明明是定理，却被称之为悖论——斯梅尔的反常悖论

当我们遇到一些违反常识又的确发生的事件时，我们会说什么来表达自己的惊讶之情呢？晓然菌：“，这也行？”事实上，在数学上反直觉的事情还是很少的。绝大部分数学理论的由来，都是先发现某个现象，然后从理论上证明出这样存在的合理性。就好比哥德巴赫猜想一样，虽然几百年都不能完全证明，但是这玩意看起来就像是对的，如果最后被完全证明，我们的反应应该是，今天终于能完成了！但如果后面有位大神突然之间发现了一个反例，你想想在数学界会掀起什么样子的波澜！

先来

我擦

我擦，这也行？

今天也说个比较违反常识的数学理论，虽然已经被完全证明了，但是有些人还是愿意把这个违背常识的现象称之为悖论。

话说在1930年的美国密歇根州弗林特市，有个叫斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）的小朋友出生，这位小朋友心智健全，资质平平，18岁就考上州立大学。老实说，在上大学本科这几年，斯梅尔其实也没啥特别突出的地方，跟普通人无异，事实上我怀疑，如果斯梅尔后来不读研究生，那么斯梅尔后面可能会从事跟数学完全无关的工作。

密歇根大学

不过好在1957年，斯梅尔硬着头皮读到了博士，并且跟了一位相当厉害的老师，在这位老师拉乌尔·博特（Raoul Bott）的教导下，斯梅尔厚积薄发，逐渐开始成长为一位出色的数学研究者。

1958年，小伙子斯梅尔拿着一篇论文去给领导博特看，斯梅尔声称他证明了在不撕裂球面，不折起球面的情况下，可以使一个球面内部完全外翻到外面来，且不破坏球面的任何一个部位！导师博特在看到这篇论文的最终目的时，他的反应就跟在座的你我一样，这怎么可能？在不破坏球面的情况下，将球的内部完全到外表面。

外翻

当年意气勃发的斯梅尔

斯梅尔强调，这个球表面在处理的时候，不能撕裂，不能折叠，但是球面可以与自身相交。听到这个条件之后，博特开始仔细查看论文研究中的方法，最后他得出了一个无可辩驳的事实。这个震惊世界的理论是对的，斯梅尔是对的，直到现在博特才发现，斯梅尔同志本科时期那些种种庸碌无为的表现其实都是在积累自己，等到某个时刻集中力量爆发，而现在就正是这个时候。

不破坏球面的情况下外翻球面可能吗？

斯梅尔的研究其实在当时有着浓厚的学术背景的，20世纪前50年，正是拓扑学这一数学分支的黄金发展时代。你能想象，美国政府在拨给数学研究界的经费有一半都投给了拓扑学分支吗？数学发展到现在的水平，分支学科，没有一百多也有好个吧。对于拓扑学也太厚爱了吧，也正因为如此，在那几十年，诞生了相当多数量的拓扑学大师，比如庞加莱，陈省身，还有胡列维茨等等。

导师 拉乌尔·博特

斯梅尔发表这篇内球外翻的论文也是斯梅尔开始成为上面那些拓扑大师的开始。

拓扑学家眼里甜甜圈和咖啡杯是一样的

我们来看看这个内球外翻有哪些要求：

首先，你不能把球面撕裂，不能折叠，但是你在变换的过程中是可以使得球面与自身相交的，且相交之后可以互为内外表面。

我们感觉觉得斯梅尔的这个结论是悖论的前提是，前面两个前提太上头了，没有人会觉得这是可以成功的，事实上，假若斯梅尔的内球外翻就只有前两个前提，那确实是不可能的。但是往往我们也忽略了第三个前提，球面可以与自身相交。这个就比较抽象了，什么叫球面可以与自己相交？事实上，这个操作在现实不可能的，哪怕你就用两张纸来做模拟，也就只能贴合在一起而已。但是这个操作在数学上却轻而易举，想想高中时代学的立体几何，两个面相交这不是常规前提嘛。

里

实际上我们很难用实物去表示面与面相交

现在前提我们都了解了，那具体要怎么做才能实现所谓的内球外翻呢？一点上，斯梅尔的论文只是给出了这种方法的存在性，论文中却并没有给出一个具体的方法。大家可千万不要觉得存在性的证明不重要，基本上存在性的问题一旦确定下来，下面再去找最终的答案就有了完全的方向了，存在性的证明就相当于是从0到1，而具体答案的破解则是1到2,2到无穷大了。万事开头难。

2008年 斯梅尔

事实上，这样的方法不但存在，还不止一种！不过鉴于需要极致的空间想象能力，下面的动图是一个普通的解法，如果想象不到，我在文章底下会贴出一个出自明尼苏达大学几何中心制作的关于内丘外翻答案的视频地址，这也是目前我认为做得最好的讲解视频。

斯梅尔内球外翻的一个解

内球外翻的理论也成为了斯梅尔同志职业生涯的代表作，这还远未到达巅峰。3年之后，斯梅尔同志发布了5及5维以上庞加莱猜想成立的论文，也正是这个再次震惊世界的成果让斯梅尔同志获得了1966年的菲尔兹奖。值得一提的是，斯梅尔的这篇关于庞加莱猜想的证明成果，也是关于庞加莱猜想证明过程中第一个重大具有里程碑式意义的事件。

20世纪的拓扑学基本上哪儿都有我 庞加莱

有不太熟悉拓扑学的同学会问，庞加莱猜想是什么，有这么重要吗？晓然菌就这么说吧，庞加莱猜想在拓扑学中的地位就相当于微积分在数学分析学中。菲尔兹奖评奖委员会单单在庞加莱猜想的证明过程上就给了3次奖，他们分别是，1966年的斯梅尔证明了5维及5维以上的庞加莱猜想成立，1982年的美国数学家麦克·弗里德曼证明了4维猜想，以及2006年的俄罗斯人佩雷尔曼大神的最终证明。

菲尔兹奖数量的多少就能看出庞加莱猜想多重要

明明这是一个无可辩驳的事实，却被人们还是称之为斯梅尔悖论，说起来还真有点委屈。不过前面有个眼睁睁的例子，费马大定理在没被证明之前，就被称之为大定理。也许，人们总是会给他们最感兴趣的问题起一个最特别的名字吧。