几何变换生万物

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

通过一组系统的几何变换，我们提出了一种将一个简单的平面图形或图案转换成另一个与之有一定联系的图形或图案的方法。该方法从一个基本的平面图形创建特定类别的星形图案。我们论证了平面设计是一个“原子”和“自组装”的过程，而膨胀、图形和运动是设计中唯一可以直接用几何表示的属性。通过对平面进行一组基本点变换，并重新排列反射轴，将一个简单的图形转换为一系列复杂的星形图案。我们的最终目标是发展设计和创作过程的不变性，并将艺术的形式方面纳入数学的范围。

自组织主题

为了获得对创意设计的量化和机械化的理解，了解转换过程中的递归关系和顺序动作是很重要的。尽管利用对称性和几何变换来制作图案已经被充分理解，并在一定程度上应用于实际应用[2,4]，然而，还没有一个既定的机制来从最初的 "积木 "中创造出一系列美学设计和高度扩展的结构。

任何在表面上画的、印的、编织的或其他形式的图形都被称为 "图案"，条件是至少有一种可能的运动可以将图形作为一个整体而不是点对点或部分对部分地移动到其初始位置[2]。如果A和B是两个（不一定是不同的）集合，那么集合A对集合B的映射，其中A的不同元素在B中有不同的图像，这将是A对B的转换（或一对一映射）[3]。在随后的三个阶段中，图1、图2和图3显示了如何应用这种方法来构建二维表面设计链，其中连续的设计是由最初的图形和链中的早期图形衍生出来的。这些设计都是由一个非常基本的直角几何图形组成的，没有其他东西。一个给定的图形或第一个 "原子 "通过应用某些转换或对称规则被转化为一个新的图形。在图1中，如果O是平面图形的一个固定点，θ是旋转的角度，我们首先应用旋转R(O, θ)，图形在平面内围绕一个点旋转一定的角度，在这种情况下是180º，如果我们应用逆向变换，它就会整体转到它的初始位置。在这种情况下，各个点被旋转了这个角度，围绕这个点。在第二步，我们应用镜像叠加变换，因此是一种关于同一点的反射对称性R(O)。为了实现扩展，在最后两步中，我们将变换的点重新排列成另一个点（O'），并应用旋转镜像对称R（O'，θ），以实现最终设计。

图1：自组织四臂箭头图案的几何变换(第一阶段)

图2显示了下一步，以及将阶段I的最终基序的第一个叠加镜像变换R(O′)，然后旋转变换R(P，θ)应用于所得基序，其中P是最终基序外部的另一个固定点。一个箭头星和十字设计被复制和重新安排从它的整个广阔的建筑块。图3示出了将附加的叠加镜像对称R(O’)应用于阶段II的最终主题，然后将旋转镜像对称R(P’，θ)应用于最终的表面设计，其中P’是平面上的新固定点。

图2:自组织箭头星和十字图案的几何变换(第二阶段)

图3:自组织星形图案的几何变换(第三阶段)

几何变换，就像数学中的群和对称性一样[4]，不仅对解决问题和发现新的事实有用，而且对创造新的设计也有用[6，8]。本文表明，根据变换理论理解的对称性概念在应用于许多设计问题时有几个优点。这一过程非常类似于生物分子的自我复制，也揭示了不同文化习俗和人工制品中的数学奥秘[5]，如伊斯兰艺术中的几何装饰图案和早期土耳其瓷砖和地毯设计图案[1，7]。

参考文献

[1] C. Alexander, A Foreshadowing of 21st Century Art: The color and geometry of very early Turkish carpets, Oxford University Press, New York-Oxford, 1993.

[2] G. D. Birkhoff, Aesthetic Measure, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1933.

[3] H. W. Eves, A Survey of Geometry, Revised Edition, Allyn and Bacon Inc., Boston, 1972.

[4] D.W. Farmer, Groups and Symmetry: A Guide to Discovering Mathematics, Universities Press, 1998.

[5] P. Gerdes, Geometry from Africa: Mathematical and educational Explorations, The Mathematical Association of America, 1999.

[6] M. Hallett and U. Majer(Eds), D. Hilbert’s Lectures on the Foundations of Geometry 1891-1902, Springer, 2003.

[7] C.S. Kaplan and D.H. Salesin, Islamic Star Patterns in Absolute Geometry, ACM Transactions on Graphics, Vol. 23 , No.2 , pp: 97 – 119, 2004.

[8] R. Penrose, The role of aesthetics in pure and applied mathematical research, 10, pp.266-272, 1974.

[9] Fatma Mete, Geometric Transformations in Design Generation