利用星形多边形理解循环群结构

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

对于许多本科生来说，抽象群体的研究是一项具有挑战性的研究。在这篇文章中，我们提供了一个几何背景的概述，它可以帮助学生解释和理解循环群的结构，以及对子群和陪集等核心概念有更广泛的概念理解。星形多边形真实的艺术背景既可以激励学生坚持寻找模式，也可以提供一个具体的参考，让学生可以概括代数的想法。

导言和背景

虽然抽象代数(研究抽象群、环和域)是本科数学专业的一门公共必修课，但有证据表明学生从这些课程中学到的关键代数概念并不令人满意[1，2]。此外，数学科学会议委员会建议，所有未来的中学教师都必须完成至少一门抽象代数[3]课程，在这门课程中，这些未来的教师可以从概念上掌握群体结构，但同时指出，目前“不幸的是，太多未来的高中教师无法理解[抽象代数和数论]与学校代数主题之间的联系”(第40页)。使问题复杂化的是，很少进行教育学研究来调查学生在掌握抽象代数概念方面的困难的来源或潜在的解决方案[4]。在本文中，我将展示一个活动，它可以用来帮助学生理解抽象群论的关键概念，如子群、生成元和陪集。因为有人认为群、子群和陪集的概念是抽象代数中最基本的概念[2]，一个可以帮助学生理解和掌握这些概念的活动对于许多不同的课程设置都是有用的。

特别是，这项活动与一门抽象代数课一起使用，供参加数学教育硕士课程的中学教师练习，重点是对称群。这门课的学生有不同的数学背景和能力，他们坚持在继续学习之前获得对关键思想的概念性理解。在这节课之前，学生们已经学习了有限群的例子，特别是整数群(Zn)和等距群。学生们熟悉二面体群的性质，能够找到二面体群的子群和这些子群的生成元，但对他们使用的策略仍然缺乏信心和概念上的清晰性。就在这个活动之前，通过考虑二面体群Dn的保向元素(即正n边形的旋转对称性)，引入了循环群Cn的概念。

本活动的目的是加深学生对循环群Cn的理解，使他们直观地理解寻找Cn的生成元和子群的策略的概念，并通过几何表示介绍陪集的概念。为了达到这些目的，我们使用了星形多边形的概念。星形多边形是艺术中常见的主题，尤其是伊斯兰艺术，n点星形自古以来就引起数学家和艺术家的兴趣。例如，五角星对古希腊人来说有着特殊的意义，因为它的神秘属性和黄金比例的关系，也出现在凯尔特人、希伯来人、德鲁伊教、埃及人和其他人的古代艺术中[5]。使用这种真实的艺术背景为学生提供了坚持寻找模式的动力，也为这些重要的群论思想提供了极好的几何表示。

活动的步骤

为了介绍该活动，给学生一组具有不同数量的等距点(从4个点到12个点)的圆，并要求他们连接k的所有选择的每个k^th点。例如，传统的五角星可以通过连接圆周围5个等距点的每第二个点来形成，因此它被称为(5，2)星。学生分组将点连接起来，为每组n个点组成星形，然后寻找模式。学生们经常注意到的模式包括(n，k)排列和(n，n–k)排列是相同的。学生们还倾向于注意到，只有当n和k互质时，圆上的所有点才会连通(如下图1所示)。在群论术语中，第一个点代表群生成元a，该点的每个k^th重复代表它的组成a^k.

图1：星形多边形(12,5)说明a^5是C12的一个生成器

图2：星形多边形(12,3)说明了C12与C4同构的子群

图3：星形多边形(12,3)和由a^2构成的陪集的表示

这种活动可以像中学教师一样容易地向中学生展示，所以必须提出额外的问题来帮助学生将他们看到的几何图形与群结构联系起来。例如，通过要求学生考虑n和k的什么选择将允许所有点包含在星形中，以及这与群结构的关系，教师可以提示学生在相对素性和循环群的群生成器之间建立联系(参见上面的图1中的示例)。对于不是n的互质的k的选择，只有点的子集将被连接。因为这些点是基于选择k^th点(对应于群元素a^k)的重复组合，所以它们将形成Cn的子群(如上面的图2所示)，引导学生概括出Cn的子群的数量与n的因子的数量有关。最后，通过思考当子群中的每个元素以不同的旋转组合时会发生什么，可以以几何的方式向学生介绍陪集的概念(例如，参见图3)。

参考文献

[1] Leron, U., & Dubinsky, E. An abstract algebra story. American Mathematical Monthly,102(3), 227– 242, 1995.

[2] Dubinsky, E., Dautermann, J., Leron, U., & Zazkis, R. On learning fundamental concepts of group theory. Educational Studies in Mathematics, 27(3), 267–305, 1994.

[3] Conference Board of the Mathematical Sciences. The mathematical education of teachers. American Mathematical Society, 1994.

[4] Hazzan, O. Reducing abstraction level when learning abstract algebra concepts. Educational Studies in Mathematics, 40(1), 71–90, 1999.

[5] Sarhangi, R. Elements of Geometry for Teachers, Addison-Wesley Publishing, Inc., Boston, Massachusetts, 2003.

[6] Sandy Spitzer, Using Star Polygons to Understand Cyclic Group Structure

青山不改，绿水长流，在下告退。

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