压轴题研题活动第54场2021年福建省第25题

精彩点评一

认真学习了王语老师以2021年福建省中考数学第25题为例的解题研究，反复聆听，受益匪浅。

本题中涉及的知识点:一次函数和二次函数的图像和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用。需要学生有较强的运算能力、推理能力，需要学生有较强的空间观念与几何直观以及一些函数与方程思想、数形结合思想和转化思想。

第(1)问求a+b的最小值。王老师通过构造二次函数、利用函数图像的特征两种思路，3种方法，从数、形以及数形结合三个角度帮助学生分析解决问题，分析学生由于对于函数概念理解不透彻而无法解决问题；第(2)问含参较多，题干完全通过文字叙述呈现，没有任何图像，甚至连空白的平面直角坐标系也没有，大部分学生看到会无法下手，解决此问的关键是用K来表示AB和BC，从而得到三角形的面积相等。王老师始终站在学生的角度，对题目逐一剖析，7种思路，勾股定理、相似三角形、三角函数、斜率知识、斜边中线定理、"弦图"、共线等思路，依然是从数、形以及数形结合三个角度来分析解决问题，并且王老师还注重讲解思路之间的联系和比较，由易到难，注重启发学生思考，大大拓展了学生的思维，足见王老师深厚的教学功底。

教师研题的最终服务对象是学生。王老师的解题研究，令我印象最深的，是他将此题作了充分的学情研究。立足于学生，他始终站在学生的角度，考虑如何去教学，这也是我们一线教师一直致力追求的事情。在教学反思部分，王老师对学生做的每一问都做了细致的研究，通过对答案的分析、问卷以及谈话等方式，分析学生解决本题存在的问题，足见王老师的用心教学。反思学生的错误，对我们的教学启示，函数是教学难点，学生害怕，害怕的真正原因是什么，正如王老师所说，学生对函数这一抽象概念不理解，我们的教学过程中要让学生多画图，会画图，在画中联想和探索。平时注重对学生数形结合思想的培养，有些会画图的学生，因为平时不注重培养算功，遇到复杂的计算，算不出来，往往也是非常可惜，所以算功很重要，应结合想象与推理，画图与算功双重结合，更好更快地解决问题。为了培养良好的作图习惯，王老师还以教材中多个几何题为例，通过圈点勾画讲解如何引导学生培养良好作图习惯，王老师非常的专业和细致。

感谢王老师的精彩研题，每一次反思都会有成长，王老师做到了以学定教，教学相长。

精彩点评二

认真学习了王语老师对2021年福建省第25题的研题，王老师从解法，教法，学法三个方面由浅入深层层递进，对本题做了深入研究。让我收获颇丰。

此题是一道入手不易，难度不高，内涵深刻的函数综合题。作为函数压轴题，题中并未给出函数图形，作图的能力，数形结合的思想在解决这题的过程中起到了决定性的作用。王老师对每一问的分析都紧密结合图象。第（1）问求最值，王老师在常规的代数法之外，紧密结合函数图象，通过取x=1的特殊情况解决。第（2）问求函数图象的过程中，从两个顺序确定函数的图象，结合函数的特征来最大化减少计算量。最后一问中，王老师从基础的常规解法开始分析，利用代数计算来证明AB=BC，然后过渡到由图象构成分析几何特征，再利用代数法来验证。最后抽象出题目的几何特征，在特殊的直角梯形的框架下，利用几何证明来求证线段相等。七种思路，由代数计算过渡到几何猜想，代数验证，最后到几何证明。层次清晰，足以体现王老师对此题的深入研究。

在精彩的解法解析之后，王老师还结合实际学情来反思教学，对学生的典型解法加以归纳，总结，分析。剖析学生在解题过程遇到的困难背后隐藏的教学工作中存在的不足之处，从函数思想的教学、作图习惯和能力的培养以及计算三个方面入手，以教科书和教参中的具体例子来提出具有建设性的改进思考。从压轴题的解法、教法的研究中反思教学，改进教学。这是我在研题环节中最核心，最重要的收获。

王语老师在制作这次节目的过程中下了非常大的功夫。从最初的选题，到PPT的制作，思路的整理，以及教学反思的提炼，每一个环节都仔细打磨。有时候为了一个环节，一句讲解都是改了又改，整个制作过程时间长。又是恰逢寒假到开学，王老师克服了重重困难，并且在极度艰难的环境下，尽量让学生有一个独立思考的过程，并且对学情进行细致入微的分析。这个过程我们肉眼可见王老师的进步。从最开始的语无伦次到后来的行云流水，从不知道从哪里反思起到最后的滔滔不绝文思泉涌。我想，这才是我们研题的目的，让老师们有反思，有成长。我们所有的教育教学的主体都是学生，只有了解学情，抓住学情特点，反思教学方法才能有效率。学生的能力提高的前提是老师能力的提升，只有老师能力提升了孩子们才能站得更高看得更远。

精彩点评三

认真学习了王语老师对2021年福建中考第25题的研题讲题，深深被王老师对问题的深刻思考所吸引。王老师以此题的三个不同问题的解决为路线，对每个问题都从不同的角度给出了问题解决方案，从数式与图形的互相转化诠释了数形结合的解题思想，从点和线的相互转化中感悟转化思想，在几何图形位置描述和代数关系刻画有机结合中呈现了丰富的解题思路，展现了数学思维的深度和广度，把试题的研究推向深入。

王老师的教学反思立足于学情反馈，通过多方式对学生解题思路的了解，分析了学生的解题困惑，在此基础上形成的三个教学反思，并结合自己的教学给出了解决方案。在函数思想的教学中，应在一些具有相同本质属性的实例中归纳出本质特性，从而真正达到“理解内涵 把握本质“的函数教学要求。第二点，王老师结合本题的解决过程中学生障碍分析，总结出自己对培养学生画图能力的思考和实践，给出了改变学生“作图习惯不好、作图能力不高的”的可操作的教学策略：突出关键部分、重构图形、依题画图等。最终形成让学生“会画图、爱画图”的数学素养。王老师的第三个教学思考注重学生计算思维的培养，从算式的特征观察到计算的整体把握，突出了化简的基本方法和对称算式的处理技巧，对学生计算能力的提升有很好的指导作用。

通过学习王老师的研题，在问题的解决中充分地暴露学生的思维过程，以解题痛点反观教学实际，给出了实实在在的教学策略，对我今后的教学有着重要的指导意义，我会把研题所得融合到平时教学中，不断提升个人教学水平。

个人感言

2021年福建省第25题作为函数与几何压轴题，并未给出图象，看似主要考查计算能力，一次函数与二次函数的图象性质。但是深究之后会发现其几何内涵非常丰富，每一问初看都不易解决，动手画图之后才发现都可以借助于对图象的分析简化计算，充分体现了数形结合思想。特别是第三问，细细研究会发现其构成是特殊的直角梯形与二次函数的精妙融合，并且如此丰富的几何背景下，也可以较为直接地通过合理的代数计算得出结论。构思巧妙，背景丰富，同时难度合理。

在对这题进行探究的过程中，最令我印象深刻的就是作图习惯的对解决问题能力的影响，特别是在调查了实际学情之后这一点更加明显。通过对图形的描绘，可以极大地降低计算量，同时也能更直观地分析出题中的数量关系。而学生往往不会主动地去画图。为什么会出现这样的情况呢？是不是自己在教学过程中，给学生看几何画板画出来的规范图象太多，而自己在黑板上用粉笔直尺演示画图过程太少了呢？是不是自己在新授课环节以外给学生自己画图的时间太少，对学生作图的要求太少，引导太少了呢？

通过本次研题活动，我反思自己的课堂教学，清晰地看到了许多以往觉得自己做得不错，实际上对学生并无太多裨益的教学习惯，也让我对如何精进自己的课堂有了思考与改进的方向！归根结底，研题不仅仅是研究如何解决一道压轴题，更是在研究过程中，通过深度的思考反思在日常教学中的不足之处，进而为更好的教学提供一些有用的思考。

感谢张钦博士提供的宝贵平台，让我有机会与各位专家前辈有深度交流的机会。在提交初稿时，还自我感觉非常良好，觉得这个题自己已经钻研了80%了，后续的研题过程中，越是与优秀的同行及专家们交流，越发觉自己的浅薄无知。在此感谢张钦士、叶先玖老师、黄毅老师、许莎老师在研题中给予的指导，感谢高新金初数学组这个温暖的大家庭给我的帮助，特别是在调查学情环节给我的支持。感谢群内专家抽出宝贵的时间聆听。今后的教研路上我将继续向各位优秀的前辈们学习！

王语老师简介

王语，宜昌市高新区金东方初中数学教师。奋斗在一线教学岗位。热爱钻研，热爱数学，热爱学生。最大的愿望是将数学教成一门有趣的学科，让学生不再害怕数学，而是爱上数学！