是类c6。或者，它们可能有旋转和反射，就像明朝的青铜寺庙碑(图6.17)，这是类d6。

图6.16 c6格子门图案，东郊，成都，四川，公元1800年，中国

图6.17 d6四川峨眉山青铜寺碑。中国明代。

有些设计被截断得看起来像是有限设计，但事实并非如此。例如，在一张罕见的彩绘毯子上(图6.18)，主要图案似乎是偏置的“纳粹党徽”，但进一步检查发现潜在的p4g结构的过度“编织”(单位和背景区域的不规则从技术上取消了所有对称性。)。

图6.18 p4g 毯子

最后，一些有限图形既不具有线(轴)对称性，也不具有点(旋转)对称性。也就是说，它们是不对称的，它们的类是C1。Pueblo IV陶瓷碗内部的图案(图6.19)就是一个明显的例子。

图6.19 不对称 c1