压轴题研题活动第46场2021年深圳第22题

精彩点评一

今晚认真学习了颜德才老师对2021年广东深圳中考22题的解题研究，让我受益匪浅。此题是几何综合题目，核心思想是找相似三角形求出相似比，此题从特殊到一般，利用对比观察思想。
题干中正方形、等腰直角三角形是常见的几何模型，求和为定值。第一问为填空题目，学生通过观察图形进行猜测，较为容易得到答案，但如果让他们说出原因写出过程，学生很难从复杂的图形中找到基本图形解决问题。颜老师在讲述的过程中预设思路，边角等量关系、中位线、三角形相似、特殊锐角进行分析。线段比例关系，得到两个三角形两边成比例，通过平行同位角相等+导角得到两边的夹角相等，两个三角形相似。从而验证猜想。考察相似三角形的判定与性质，能够准确地从复杂图形中找到基本图形是解题的关键。颜老师第一问（1）问分析很透彻，打开解题思路，在第（2）问中运用此方法迁移使得问题简单化。经过第一问深入分析，考察学生的观察能力、逻辑推理能力、和探究意识。颜老师进一步深挖此题，旋转构造正方形、旋转构建等腰三角形，从而利用手拉手模型解决问题，在解题过程中四边形内角和、周角导出角相等，对基础薄弱的学生而言逻辑思维较强，困难较大。但听了颜老师精彩讲解，让我打开思路，让我收获颇多。颜老师巧妙建系、大胆设参，让题目再上新的高度，颜老师归纳整理的解法非常精彩。作为老师让我深深的感受到当你给学生“一碗水”自己要有“一桶水”才能满足不同层次学生的需求。
从来没有无缘无故的第一问，第（1）问进行了透彻的分析，在第（2）问中进行对比观察，从正方形到两个大三角形全等，从特殊的图形转化为一般的图形，顺理成章的沿用上一问的思想方法，发现问题模型、类比探究可呈现出明确的结构。颜老师在第二问中构建直角三角形、用常规思路解决问题。通过相似推出用不同角作辅助线，灵活运用函数，做到一题多变、多解归一。颜老师在完成第（2）问后进一步延伸拓展，改变三角形的形状、改变正方形的结构、改变的范围，万变不离其宗，本题的核心就是找到相似图形，通过相似求出相似比。颜老师不仅讲了一个题目，更是讲了一类题型。
本题从学生熟悉的基础模型入手，连对角线的中点，构造三角形的中位线，这个学生熟悉的模型。以基本知识和基本技能为主，符合学生的思维发展结构和教学的一般规律。在第（2）问中进行第（1）问思维方法的顺延，颜老师讲解过程中感受知识与技能具有连贯性、设计上具有科学性。本题通过引导自主观察，让我感受到颜老师在设计题目上具有创造性。
最后感谢颜老师精心准备、精彩的讲解让我收获很多。感谢张博士提供这么好的平台，让我们听到这么多优秀教师的讲解。今后我要更加努力学习。

精彩点评二

2021年深圳第22题，问题（1）的设计，符合学生的思维习惯，遵循建模教学一般规律，以基本知识和基本技能为主。问题（2）顺延问题（1）思维方法，引导学生“探究”，突出类比这一分析解决几何问题的方法。
教育是一种持续的追寻。数学教学，从根本使命及意义上来说，是以数学文化育人，达到立德树人。解题，是数学学习的一项重要活动，她可以锤炼学生的思维能力，达成今后发展应有的分析与解决问题的关键能力，并通过解题活动学会欣赏数学的美，磨炼个人品格，形成冷静、理性、坚毅、不畏挫折和困难等品质，独立并成功的解题，能有效提升学生自信心。遵循教学规律去强基，遵循发展原则去拓展，方可提升学生学习数学的自信心。因为，数学自信，源于对数学基础知识的自信，源于数学思想方法的内悟。数学本质上是人类的一种语言和可持续生长的文化，数学知识与思维是数学文化的灵魂所在，强根固基与独立思考可让数学文化得以传承和创新。颜老师凭着深厚的研题功底，捕捉到图中四个等腰直角三角形，由H为CE中点引导学生展开联想，或相似入手：或巧妙建系、全等转化，并借助中点公式：或迁移梯形中位线，转化线段，两次全等，多种方法解决了第(1)问，并揭示出图形结构，本质上为“手拉手”，从特殊到一般，这为第(2)问进行了方法上的预设和引路，特别是求FH：HD，或着眼于三角函数，或借助于△DOA∽△DHF去上手，无论哪一种解法，本质上是转化，或发现已知SAS条件下解△HDF，从而使多种解法归一，并指向于后续余弦定理的学习，助推学生思维发展，和对数学文化的自觉追寻。
研题可以使追寻提质增效。在与学生共同对数学知识的再发现式的传承中，关注思维活动及过程，以能力提升为要，以思维训练为教学之重，是数学育人的核心所在。因此，数学课堂，结合当前宜昌市教科院和各县市区进行的中小学生作业设计，感悟到：解题并非是一味只看重学生做对了多少道题，或者学生对一道题有几种解法，重要的是看学生做的每一道题时付出了怎样的思考量，每一种解法是怎样想到的，他们有怎样的思考真相，经历了哪些思维波折，这应当是解题教学重点关注和备课所在。
波利亚指出：教师讲了什么并非不重要，但更重要千百倍的是学生想了些什么。颜老师在讲题呈现中，以基础知识和基本方法运用为抓手，以发展学生思维能力为核心，以培养学生思考习惯为主线，注重条件分析与挖掘；注重基于旋转变换去引导学生发现基本图形获得思路；注重逆向思维、反证思维等思维方法的培养；注重鼓励学生进行试错，注重在类比中发现各种解法；注重思考“双减”下典题透讲及作业设计的相关思考等，他的这些做法是值得我们借鉴的。
类比中唤醒知识，唤醒中激活思维，是研究几何问题的最基本手法。解决几何题，要传递给学生的分析思路是，从条件、结论、图形结构联想，从特殊与一般入手。这在颜老师的讲题呈现中无处不在。特别是颜老师改变三角形形状与点线位置，改变四边形ABCD结构，改变∠BDA的范围等，认识本质，化归模型，由“手拉手”出发到“手拉手”结束，直击本源，深层探究，变式为CH/DF为定值，或给定K=√6一√2，∠BDA=45度时，探究∠DHF，∠DFH值为定值，充分践行了学生的思路应该在学生自己的头脑中产生的理念，这启示数学课堂教学，教师要力求想知道学生到底想了些什么上一定有办法可为，而且一定能想到措施；在启发学生怎样去想多备课；在引导他们是怎样获得解题思路的，以及思维过程是怎样的，是如何想到的，为什么要这样去想多研究；在还有哪些领悟和反思上多停留。这样坚持与反复，学生会渐渐会思考，会热爱上数学，从而品悟到数学文化的真善美。
人生如题，布满荆棘；研题有道，充满诗意。解题，其实是一种探索，或由己知到未知，或由结论到已知，修路筑桥，总有一个回答给那目标。然而，解题探索的艰辛，本身就是一种心灵修养，自然是一种成长。只要目标在，坚持不懈，暂坐或迂回，反复和坚持，坦然面对挫折与磨砺，总会找到一条通向成功彼岸的路，会愉悦地接受成长中无法预估的那一个个挑战，享受数学及思想方法的力量的无限魅力，这就是数学学科、数学文化的育人追寻。

精彩点评三

听了颜老师本期讲题，我受益匪浅，以下是我的学习心得：
1、数学活动经验贯穿始终
数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标。怎样在讲题中积累数学活动经验？颜老师为我们做了很好的示范。2021年深圳第22题将全等三角形、相似三角形、勾股定理，三角函数等初中阶段基本的几何知识贯穿到一起，并充分融入几何图形的变换——旋转，考查学生对基本知识、基本图形掌握情况的同时，还尤其注重考查学生学习几何图形的数学活动经验，即观察、猜想、验证。颜老师的研题极具层次性，层层剥开“手拉手模型”的真面目，在讲解最深处，颜老师摆脱原题的束缚，将原题中的锐角三角形转化为钝角三角形，发现∆DOH~∆DFA；将原题中的平行四边形变为筝形,发现不能证明∆DOH~∆DFA；将原题中的\theta的范围变为钝角，仍然能构造直角三角形解答第（2）②的解答。颜老师的研题视角和研题方向完美补充了本题所考察的数学活动经验（观察、猜想、验证），即归纳，形成数学活动经验的闭环，尤其值得我学习。
2、关注教法学法指导
颜老师的讲题解惑解疑，有时候我在碰到一道精彩的几何题时，恨不得将所有的方法全部讲给学生，但是一节课下来学生收获却并不理想。颜老师提出：“在进行解题教学时，通常教师会通过一题多解帮助学生培养解决问题的能力，培养学生从不同角度分析问题的能力，但并非方法越多越好，部分方法也许是不符合学生的发展规律的，可能会有拔苗助长或扰乱学生思维发展规律的作用的。因此教师在进行相关设计时，要把握好设计的目的，明确需要培养学生的能力维度，注重通性通法的讲解和培养。”
颜老师对九下课本第57页的习题改编，让我明白优秀的作业设计一定来源于对教材习题对教师用书习题深入的研究。他说：“通过改编，让学生自主发现手拉手模型的基本特点，并理解手拉手模型的本质就是旋转.教师也可以在进行设计时，不给出变换后的图形，而让学生尺规作图，对学生能力和素养的培养以及对图形的理解是有很大帮助的”.颜老师的讲题中不止一次说，学生规范的作图对学生的几何直观的理解有很大的帮助，也可见颜老师在学法指导时，尤其注重指导学生画图，并且放手让学生去实践、操作。
雅斯贝尔斯说：“教育就是一棵树摇动一棵树，一朵云推动一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂”，我说：研题、听题也是一棵树摇动一棵树，一朵云推动一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂。”今后的教学路上我定会在各位专家前辈的指导下奋力前行，因为只有这样，才能惠及更多的学生！

个人感言

感谢张博士和宜昌市初中数学学科工作室为我们提供了如此好的交流和学习的平台，也特别感谢叶先玖老师和黄毅老师以及我县、我校的优质老师为我提供的帮助。本题是一道几何综合题，考察的也是基本模型，但此题也是一道创新题，初识此题，让我很是疑惑，尤其是问题（2），文字叙述很少，但信息点却很多，需要对问题（1）理解透彻后结合图形发现平行四边形，在解题时，对于问题（1）相对想法较多，但到问题（2）的解法探究上，却没有更多的头绪，似乎只有一条路行得通，但当我回过头来看问题（1）中利用旋转相似模型（亦或者半角模型）进行解题的解法时，突然想到问题（2）似乎也可以这样，延长DH至点G，使DH=HG，连接BG、GE、GF，可以得出三角形ADF相似于三角形FEG相似于三角形BDG相似于三角形ODH，只是此种解法较为复杂，因此没有进行展示，但不妨碍可以进行探究，事实上就是研究手拉手模型的研究过程的再现。

在与我校老师及叶老师的沟通中发现，对于∠BDA的处理也可以直接利用余弦定理，在SAS条件下，三角形是确定的，确定即可求，但余弦定理只在1979年出版的人教版初中数学通用教材中出现过，此后的教材中已删除这部分内容，因此也没有进行展示，只是这些方法作为教师却是应该具备和掌握的。

在与黄老师的沟通中，黄老师对于反思部分尤其是作业设计方面给了我很大的帮助，让我更加明确了优化作业设计要从教材出发，关注学生有效完成时间，通过作业的反馈去优化日常教学。

“双减”是一种要求和束缚，但也是一种挑战，在“双减”下进行研题，对于教师视野的开阔其实是有很大帮助的，可以让教师看到新中考政策下命题的多样性和开拓性，也能让我们思考教学过程中更多的创新性以及对教材、教参、课标的更深层次理解，研题的广度也会随之变化。也正是因为“双减”才让我对2021深圳22题有了更多的认识和探讨。

最后再次感谢张博士和各位专家的帮助和点评，今后我还会一如既往的把研题坚持下去，提高自身的教育教学水平。

颜德才老师简介

颜德才，男，秭归县新秀教师，曾获秭归县线上教学能手、秭归县优秀教师、秭归县数学优质课竞赛一等奖等荣誉，秭归县磨坪中学数学教学骨干，座右铭：“一成不变终将毁灭”。