何为饰带对称群？7种画花边的方法

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

在数学中，饰带或饰带图案是一个二维表面上的设计，在一个方向上是重复的。这种图案经常出现在建筑和装饰艺术中。饰带群是饰带图案的对称性集合，特别是图案的等距线集合，也就是由刚性运动和反射建立的几何变换，以保持图案不变。对饰带图案的数学研究显示，根据其对称性，它们可以被分为7种类型。

饰带群是二维线群，只在一个方向上有重复。它们与更复杂的墙纸群有关，墙纸群对在两个方向上重复的图案进行分类，而晶体组则对在三个方向上重复的图案进行分类。

形式上，饰带群是一类由条带(无限宽矩形)上的图案组成的无限离散的对称群，因此是一类由平面上的等距线或条带组成的对称群。一个饰带群的对称群必然包含平移，并可能包含滑移反射、沿条形长轴的反射、沿条形窄轴的反射和180°旋转。有七个饰带群，在汇总表中列出。许多作者以不同的顺序来介绍这些饰带群。

饰带群内的实际对称组的特征是最小的平移距离，对于具有垂直线反射或180°旋转的饰带群（第2、5、6和7组），由一个定位反射轴或旋转点的移动参数来描述。在平面对称组的情况下，额外的参数是平移矢量的方向，以及对于具有水平线反射、滑移反射或180°旋转的饰带群（第3-7组），反射轴或旋转点在垂直于平移矢量方向的位置。因此，第1组有两个自由度，第2、3、4组有三个，第5、6、7组有四个。

对于七个饰带群中的两个(群1和群4)，对称群是单独生成的，对于四个群(群2、3、5和6)，它们有一对生成器，而对于群7，对称群需要三个生成器。饰带群1、2、3或5中的对称群是最后一个饰带群中具有相同平移距离的对称群的第三个子群。饰带群4或6中的对称群是最后一个饰带群中的对称群的子群，其平移距离的一半左右。这最后一组饰带包含条带(或平面)中最简单周期图案的对称组，即一排点。保持此图案不变的平面的任何变换都可以分解为平移(x，y)↦(n+x，y)，然后可选地在水平轴(x，y)↦(x，−y)或垂直轴((x，y)↦(−x，y)上反射，只要这个轴选择穿过两个点或位于两个点中间，或旋转180°，即(x，yy)↦(−x，−y)。因此，在某种程度上，这个饰带群包含了由所有这些变换组成的“最大”对称群。

七个饰带对称群。

P1：T(仅平移，水平方向)。

P1m1：TV(平移和竖线反射)。

P11m：THG (平移、水平线反射和滑移反射)。

P11g：TG (平移和滑移反射)。

P2：TR(平移和180°旋转)。

P2mg：TRVG(平移、180°旋转、垂直线反射和滑移反射)。

P2mm：TRHVG(平移、180°旋转、水平线反射、垂直线反射和滑移反射)

七个饰带群的描述

1 p1

(T)只平移:

这组图形是通过最小的周期距离平移而单独生成的。

2 P11m

(THG)平移、水平反射、滑移反射：

此组由水平轴上的平移和反射生成。这里的滑移反射是由平移反射和水平反射组成的

3 P1m1

垂直反射和平移：

这个群和一维情况下的非平凡群是一样的;它是由垂直轴上的平移和反射产生的。

4 P2

(TR)平移和180°旋转:

这个组是由平移和180°旋转产生的。

5 P2mm

(TRHVG)水平和垂直反射线、平移和180°旋转:

这一组需要三个生成器，其中一个生成器由平移、水平轴上的反射和垂直轴上的反射组成。

6 p2mg

(TRVG)垂直反射线、滑移反射、平移和180°旋转：

这里的平移是由滑移反射产生的，所以这个组是由滑移反射和旋转或垂直反射产生的。

7 p11g

(TG)滑移反射和平移:

这个组是由一个滑移反射单独生成的，平移是通过结合两个滑移反射获得的。

最后总结一下辨认方式：

青山不改，绿水长流，在下告退。

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