安哥拉大叔和印度大婶画画的秘诀——镜像曲线

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

镜面曲线广泛出现在民族艺术中，比如印度泰米尔门庭设计或安哥拉绍奎人沙画。从历史上看，它们存在于地中海、黑海和里海周围大多数民族的艺术中，存在于埃及人、希腊人、罗马人、拜占庭人、摩尔人、波斯人、土耳其人、阿拉伯人、叙利亚人、希伯来人和非洲部落的艺术中。亮点是凯尔特人的交织结，伊斯兰分层图案和摩尔人的地板和墙壁装饰。本文从几何学、拼贴理论、图论和扭结理论的角度对镜像曲线进行了研究。在列举了矩形网格中的镜像曲线，讨论了多项式中的镜像曲线和均匀网格中的镜像曲线之后，将镜像曲线的构造推广到任意曲面。

1.引言

给出平面某一部分的连通边到边的多边形密铺。连接相邻边的中点，我们得到一个正四边形的图：该图的每个顶点都有四条边，称为步。该图中的路径是一系列相连的步，其中每个步只出现一次。该图中的每条闭合路径都称为组件。这种图的所有分量的集合称为镜像曲线。在每个顶点中，我们有三种可能性来继续我们的道路：选择左、中、右边。如果选择中间边，这样的顶点将称为交叉点。通过在每一个交叉中引入上下关系，每一条镜面曲线都可以转化为一个结点设计。

如果我们取一个边为a和b的矩形正方形网格RG[a，b],其中边是镜子，附加的内部双面镜子放置在正方形单元之间，与一条边重合，或者在其中点与其垂直，则术语“镜像曲线”可以简单地证明。在这种情况下，从一个边缘中点发出的光线，与该边缘成45°角，经过一系列反射后将关闭一个组件。从不同的边缘中点开始，直到穷尽整个阶梯图，我们得到一条镜像曲线。很容易得出结论，前面的描述可以扩展到规则的三角形、正方形或六边形镶嵌的任何连接部分，这分别意味着任何多边形、多边形或多面体。

在对莱昂纳多和丢勒创造的泰米尔和绍奎镜像曲线和扭结设计进行历史评论之后(第2，3.4节)，单组分镜像曲线的构造规则在第5节中给出。这种算法规则用于从RG[a，b]获得的镜像曲线的组合计数，具有最小数量的内部镜像(第6节)。在第7、8、9节中，认为黑白设计来自镜像曲线(所谓的Lunda设计)，镜像曲线用于多角形0-1符号，以及Lunda多角形。在第12节中，从纽结理论的观点来考虑镜像曲线。在最后一节中，镜像曲线被推广到任何曲面。

2.泰米尔门庭设计

在马加利的收获月(12月中旬至1月中旬)，南印度的泰米尔妇女过去每天早上都会在自家房子的门庭前画图案。马加利是应该发生各种流行病的月份。他们的设计是为了安抚掌管马尔加利的湿婆神。为了准备她们的画作，妇女们扫了一小块大约一码见方的土地，然后洒上水或涂上牛粪。在干净潮湿的表面上，他们画出了一个等距点的矩形参照系。然后，将米粉夹在手指之间，轻轻移动手指，使米粉形成一条闭合、平滑的线条，从而形成形成图案的曲线。这些曲线的绘制方式是，曲线围绕着这些点，而不是接触到它们。

(文化上)理想的设计是由一条连续的线组成的。由一条“永无止境”的线组成的设计通常被命名为“pavitram”，意思是“戒指”和“梵天穆迪”或“梵天结”。pavitram的目的是吓跑巨人、恶灵或魔鬼。

由两个或几个重叠的封闭路径组成的设计，却被称为pavitram，这难道不奇怪吗？也许由几条永无止境的线条组成的设计，只是原本单一封闭路径图形的退化版本？

有没有可能构造出一个与它们非常相似的设计，但只用一条线来制作？稍微改变它们，我们可以将一些不完美的多线性设计转化为理想的设计。

图1:泰米尔门庭设计

3.绍奎人沙画

“安哥拉东北部的绍奎人以他们美丽的装饰艺术而闻名。当他们见面时，他们会在地上画画来说明他们的对话。这些画大部分都有悠久的传统。它们涉及谚语、寓言、游戏、谜语等，在知识代代相传中发挥着重要作用。”

"……就像南印度的泰米尔人一样，绍奎人发明了一种类似的记忆方法来帮助记忆他们的标准化图画。在清理和平整地面后，他们首先用指尖划出一个等距点的正交网。行数和列数取决于要表现的主题。通过应用他们的方法，绍奎制图专家将整个设计的记忆减少到主要是两个数字和一个几何算法。大多数图纸显示双边和/或旋转(90°或180° )对称。他们象形图的对称性有助于绘画的实施。这一点很重要，因为图纸必须平稳连续地绘制。画家的任何犹豫或停顿都会被观众理解为不完美和缺乏知识，并带着讽刺的微笑。

图2：绍奎人沙画

4.达芬奇和丢勒

莱昂纳多花了很多时间来设计一系列有规律的结，这样绳索就可以从一端追踪到另一端，整个绳索填满一个圆形的空间……

结的设计与镜面曲线紧密相连，引起了两位最伟大的画家——数学家莱昂纳多和丢勒的注意。在他们的一些构造中，他们非常有效地使用了以下几何性质：对于边为a和b的矩形正方形网格RG[a，b]，如果a，b是相对质数，则结果总是一条闭合曲线均匀地覆盖矩形的正方形密铺。

图3：达芬奇和丢勒设计的圆形结

让我们注意到一个更美丽的几何性质：只需使用几个不同的原型即可获得镜像曲线。对于所有曲线的构造，在内镜入射到单元边缘的情况下，对于规则三角形瓷砖的情况，三个原型瓷砖就足够了，对于正方形的情况，五个原型瓷砖就足够了，对于六边形规则瓷砖的情况，11个原型瓷砖就足够了[4]。

图4：正方形网格的五结原型

使用11个均匀阿基米德镶嵌[5]中出现的组合，或产生空间结构和彩色原型瓷砖印象的原型瓷砖，我们可以获得非常艺术的交错图案，属于所谓的模块化设计:使用少数初始元素(“模块”-原型瓷砖)来创建无限的设计集合[6]。从阿基米德镶嵌中得到的镜像曲线使我们想起了光学现象:光线从一个物理环境转移到另一个物理环境时方向的改变。

5.镜像曲线

对编织和编篮三维艺术的模仿是交织和打结交织图案的起源。有一些犹太人种族没有使用它作为石头、木材和金属的装饰。在地中海、黑海和里海、埃及人、希腊人、罗马人、拜占庭人、摩尔人、波斯人、土耳其人、阿拉伯人、叙利亚人、希伯来人和米里安部落的大多数民族的艺术中，都可以找到交织的玫瑰花环、花边和装饰品。他们的亮点是凯尔特人的交织结，伊斯兰图案和摩尔人的地板和墙壁装饰[2]。

它们共同的几何构造原理，由P.Gerdes发现，是使用入射到正方形、三角形或六边形规则平面瓷砖边缘的(双侧)镜子，或在其中点垂直于其边缘的镜子[1，7，8，9]。在理想情况下，经过一系列连续反射后，光线到达其起点，定义了一条闭合曲线。在其他情况下，结果由几条这样的曲线组成。例如，对于G.贝恩的书《凯尔特艺术》中的凯尔特设计[2]，对应于以下镜像方案：

图5:带有镜像图案的凯尔特结

为了发现它们共同的数学背景，他们出现了两个问题：如何构造这样一条完美的曲线——一条均匀放置在规则瓷砖中的单线，这意味着弯曲来排列生成它的一组镜子，以及如何对获得的曲线进行分类。原则上，任何多项式(多面体或多面体[10])在其边界上具有镜面，并且在单元之间或在其中点垂直于单元内部边缘的双面镜，都可用于创建相应的曲线。

为了在一些polyomino（polyiamond或polybexe）中构建它们，我们提出了以下方法。首先，我们在不使用内部镜像的情况下构建所有不同的曲线，从不同的单元格边缘中点开始，以它们为终点，直到polyomino被耗尽，即被k曲线均匀覆盖。之后，我们可能会使用“曲线手术”来获得一个单一的曲线，根据以下规则:

1.在两条不同曲线的交叉点引入的任何镜子将它们连接成一条曲线；

2.根据镜像的位置，引入(定向)曲线的自交叉点的镜像或者不改变曲线的数量，或者将曲线分成两条闭合的曲线。

图6:引入镜子的规则

在每个多米诺中，我们可以引入k-l, k, k+1, ... , 2A-P/2内部两面镜，其中A是面积，P是多米诺的周长。引入最小数量的.镜面k-l，我们首先得到一条单一的曲线，在接下来的步骤中，我们试图保留这个结果。

在具有边a，b的矩形正方形网格RG[a，b]的情况下，在不使用内部反射镜的情况下获得的曲线的初始数量是k = gcd(a，b) (gcd-最大公约数)，因此为了获得单个曲线，内部双面反射镜的可能数量是k-1，k，...2ab-a-b根据引入内部反射镜的规则，我们提出以下用于产生单线设计的算法:在每一步中，必须在属于不同曲线的交叉点引入第一个内部k-1反射镜中的每一个。之后，当曲线连接并转换成一条直线时，我们可能会引入其他镜像，根据提到的规则，考虑曲线的数量。例如:

图7:RG[2，2]中单线设计的推导。

这种曲线的对称性被用来对P.Cromwell[11]的凯尔特饰带设计进行分类，并用于P.Gerdes[3，12]的泰米尔设计的重建。从装饰遗产来看，乍一看，对称性似乎是它们构建和可能分类的数学基础[1，3，11]。但是，这种不对称曲线的存在表明了另一种方法。

我们可以使用的第一个判据是几何判据：如果两条曲线有相似之处将一条曲线转化为另一条曲线，则两条曲线相等。这意味着，一条曲线可以通过相称性和等距的组合作用从另一条曲线获得。我们可以不考虑曲线，而是考虑以相同方式定义的等镜面排列。有了构造这种完美曲线的算法和它们相等的准则，我们可以尝试列举它们：对于给定的镜数m(m=k-l，k，…，2ab-a-b)，找出可以从一个边为a，b的矩形导出的所有不同曲线(即，镜面排列)的数目。

对于这种完美曲线的分类，另一种观点是纽结理论[13]。每一条这样的曲线都可以简单地转化为交错的结设计，也就是说，转化为某个交错的结的投影。我们在第11节回到这个连接上。

6.列举

问题是：对于给定的镜数m(m=k-i，k，……)，求出所有不同的单线性曲线的数目(即对应的镜面布置)，这些曲线可以从具有k条曲线覆盖的边a，b的矩形网格RG[a，b]导出。、2AB-a-b)。不幸的是，我们离这个问题的普遍解决方案还很远。这样做的原因是：每一个内部镜子的引入都会改变整个结构，因此它的行为就像某种“生命游戏”或细胞自动机，其中一个局部变化会导致全球变化。

例如，在一个矩形6x3中，有52种不同的两个边缘入射镜排列，可以产生完美的曲线。其中对称的只有8个，镜像对称的只有4个，点对称的只有4个。

图8:矩形6×3中两个边缘入射镜的52种排列。

7.Lunda设计

如果我们列举奇异镜像曲线经过的小方块1，2，3，...直到闭合曲线完成，然后将所有数字以2为模进行归约(当除以2时，用余数代替每个数字)，结果将是一个0-1(或“黑”-“白”)的马赛克：Lunda设计[7，8，9]。Lunda设计具有局部平衡性质:任意两个具有联合参考点的边界单位正方形中的整数之和相同，任意两个相邻网格点之间的四个单位正方形中的整数之和总是前一个之和的两倍。由此得出全局平衡性质:每一行的总和相等，这同样适用于各列。如果我们列举曲线并以4为模减少所有的数，由此产生的局部和全局平衡性质也成立。

特别地，列举一条规则曲线(镜子入射到网格边缘)并减少所有数的模4，我们得到四色Lunda设计，其中每个参考点被数0，1，2，3有序地包围，围绕这些点的序列的排列是顺时针和逆时针交替的。

单线镜像曲线(即镜像的相应排列)和Lunda设计之间的对应关系是多对一的，因此相同的Lunda设计可能来自几个类别，由不同的镜像排列组成。开放式问题:尝试定义这类镜像排列。

图9：镜子排列和它们相应的Lunda设计。

参考文献

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[4] S.V. Jablan, Mirror generated curves, Symmetry: Culture and Science 6,2 (1995), 275-278.

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[11] P.R. Cromwell, Celtic knotwork: mathematical art, The Math. Intelligencer 15, 1 (1993), 36-47.

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[13] C.C. Adams, The Knot Book, Freeman, New York, 1994.

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[19]Slavik lablan, Mirror Curves

青山不改，绿水长流，在下告退。

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