相对论数学原理（六）——狭义相对论力学，探索四维时空中的守恒性

我们首先要提到一个物理学中的基本概念， 即 守恒定律。简单地说，这些理论表明，无论孤立物理系统如何变化，它的某些特性都是守恒的。能量守恒和动量守恒是我们会遇到的两个守恒定律。

钟摆是机械能守恒的一个很好的例子。当钟摆的球处于最高点时，它暂时静止，具有最大势能和零动能。当它通过最低点时，它的势能为零，动能为最大。但在钟摆的所有点上，势能和动能的总和是恒定的，也就是说，机械能守恒。

不变性

一个量在狭义相对论中是不变的，如果它在所有惯性系中有相同的值或相同的形式。“相同值”的不变量指的是不变的物理量(我们已经看到了一些)，包括：

• 光在真空中的速度。

• 时空间隔

• 固有时

另一个非常有用的不变物理量是静止质量m，它是物体或粒子在静止坐标系中的质量。从现在起，每当我们提到质量时，指的是静止质量，也被称为不变质量或固有质量。

各种不变物理量之间的关系可以用方程来描述。如果这些方程是不变的（即在所有惯性系中具有“相同的形式”），它们被称为不变形式或协变（令人困惑的是，协变的用法与我们稍后遇到的“协变向量”的用法不同）。我们知道，物理定律在所有惯性系（相对论原理）中必须采取相同的形式这一假设是狭义相对论的假定之一。现在我们来看一些力学的形式不变定律。

四维速度

我们知道一个参数参数方程可用于定义一条曲线在空间如一个球的路径。粒子在普通三维欧几里德空间中的运动路径可以用t(时间)的三个函数来描述，一个是x，一个是y，一个是z。这三个函数x = f(t)， y = f(t)， z = f(t)称为参数方程，并给出一个矢量，其分量代表物体在x，y，z方向上的空间速度（或三维速度）。粒子的空间速度是路径的切线矢量，并且有分量

空间速度不使用洛伦兹变换进行变换。然而，在狭义相对论中有一种速度矢量是形式不变的，它被称为四维速度。

考虑四维时空中沿世界线运动的粒子的速度。正如我们所看到的，一个固定在粒子上的时钟将测量粒子的固有时（我们知道它是不变的），因此使用它作为沿着路径的参数是有意义的。粒子的四维速度是粒子四 位置 相对于固有时的变化率。与三 速度 一样，四维速度是粒子世界线的切线矢量，定义为：

四维速度具有时间分量和空间分量，是一种四维矢量，是狭义相对论中一个重要的形式不变量。稍后我们将更详细地讨论四维向量。

为了确定四维速度分量，回想一下，这个方程

给出了与固有时相关的坐标时间ΔT，稍作等式变换得到：

使用ct作为时间单位，我们把它改写成

对固有时求导得到

可以用链式法则求出的空间分量

其中

是粒子的普通空间速度，速速分量为

粒子的四维速度由下式给出

在狭义相对论中，两个四维向量的标量及用闵可夫斯基度规定义为

它在洛伦兹变换下是不变的。四维速度的标量 积 为

但由于

得到

这显然是一个不变量。

相对论动量

在牛顿力学中，一个粒子的动量等于这个粒子的质量m乘以它的普通空间速度v：

空间速度有分量

如果牛顿系统（速度远小于光速）没有外力作用，动量是守恒的。在狭义相对论中，速度在不同的惯性系之间以复杂的方式变换，因此我们不能使用牛顿动量守恒定律。相反，我们需要引入相对论动量的概念。为了做到这一点，我们用固 有时 代替坐标时间t，并定义相对论动量p为

因为我们已经知道

我们可以把p用坐标时间表示 为

它会通过洛伦兹变换在不同的惯性系之间变换。重要的是，这意味着和牛顿动量不同，相对论动量在所有惯性系中都是守恒的。

相对论 动能

粒子的动能是它由于运动而拥有的能量。在牛顿力学中，质点m以速度v运动的动能定义为使质点从静止加速到速度v所做的功。做的功W等于力F乘以力作用的距离，也就是

牛顿第二定律将力与质量和加速度联系起来F=ma。所以我们可以说所做的功是为

加速度是速度相对于时间的变化率，我们可以把它代入上面的方程来得到

用链式法则可以写成

v_1是粒子在距离s_1处的速度。v_0是粒子距离s_0处的速度。因此积分得到

因为我们把动能定义为使粒子从静止加速到最终速度v所做的功，而v_0=0并且动能为

因为牛顿动量p = mv，我们可以重写 一下 功的计算公式

其中p_0和p_1分别是粒子的初始动量（= 0）和最终动量（=mv_1）。这给了我们一种方法来找到 相对论 动能。这给了我们一种找到相对论动能的方法，即用相对论动量代替牛顿动量

我们可以先用分部积分法求这个积分

然后，我们需要在第二项上使用代换积分法。首先，提出常数m

让

把s替换为

得到：

这意味着我们现在可以 写出

然后，右边项的顶部和底部乘以

让所有的东西都有一个公分母

让v_1=v，我们知道粒子从静止开始加速，因此，我们最终得到了质量为m的粒子以速度v运动的相对论动能的方程：

γ是洛伦兹因子。这看起来和 牛顿 动能方程很不一样。然而，使用泰勒定理可以展开洛伦兹因子

因此

在牛顿系统中v＜＜c，因此忽略平方和更高次项，得到

所以在低速时，相对论动能近似于 牛顿 动能。

总相对论能量

如果我们重新排列相对论动能的方程，可以写出

现在我们有了一个方程，它给出了一个粒子在惯性系中的总相对论能量E。总相对论能量由粒子的相对论动能加上第二项mc^2组成（粒子的质能）。它可以在理论上被证明，并且已经在实验上被证实，在没有外力作用的情况下，总的相对论能量在所有惯性系中是守恒的，无论质量或动能是守恒的。在高速粒子碰撞中，例如，质量，动能，甚至粒子的总数可能不守恒，但系统的总相对论能量会守恒。

若粒子静止，则洛伦兹因子减小为1，并且

这是爱因斯坦著名的质能方程，该方程表明，质量和能量在某种意义上是相等的，即使在静止状态下，粒子仍然会因为其质量而拥有能量。显然，c^2是一个很大的数，所以少量的质量产生大量的能量。

四维动量

如果我们把四维速度乘以一个粒子的静止质量m，就得到另一个四维矢量，叫作四维动量：

回想一下四维速度的定义

然后乘以m就得到

而E=γmc^2是相对论总能量，并且p=mγv是相对论动量的方程。我们可以看到mcγ是总相对论能量除以光速，因此四维动量可以重写为

四动量提供了一个粒子的相对论总能量（它的时间分量）和相对论动量（它的空间分量）的完整描述。Schutz]总结了这一点，他说粒子的四动量是一个矢量，在某个坐标系中的分量给出了粒子相对于那个坐标系的能量和动量。正如我们以后会看到的，所有重要的能量-动量张量，即爱因斯坦场方程的右边和时空曲率的来源，实际上是四维动量单位面积上的流速的度量。

四维力

牛顿第二运动定律说，作用在物体上的力等于物体动量的变化率

我们可以把它推广到狭义相对论，定义四维力为四维动量的变化率

它展示了自由粒子如何在弯曲时空中运动。

能量动量关系

四维速度的标量积为：

而四维动量为

因此

但是四维动量的标量积

也可以从

求得，为

把这两个四维动量标量积的表达式结合起来，我们得到

整理得

对于静止的质点（即动量为零的质点），这等于

正如我们之前看到的，当我们看相对论总能量时，就是著名的质能方程。光（和其他电磁辐射）可以被认为是一束光子，一种基本粒子。一个“静止质量”为零的光子，确实有能量和动量。如果我们让m = 0进来，得到

它描述了光子的能量动量关系。