拉格朗日中值定理在应用中，往往会遇到重复应用的情况。而且在这种情况下又通常与函数的二阶导数有关。我们来看这样的一道例题：
设f为[a,b]上的二阶可导函数，f(a)=f(b)=0，并存在一点c∈(a,b)，使得f(c)>0，证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使f”(ξ)<0.
分析：判断ξ的二阶导数的符号性质，我们往往需要在已知区间上，再找一个子区间，这个子区间的两个端点，就是一阶导数符合拉格朗日中值定理的两个点。因此又要在已知区间上取一个点，使原区间划分成两个区间。这是一个逆向思维的过程。
按顺序就是，先在a到b的区间上找一个点，这个点通常是任意取的，因此就取题目中所给的c点，这样原区间就被分成两个区间，一个是区间[a,c]，一个是区间[c,b]，然后分别在这两个区间上应用拉格朗日中值定理，找到两个符合拉朗日中值定理的点，记为ξ1和ξ2，那么区间[ξ1,ξ2]就是[a,b]子区间。在这个子区间上再运用一次拉格朗日中值定理，一共应用了三次拉格朗日中值定理，结合题目中其它量的符号性质，就可以得到题目要求的结果了。前提是拉格朗日中值定理的条件都要满足。
由于f在闭区间上二阶可导，所以原函数和一阶导数在这个区间上都连续且可导，因此都符合拉格朗日中值定理。
所以在(a,c)上，可以找到符合拉格朗日中值定理的点ξ1，使得f(c)-f(a)=f’(ξ1)(c-a)。而f(a)=0,所以f(c)-f(a)=f(c)>0，从而f’(ξ1)(c-a)>0..
同理，在(c,b)上，也可以找到一个符合拉格朗日中值定理的点ξ2，使得f(b)-f(c)=f’(ξ2)(b-c)，其中f(b)=0，所以f(b)-f(c)=-f(c)<0，所以f’(ξ2)(b-c)<0。
又c-a>0, b-c>0，所以f’(ξ1)>0，f’(ξ2)<0，从而有f’(ξ2)-f’(ξ1)<0。另一方面，ξ2-ξ1>0，这两个条件是下面要用到的。
再次运用拉格朗日中值定理，可以知道在(ξ1,ξ2)上，存在一个点ξ，使得ξ的导数的导数，即二阶导数等于(f’(ξ2)-f’(ξ1))/(ξ2-ξ1)。由分子分母的符号性质，就可以得到f”(ξ)<0的结论。而(ξ1,ξ2)就包含于(a,b)。以下组织证明过程：
证：由拉格朗日中值定理可知：f(c)=f(c)-f(a)=f’(ξ1)(c-a)>0， ξ1∈(a,c)，
-f(c)=f(b)-f(c)=f’(ξ2)(b-c)<0，ξ2∈(c,b)，
∴f’(ξ1)>0，f’(ξ2)<0，∴f’(ξ2)-f’(ξ1)<0，ξ2-ξ1>0，
再次由拉格朗日中值定理可知：至少存在一点ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使
f”(ξ)=(f’(ξ2)-f’(ξ1))/(ξ2-ξ1)<0.
拉格朗日中值定理的应用，经常会出现这种题型，一定要掌握好哦。
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