苏丹卡布斯大清真寺的伊斯兰图案对称群

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本文分析了阿曼马斯喀特苏丹卡布斯大清真寺发现的伊斯兰图案。我们用群论来分析这些图案。特别是，我们认为二面体、饰带和墙纸组是图案可能的对称群。

苏丹卡布斯大清真寺

许多书籍和论文[1, 2, 4, 8]对伊斯兰艺术进行了研究和分析，甚至在[5]和[6]等书中作为例子出现。特别是，Chorbachi[4]展示了我们如何使用群论来分析伊斯兰艺术。阿曼苏丹国的伊斯兰艺术与其他伊斯兰社区非常相似。然而，阿曼是唯一一个大多数人口坚持伊巴迪教派的国家。此外，阿曼的历史，在很大程度上，是Ibadhite运动的历史。因此，有必要对阿曼的伊斯兰教，包括伊斯兰艺术的各个方面进行单独的分析。

众所周知，伊巴迪法学派是纯粹的，导致古老的清真寺没有任何的装饰[8]。阿曼有许多历史遗迹和建筑，仍然需要更有效地管理和保护这些历史遗迹[3]。此外，该国正在向伊斯兰社会其他国家开放，放松了对伊斯兰艺术的立场[8]。

这座大清真寺是在阿曼开始学习现代伊斯兰艺术的好地方。一部纪录片[8]总结了这座大清真寺的重要性：新建的清真寺借鉴了整个穆斯林世界的传统。这反映了不同派别的穆斯林今天在阿曼和平共处的事实。这种兼收并蓄的建筑原则集中在单一的建筑群中。这座清真寺的建筑朴实无华，但细节丰富。它成功地和谐地呈现了来自不同地区和时代的最多样化的伊斯兰艺术传统。

这座清真寺于2001年开放，可容纳2万名礼拜者，如图1所示。内部镶嵌着灰白色和深灰色的大理石，上面覆盖着切割的瓷砖。拱门装饰着花卉图案，壁板镶嵌在大理石上。壁龛中的图案来自各种古典的波斯图案，主要是萨法维图案。天花板的灵感来自阿曼的堡垒，而圆顶则有华丽的彩色玻璃三角形，还有一个巨大的施华洛世奇水晶枝形吊灯，上面有镀金的金属制品[10]。今天，它是阿曼最大的清真寺。

在本文中，我们来看看装饰在大清真寺的墙壁、天花板、地板、拱门和壁龛上的图案。我们用群论对这些图案进行了分析，并根据它们的对称群对它们进行了分类。

图1：苏丹卡布斯大清真寺

一些群论知识

抽象代数书籍如[6, 9]详细讨论了循环群、二面体群、饰带群和墙纸群。在本文中，我们将这些群作为苏丹卡布斯大清真寺中的伊斯兰图案的对称群。设F是欧几里得平面E2中的一个图案。F在E2中的对称群是E2中所有将F带入自身的等值线的集合[6]。为了完整起见，我们在此简单讨论一下循环群、二面体群、饰带群和墙纸群。

Dn，或2n阶的二面体群，是一组固定正n边形的等距线。等距包括n次旋转和n个反射轴。循环群Zn是Dn的下标2子群。Zn中的等距包括n次旋转，但不包括来自Dn的反射。Zn和Dn是唯一的有限平面对称群[6]。

在变换几何中，为了形成欧氏平面的无限对称群，可以考虑两个额外的等距。除了旋转和反射，我们还可以包括平移和滑移反射。如果我们考虑一个无限对称群，它的平移子群是与Z同构的，这就产生了离散的饰带群。正好有7个饰带群[6]。在本文中，我们使用传统的(Hermann)符号：p111, pm11, p1m1, p1a1, p112, pma2, pmm2。

墙纸群，或称平面晶体群，是无限的对称群，其平移子群与Z⊕Z同构，正好有17个墙纸群[6]。在本文中，我们使用它们的IUC符号：p1, p2, pm, pg, cm, pmm, pmg, pgg, cmm, p4, p4m, p4g, p3, p3m1, p31m, p6, p6m。

几篇参考文献展示了如何分析一个图案并对它的镶边或墙纸组进行分类。在本文中，我们通常使用[6，11]中的(相同的)流程图来检查我们的分析。

如果一个伊斯兰图案具有对称性并且是彩色的，我们可以用两组来分析这个图案。设G是未着色图案的对称群，而K是固定着色图案中颜色的等距群。换句话说，K是彩色图案的对称群。可以证明K≤ G .当所有的对称都固定颜色时，K = G .在本文中，我们将为所分析的每个伊斯兰图案提供组G。如果一些对称互换了颜色，我们也会提供k。

如果一个伊斯兰图案没有被平移，我们会将其分析为具有环状或二面体对称群。通常，这些图案出现在拱形角落或作为一个精心制作的图案的中心部分。如果图案在一个方向上至少重复三次，则伊斯兰图案具有饰带对称群，而如果图案在两个方向上至少重复三次，则伊斯兰图案具有墙纸对称群。在这两种情况下，我们假设图案在正确的方向上无限重复。我们不限制我们对图案大小的分析，因为一些图案很小，很容易在小空间内重复。《古兰经》中的阿拉伯书法经常装饰在大清真寺的墙上。因为这些书法是文字，所以我们在分析时忽略了这些。最后，本文的作者都是男性，大清真寺是一座正常运作的清真寺。因此，还没有对妇女祈祷厅的内部进行分析。本文呈现的图形是在大清真寺发现的对称群的代表。清真寺里有更多值得欣赏的图案，这里没有展示。

以二面体群作为对称群的图案

大清真寺展示了至少五种有限对称群的图案。这些是D1、D8、D12、D16和Z4。如图2(a)所示，只有一个反射的有限图案具有D1型对称群。图2(b)显示了一个有限的图案，其中有8倍的旋转，8个反射轴穿过旋转中心。该图案具有对称群D8。图2(c)-2(e)需要更多的分析，因为我们看到了一个内部图案和一个外部图案。在图2(c)中，内部花卉图案具有对称群D12，而外环具有对称群D24。取两组的交集，整体对称群为D12。在图2(d)中，内部花卉图案具有对称群D16，而外环具有对称群D32，使得整体对称群为D16。图2(e)中的内花图案具有对称群D24，外环具有对称群Z44，使得整体对称群为Z4。

图2：以二面体和循环群为对称群的有限图案：(A)具有对称群D1；(B)具有对称群D8；(C)具有对称群D12；(D)具有对称群D16；以及(E)具有对称群Z4。

以饰带群作为对称群的图案

没有垂直反射的图案。没有垂直反射的图案有四种，分别用p111、p1a1、p1m1、p112表示。到目前为止，在大清真寺里只发现了p1a1。图3(a)显示了没有垂直和水平反射的图案。这种图案只能向一个方向平移。被平移的单位单元由虚线矩形表示，给图案一个对称群p111。图3(b)显示了对称群为p1m1的图案。图案没有垂直反射，但有水平反射。被平移的单元由虚线矩形表示，而水平反射的轴由单元中间的实线表示。水平反射将图案中两种深浅的棕色互换，使K = p112。这是我们第一次在大清真寺遇到一个图案，其中K < G。图3(c)是一个有趣的图案。该图案没有垂直和水平反射，但有两种二重旋转，一种以指示的单位单元的中心为中心，另一种以指示的单位单元的边缘为中心(旋转中心在圆上)。因此，G = p112。但是，以单元边缘为中心的两次旋转不会固定颜色，而以单元中心为中心的两次旋转会固定颜色，使K = p112。在这种情况下，即使K < G，K也同构于G。

图3：无垂直反射的饰带图案:(a)对称群p111;(b)具有对称群p1m1;(c)具有对称群p112。

带有垂直反射的图案。具有垂直反射的三种类型的图案由pm11、pma2、pmm2表示。图4(a)显示了具有垂直反射但没有水平反射和旋转的图案。反射轴位于单元的侧面和中心，用实线表示。这个图案的对称群是pm11。图4(b)显示了具有垂直反射和两次旋转的图案。反射轴位于单元的侧面和中心。旋转中心在单元内部，用圆圈表示。该图案没有水平反射，具有对称群pma2。最后，图4(c)显示了对称群pmm2的图案。它具有垂直和水平反射以及旋转，如单元上所示。

图4：具有垂直反射的饰带图案：(A)具有对称群pm11；(B)具有对称群pma2；以及(C)具有对称群pmm2。

以墙纸群作为对称群的图案。

没有旋转对称的图案。有四种不具有旋转对称性的图案，它们由p1、pm、cm、pg表示。我们在大清真寺发现了两个：pm，cm。图5(A)显示了对称群为G=pm的图案。除平移外，图案还具有垂直反射，由实线指示。这种图案特别有趣，因为细胞有两种不同类型的装饰物，使对称群成为pm。另一方面，垂直反射不能固定颜色。这使得有色图案的对称群K=p1。图5(B)显示了对称群为cm的图案。图案有垂直反射(单线)和垂直滑移反射，其滑移轴不是反射轴(双线)。

具有二重旋转对称的图案。有5种具有二重旋转对称性的图案:pmm, cmm, pmg, pgg, p2。大清真寺里只有pmm, cmm和p2。图6(a)显示了对称群为G = p2的图案。图案没有反射，有两层旋转，其中心在指示的圆上。这两层旋转并没有固定这两层蓝色，这使得K = p1。在图6(b)中，图形以反射轴和反射轴为中心进行了两次旋转，得到G = pmm。然而，这个图案有四种颜色。两次旋转和所有的反射都不固定颜色，使彩色图案的对称群K = pm。然而，这两种深浅的棕色有时是难以区分的。在棕色不可区分的情况下，K变成了p1。最后，图6(c)具有对称群G = cmm。与图6（b）相比，图6（c）中的图案的旋转中心不在反射轴上，由双线上的圆圈表示。另一方面，垂直反射（单线）没有固定颜色，而滑行反射（双线）固定了颜色，使得K=cm。

图5：无旋转对称的墙纸图案:(a)具有对称群pm;(b)具有对称群cm。

图6:具有二重旋转对称的墙纸图案:(a)具有对称群p2；(b)具有对称基团pmm和(c)具有对称群cmm。

具有四重旋转对称的图案。具有四重旋转对称的三种图案都在大清真寺中发现:p4、p4m、p4g。图7(a)显示了对称群为p4的图案。黑色矩形瓷砖的排列方式使得在整个图案中不会出现反射。四倍和两倍旋转的中心分别由菱形和圆形表示。图7(b)显示了对称群为p4m的图案。该图案有四重旋转和四个方向的轴反射。两个反射轴用实线表示，而旋转中心用菱形或圆形表示。图7(c)中未着色图案的对称群是G = p4g。图案有四重旋转和反射，轴在两个方向，如图所示。这个图案有两种颜色。四重旋转不会固定颜色，但是两重旋转会。垂直反射还固定颜色，使彩色图案的对称群K = cmm。

图7：具有四重旋转对称的墙纸图案：(A)具有对称群p4；(B)具有对称群p4m；以及(C)具有对称群p4g。

具有三重和六重旋转对称性的图案。具有三重旋转对称性的图案有3种：P3、P3m1、P31m。有两种具有六重旋转对称性的图案：P6和P6m。这些都没有在大清真寺找到。

总结和进一步工作

在本文中，我们观察到在卡布斯苏丹大清真寺中发现的各种图案的对称群有以下几组。D1、D8、D12、D16、Z4为有限图案，p111、p1m1、p112、pm11、pma2、pmm2为饰带群，pm、cm、pmm、cmm、p2、p4、p4m、p4g为墙纸群。对于无限的图案，旋转的顺序受限于可能的饰带群和墙纸群。如果我们把非彩色对称群和彩色固定组都包括在内，这里的倾角显示了七个饰带组中的六个和十二个 "矩形 "墙纸组中的9个（那些没有3重或6重的旋转）。) 然而，对于有限图案，对可能的旋转顺序没有限制。有趣的是，我们只看到有限图案的对称群有4重、8重、12重和16重的旋转。

虽然阿曼在地理上，在神学上与伊斯兰教的其他教派是分离的，但我们可以看到，它对纳入各种各样的数学对称形式有着同样的兴趣。当然，大清真寺建于1995年至2001年之间，它旨在“呈现最多样的伊斯兰传统”，所以这在某种程度上是意料之中的。对更多历史遗迹的进一步研究可以让我们深入了解这是一个历史现象还是一个更近的现象。

同样有趣的是，我们没有发现任何3重和6重旋转，导致没有具有对称群p3、p3m1、p31m、p6和p6m的图案。此外，缺失的三个矩形图案是PG、PMG和PGG；缺失的饰带图案是p1a1，它们都是专注于滑移反射的设计。其中一些确实出现的设计，特别是pma2(饰带)、cm和cmm(墙纸)，确实包含滑移反射，但其中一些可能会因为其他预期的对称性而“意外”出现。再一次，进一步的研究可以看看这些对称偏好是历史的还是现代的。

除了清真寺之外，伊斯兰图案还可以在堡垒、苏格（传统市场）、大门以及其他建筑群中找到。阿曼的伊斯兰图案在功能性和非功能性的建筑群中都可以找到。分析阿曼的文化属性是一项新的工作[3]，利用群理论来分析这些图案，可以做更多的工作。

参考文献

[1] Abas, S.J. and Salman, A.S. Symmetries of Islamic Geometrical Patterns, Singapore: World Scientific, 2007.

[2] Bodner, B. Lynn. “The Planar Crystallographic Groups Represented at Alhambra,” Proceedings of Bridges 2013: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture, pp. 225-232, 2013.

[3] Al Busaidi, Y.S. “The protection and management of historic monuments in the Sultanate of Oman: the historic buildings of Oman,” Proceedings of the Seminar for Arabian Studies (34), pp. 35-44, 2004.

[4] Chorbachi, W.K. “In the Tower of Babel: Beyond Symmetry in Islamic Art,” Computers Math. Applic. (17), pp. 751-789, 1989.

[5] Conway, J.H., Burgiel, H., Goodman-Strass, C. The Symmetries of Things, USA: AK Peters, 2008.

[6] Gallian, J.A. Contemporary Abstract Algebra, 8th ed, USA: Brooks/Cole Cengage Learning, 2012.

[7] Ghubash, H. Oman – The Islamic Democratic Tradition, London: Taylor & Francis, 2006.

[8] Islamic Art in Oman, a documentary film by the Ministry of Endowments and Religious Affairs, Sultanate of Oman. http://www.islam-in-oman.com/en/documentary-film-islam-oman/islam-art

oman-documentary-en/, as of 2 February 2014.

[9] Malik, D.S., Mordeson, J.N., Sen, M.K. Fundamentals of Abstract Algebra, International Series in Pure and Applied Mathematics, USA: Mcgraw-Hill Book, 1997.

[10]The Sultan Qaboos Grand Mosque, the official website of the Ministry of Information, Sultanate of Oman. http://www.omanet.om/english/Relegious/grandmosq.asp, as of 2 February 2014.

[11]Washburn, D.K. and Crowe, D.W. Symmetries of Culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis, USA: University of Washington Press, 1988.

[12] Glenn R. Laigo, Symmetry Groups of Islamic Patterns at the Sultan Qaboos Grand Mosque

青山不改，绿水长流，在下告退。

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