曲线缝合密度图

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

曲线缝合是一种数学艺术风格，在这种风格中，直线的包络形成了突现的曲线。几乎不费吹灰之力，曲线拼接就可以在计算机程序中实现，可以很容易地对参数进行操作。计算机程序的灵活性和力量揭示了本身就很有趣的色彩层次。本文讨论了一种算法，这种算法不是将曲线拼接图案呈现为线段的集合，而是呈现为密度图。这些密度图允许对颜色层次进行探索，并引入了一种新的方法来呈现曲线缝合图像的新方法。

基本曲线缝合

曲线缝合是玛丽·埃佛勒斯·布尔(Mary Everest Boole)在19世纪发明的，当时她拿着用来画画的卡片，不是在上面画画，而是用缝纫针在图案的边缘打孔，把线从小孔中抽出来，形成线条。她最终发现了一些模式，使相交的线能创造出 "由每条直丝线的一小部分组成的对称曲线" [1]。人们仍然在创造曲线缝合作品，作为数学教育课程的一部分，作为一种爱好，也作为艺术。这些作品的创作方法是玛丽·布尔的原始方法，以及手绘和计算机生成的图像。

图1：N=30，k=2。

图2:基础曲线缝合算法

曲线缝合的过程一般可以认为是沿着一套或多套路径定义了一组点P。然后用一个映射函数f (i)将每个点pi∈P映射到pf (i)，其中pf (i)也∈P。然后，每一对点{pi, pf (i)}都作为一个线段的端点。当线段被画出来的时候，它们的包络线就会产生新的曲线和图案。在本文中，路径仅限于封闭的曲线，例如，圆、玫瑰曲线、环状线等等。

映射函数的常见定义是f(I)=(k∗i)mod N，其中N是P中的点的数量，k是一些整数值，如2，3，等等。使用这个定义，图1说明了N=30和k=2时圆的结果。在实现曲线缝合算法时，使用曲线的参数方程g(θ)很方便，它可以从角度θi计算出点pi。在这种情况下，f (i)被转化为f (θ) = k ∗ θ。改变参数方程的方法并不改变最终的图像，因此大多数程序实现了图2所示的基本曲线缝合算法的变体。

图3：使用基本算法时N和k的影响

当在计算机程序中实现时，基本算法能够快速和容易地操作N和k。它很容易使k的值（在手工制作曲线缝合工程时往往是低整数值）成为任意实数、整数或浮点数。图3说明了当基本算法应用于一个圆时可能出现的许多变化中的三个。

密度图

如图3(c)所示，随着基本算法给定的N值越来越高，整个图像中不同密度的线条开始导致颜色渐变。在线条交叉点较多且线段较近的区域，这些区域的整体颜色较深且较浓。在交叉点较少且线段相距较远的区域，这些区域的整体颜色较浅且不强烈。当我用基本算法逐步探索更复杂的图像时，我对颜色渐变的潜力更感兴趣，然后努力开发一种算法，强调渐变而不显示任何可见的线条。

图4：曲线缝合密度图算法

由此产生的曲线缝合密度图算法，如图4所示，是一种抽样算法。与基本算法不同的是，密度图算法从无限多的可能线段中计算出S条随机线段，以生成出现的曲线。从这些样本中，它选择一个随机点，其位置用于增加矩阵M中的密度计数。在生成所需数量的样本后，矩阵将包含代表最终图像中每个位置的线条密度的计数。

该算法的运行时间是线性的，并且取决于随机选择的线段数S。S值越低，图像越粗糙，而S值越高，渐变越平滑，但渲染时间越长。较大的图像需要比较小的图像更高的S值，才能产生等效的结果。本文中的图像最初是在MacBook Pro上创建的，分辨率为1200x1200dpi，S=400,000,000，渲染每个图像大约需要45秒。该算法很容易并行化，改进后的算法现在可以在15秒或更短的时间内渲染图像。

图5：算法比较。图(A)和(C)是用原始的曲线拼接算法创建的。图(B)和(D)是用新的密度绘图算法创建的。

图5比较了这两种算法的结果。即使是细线，基本算法的线段也是图像的一个可见部分，特别是在高分辨率下近距离观察时。在用密度图算法生成的图像中，仍然存在相同的出射曲线，但各个线段的所有痕迹都被颜色和梯度的平滑区域所取代。图6显示了使用密度图算法创建的其他示例渲染。如示例所示，该算法和一般的曲线拼接并不局限于仅从圆生成图像。这些示例说明了如果绘制了线段，结果将如何具有不那么明显的精致、纤细的纹理。这些图像也类似于光线在咖啡杯中产生的焦散[3]。

图6：非圆曲线的示例结果。

在前面的例子中，该算法作用于与一条曲线相关的点集，所有线段都开始和结束于同一条曲线。例如，图7(a)显示了呈现一个圆的结果。一个简单的扩展是连接两条独立曲线上的点。有了两条独立的曲线，我们现在可以调整这两条曲线的大小和位置，允许附加的变化。例如，两个独立圆的半径和中心点可以像图7(b)、7(c)和7(d)那样操作。

如示例所示，修改算法以支持两条相同类型的独立曲线会增加这种可能性。然而，很容易看出，该算法并不真正局限于渲染两条相同的曲线。附加修改可以渲染两种不同类型的曲线(例如，圆曲线和玫瑰曲线)的交互，只要这两条曲线都可以从基于θ的参数方程渲染即可。图8说明了两条不同曲线组合可能产生的一些可能性。

图7:一个圆和两个圆的大小和位置变化的比较。对于每个例子，k = 17/13。

图8：两条曲线的组合

总结与展望

很明显，密度图仍有未被探索的可能性。探索的领域包括使用更复杂或参数化的调色板、设置参数更改的动画，以及在3D中渲染密度图。其他可能性包括在单个图像中合并和分层两条以上的曲线。玛丽·布尔(Mary Boole)的曲线拼接能够创作出视觉上吸引人的作品。曲线拼接密度图创建了一种相似但不同的图像类型，具有相关的美学效果。一种方法侧重于线段，而另一种方法侧重于线段密度的影响。玛丽·布尔在100多年前就发现了这个简单的想法，但它仍有很大的探索空间。

参考文献

[1] M. E. Boole. The Preparation of the Child for Science. 1904. Clarendon Press. Available at https://archive.org/details/preparationofchi00boolrich. Last accessed 02/06/2019.

[2] S. Innes. “Mary Boole and curve stitching: a look into heaven.” Endeavour, vol. 28, no. 1, 2004, pp. 36–38.

[3] B. J. Loe and N. Beagley. “The Coffee Cup Caustic for Calculus Students.” The College Mathematics Journal, vol. 28, no. 4, 1997, pp. 277–284.

[4] John Nicholson, Curve Stitching Density Plots

青山不改，绿水长流，在下告退。

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