用最简单的方式解释黎曼猜想（三），黎曼ζ函数的解析延拓与零点

我们已经开始接近黎曼猜想，回顾一下前两篇的内容：

我们已经知道，如果s是某个大于1的数，那么zeta函数如下：

或者用求和符号表示：

我已经展示了，通过应用一个过程（非常像埃拉托色尼的筛选法），它是如何等价于：

整理得：

因此有：

• 欧拉乘积公式

到目前为止，一切都很顺利。但什么是非平凡零点？函数的零点是什么？zeta函数的零点是什么？它们什么时候是“非平凡”的？我们继续！

先忘记黎曼zeta函数，考虑下面的函数：

这个函数收敛吗？为了对这个函数有个直观的感受，我们先看一个例子。

拿一个标有四分之一、八分之一、十六分之一……的普通尺子。用铅笔尖指着尺子上的第一个标记，零。把铅笔向右移1（单位）。铅笔尖在“1”的标记上，总共移动了1个单位，如下图1：

• 图1

现在，把笔尖向右移动0.5个单位，如图2：

• 图2

继续把笔尖向右移动1/4，1/8，1/16，1/32，1/64。现在，你的笔尖在图3的位置：

• 图3

笔尖移动的距离是：

容易算出的结果是：

显然，如果能像这样继续下去，每次减半距离，会越来越接近2，但永远也到不了2（可以无限接近）。我们可以把这个事实表示成：

假设笔尖先向右移动一个单位，再向左移动0.5个单位，再向右移动1/4个单位，再向左移动1/8个单位……，如图4：

• 图4

因为从数学的角度来看向左移动等于向右 负 移动，这就等于：

结果是43/64。如果继续加、减无穷项，就会得到：

如果是1/3呢？

如果你自己动手去移动，不难发现，移动总距离不超过3/2，也就是：

同理可以知道：

回到函数S（x），计算S（x）函数值如下：

画出函数图如下：

在-1的左边和1的右边，函数没有值，也就是这个函数的定义域是[-1,1]。

但我可以换个方式表达函数，如下：

看出什么了吗？右边括号里的内容不就是S（x）吗？也就是说：

把最右边的一项移到等号左边：

也就是：

因此：

也就是：

对吗？某种程度上 是 。因为它们的 定义域 不同。1/（1-x）函数图如下：

上面的例子说明的是，无穷级数可能只定义了函数的一部分，函数的其余部分可能隐藏在某个地方，等待着被某些技巧发现（解析延拓），就像我用S(x)做的那样。

这就引出了一个问题：黎曼zeta函数也是这样的吗？有没有可能zeta函数：

比（1，∞）更大？

是的，zeta函数的自变量可以小于1。事实上，像1 / (1 - x)一样，除了x = 1之外，它在每个数字上都有一个值。

了解一个函数需要时间、耐心和仔细的研究。我可以画出zeta函数的函数图：

• 当s＜1时，zeta函数的函数图。

当s小于1时，我如何得到ζ (s)的这些值 的 呢？前面我们已经讨论过，,s是要大于1，zeta函数 才有 值。如果我要计算ζ（-7.5），我该如何开始？

这个我不能完全解释，因为它需要太多的微积分。不过，我可以给出大致的思路。首先，让我定义一个新函数，即eta（η）函数：

不是不断地增加数字，而是交替地增加，然后减少，所以每一个数都会在一定程度上抵消前一个数的影响。数学家可以证明，这个新的无穷级数在s大于0时收敛。这是对zeta函数的一个很大改进，zeta函数只在s大于1时收敛。

这对我们了解zeta函数有什么用呢？首先注意代数的基本事实：A − B + C − D + E − F + G − H + …等于（A + B + C + D + E + F + G + H + …）减去2 × （B + D + F + H + …）。

所以我可以重写η(s)：

减去

第一个括号当然就是ζ (s)，我可以提出1/（2^s），得到：

或者，反过来写，最后整理一下：

这意味着，如果我们计算出η(s)，那么我就能得到ζ (s)的值。由于我能算出η(s)的值在0和1之间，我也能得出ζ (s)的值也在那个区间上，尽管事实上原始的ζ (s)在这个区间不 收敛 。

假设s为1/2。η(s)的前100项之和为0.555023639…；前1000项之和为0.599898768….。事实上η （1/2）的值为0.604898643421630370。有了这些，我可以计算ζ（1/2）的值了，得到−1.460354508…，这看起来很正确。

但是，当s为1/2时，我如何处理这两个无穷级数，毕竟它们有一个收敛，有一个发散。严格地说，我不能，而且我在这里的数学运算上有点跑偏了。但是我得到了正确的结果，在区间（0,1）上，可以用这个方法计算出任何ζ (s)的值。

现在，除了在s=1处，我们已经可以把ζ (s)的定义域扩大到大于0的区间上。但是小于等于0的情况呢？问题开始变得复杂了。黎曼1859年论文中的一个结果证明了一个由欧拉在1749年首次提出的公式，用ζ (1 − s)代替ζ (s)。例如，如果你想知道ζ (−15)的结果，你可以计算ζ (16)，然后带回到公式中，这是一个很复杂的公式：

黎曼能想到这一点，确实惊为天人，很多专业数学家都非常惊讶！

这个公式中涉及到了阶乘，学过高等数学的或许知道，有一种方法可以定义除负整数之外的所有数的阶乘函数，我不在这里讨论。下图是-4到4的阶乘函数图：

如果你觉得有点上头，只要相信有一种方法可以得到任何数字s的ζ (s)的值，除了s = 1这个唯一的例外。

我想说的是“1 / 2”在ζ(1−s)和ζ (s)之间的关系中具有特殊的地位！

因为如果x=1/2，那么1-s=s。很明显，从上面的图像看，zeta函数不是关于s=1/2对称的；但1/2左边的函数值与1/2右边的镜像值以一种紧密而复杂的方式联系在一起。

回头观察一下s＜1时的函数图，会发现zeta函数在负偶数处的值都为0。

如果一个函数在某些值处的函数值为0，这些值就是该函数的零点。

因此，−2，−4，−6，…和所有其他负偶数都是zeta函数的零点。

这里回顾一下黎曼猜想的陈述：

黎曼zeta函数的所有“非平凡零点”的实部都是1/2。

这里面包含了“非平凡零点”，我们已经越来越接近了！负偶数确实是zeta函数的零点，但是它们不是“非平凡零点”，而是“ 平凡 零点”。对于非平凡的零，我们还需要深入研究