我们能造出莫比乌斯环，却无法造出克莱因瓶，原因何在？

我们生活在三维空间中，在学习数学物理的时候就已经对此有所了解了。比如做三维空间的题目时需要做的是三条辅助线，这三条辅助线分别代表了各个维度，也就是我们熟知的长宽高。除了生活的三维空间，科学家们还想到了平面，二维空间甚至是四维空间。

三维空间

而为了让大家更加了解二维空间和四维空间，科学家们想出了莫比乌斯环和克莱因瓶来解释它们，让人们更加具体可感地了解不同空间的状态。但是为什么能够造出莫比乌斯环而造不出来克莱因瓶呢？要想知道这个问题，就首先要了解空间的各个维度之间的关系，以及了解拓扑学的概念。

克莱因瓶

接下来，本文就将从以下几个方面来回答这些问题：第一，空间的各个维度代表了什么；第二介绍莫比乌斯环与克莱因瓶；第三，介绍拓扑学；第五，解析科学家们无法造成克莱因瓶的原因。

空间的各类维度

现在要谈论的就是第一个问题：维度，其实就是空间，可以看作是一个容器，在这个容器里面，分为了体积和形态两个方面。科学家们已经认识到这个世界分为11个维度，但是我们更多的还是了解1到4维度的物体。

维度就是空间

在了解二维和三维的时候，人们经常拿日常中随时可见的小蚂蚁来举例子。因为小蚂蚁和人类的视野不同，在它们看来这个世界就是点和线组成的。它们的生存依靠的不是视野而是气味和触觉，在它们微弱的视线中，点和线构成了这个世界。也因此有人认为可以将蚂蚁看成是二维的动物。

那么因此可见，二维的世界就是点和线。在我们现在所了解的维度中，分为0维度，1维，2维，3维和4维。

二维空间的代表——蚂蚁

0维就是一个点，它们的运动是静止的，可以用一个顶点来表示，大众普遍认为这就是奇点。1维就是一条线，它是0维的运动，可以表示为两个顶点和一条线。2维是一个面，是1维的运动，表示为4个顶点，4条线和1个面。3维是一个体，相当于2维的运动，有8个顶点，12条线，6个面。最后的4维是一个超体，它拥有着3维的运动，16个顶点，32条线，24个面，8个体和1个超体。

人在模拟四维空间里

这样的描述或许有些抽象，在我们日常生活处处充满了三维的事物，对于三维和可以画在纸上的平面都比较好理解。那么二维和四维该怎么表示呢？科学家们因此研究出来了莫比乌斯环和克莱因瓶来分别表示二维和四维空间。

莫比乌斯环

接下来，我们分析第二个方面：或许你在高中数学课上面看到过数学老师用纸条做出来的简易版莫比乌斯环，其实它就是可以用一条纸条将它扭转180°之后，将纸条的两头粘起来，这就形成了莫比乌斯环。

莫比乌斯环

在这个环上，你无法分清楚正反面，因为无论哪一面，都既可以看作是正面，也可以看作是反面。这就是莫比乌斯环的魅力。更为神奇的是，将一只小蚂蚁放在这个环上让它爬，我们可以发现，小蚂蚁不需要返回就能将这个环的两面都走完。而这个环是来自十九世纪的德国数学家莫比乌斯和另一位数学家一起发明和设计的。

德国数学家莫比乌斯

莫比乌斯环在我们生活中被看作是循环的代表，就像在垃圾桶上面印着的图案，也是衍生之后的莫比乌斯环的象征。那么，克莱因瓶又是哪个维度的代表呢？

克莱因瓶

现在来到了第三个方面的问题：克莱因瓶表示的就是四维的空间。比我们生活的三维空间多一个维度，它在数学上叫做标准欧几里得空间。人们常常将标准欧几里得空间和爱因斯坦提到过的四维空间相混淆，但是两者是不尽相同的。

克莱因瓶

四维空间除了我们熟知的长宽高这三个维度之外，还多了一个时间维度。由于我们现在对于更高空间的认识的不足，所以用我们看待三维世界的眼光来看待四维空间，发生的情况就像小蚂蚁用二维点和线的眼光来看待三维空间一样，会出现空间的交叉和重叠。

空间交叉重叠

在科学家用电脑设计出来的克莱因瓶的造型中，可以观察得知，它看起来就像是一个奇怪的玻璃瓶子。这个瓶子是一个封闭的空间，瓶子的底部和顶部连接在一起，最终歪歪扭扭的延伸进瓶子的内部。

就像莫比乌斯环分不清楚正面和反面一样，这个克莱因瓶是分不清楚内部和外部的，看起来的内部换个角度就变成了外部，而看起来的外部换个角度又能看成是内部。

奇怪的玻璃瓶子装不满

还有科学家解释道，如果把东西往克莱因瓶里面塞，那么克莱因瓶将会永远不被装满，这就是克莱因瓶的奇妙之处。那么，为何人们能够简单地造出莫比乌斯环而造不出克莱因瓶呢？

为何造不出克莱因瓶

接下来是第四个方面的问题：我们现在生活的环境是三维的空间，在这个空间里面，能够表示二维的事物，也能画出平面的东西。但是想要更往上一个维度，那就很难来表示了。

生活在三维的房子里

因为这个维度的所有东西都是三维，想要在一个三维的世界里面生产一个四维的事物是不可能的。也就是说，在我们现实的生活中，设计不出来克莱因瓶。

在一些精品店里面会卖很多物品的摆件，在那里卖的克莱因瓶又是怎么一回事呢？根据科学家的解释和对于克莱因瓶的定义，在那些店里面卖的克莱因瓶都是假的虚构的，并不是真正意义上的克莱因瓶。

都是赝品

因为在生产中克莱因瓶的瓶颈和瓶子的面壁一定会相交或是相连，这样才能将瓶子做出来。而这样的生产打破了定义中连续性不可中断的特点，这样的瓶子失去了连续性和单侧性，所以是假货。

拓扑学

而不论是莫比乌斯环还是克莱因瓶，这些都表示的是不同维度的物体。这些几何方面的学科就是接下来我们要解释的拓扑学。曾经是研究数学问题的，是数学方面的一个分支，分析的范围是物体在连续变形下的性质的不变性。而现在拓扑学大多用于研究物理方面的问题，在上世纪的五十年代引用到了物理研究上。在拓扑学方面，我们对更多的问题有了更加深入地了解和认识：例如，拓扑学在超导方面的状态的变化和利用拓扑学将物质的状态进行分类。

拓扑学

在超导方面的状态变化就是当发现了第二类的导体之后，运用拓扑学来发现其表现形式为磁涡旋，这类的磁涡旋呈现出拓扑缺陷的状态。为此，物理学家根据这样的新理论发明了超导环感应强烈的磁强针。

而利用拓扑学将物质进行分类便是将拓扑学运用于新的绝缘子的分类。新型的绝缘子和已知的绝缘子很像，但是它的表面非常光滑。用拓扑学的知识就可以很容易地区分出来，并且还能测量出表面的霍尔电导数值。

绝缘子

可见，拓扑学在各类新的研究上面都发挥了很重大的作用，可以突破更多方面的研究成果。而拓扑学也属于一个新的领域，人们在这个新的领域还将会发现更多的新知识，能将其运用到更多方面来帮助我们生活。