函数y=1/(x+1)的主要性质与图像
主要内容:
本题主要介绍函数y=1/(x+1)的定义域、值域、单调性、凸凹性、极限等性质,并通过函数导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间。
函数的定义域:
该函数y=1/(x+1)为分式函数,要求分母不为0,
因为x+1≠0,则x≠-1,故函数的定义域为:
(-∞,-1),(-1,+∞)。
函数的单调性:
因为函数为分式函数,分子为常数,所以函数的单调性与分母函数的单调性相反。
对于分母函数g(x)=x+1,为一次函数,且为增函数。
所以函数y=1/(x+1)为减函数。
导数单调性:
因为y=1/(x+1),对x求导,所以有:
dy/dx=-1/(x+1)^2,可知dy/dx<0,
即函数y为单调减函数。
从复合函数性质来看,y=1/(x+1)为复合反比例函数,由反比例函数y=1/x平移变形得到。
函数的凸凹性:
由dy/dx=-1/(x+1)^2得:
dy/dx=-1 (x+1)^(-2),再次对x求导,有:
d^2y/dx^2=-(-2)(x+1)^(-3)*1=(x+1)^(-3),
则d^2y/dx^2=1/(x+1)^3,
该二次导数的间断点为x=-1,即:
(1)当x∈(-∞,-1)时,d^2y/dx^2<0,则函数y为凸函数。
(2当x∈(-1,+∞)时,d^2y/dx^2>0则函数y为凹函数。
函数的极限:
lim(x→-∞) 1/(x+1)=0;
lim(x+→-1) 1/(x+1)=+∞;
lim(x-→-1) 1/(x+1)=-∞;
lim(x→+∞) 1/(x+1)=0。
函数的五点图
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函数的示意图:
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