(a+b)的n次方的展开式是啥样子？是怎么来的？非常重要的数学知识

(a+b)的n次方的展开式是：C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+…+C(n,n-1)ab^(n-1)+C(n,n)a^0b^n. 当然你也可以把它写成C(n,0)b^na^0+C(n,1)b^(n-1)a+C(n,2)b^(n-2)a^2+…+C(n,n-1)ba^(n-1)+C(n,n)b^0a^n.

其中C(n,m)是一个组合数，即从n中取m个数，有几种组合方式，它的公式是C(n,m)=n!/[m!(m-n)!]. 举个例子，(a+b)^3=C(3,0)a^3b^0+C(3,1)a^2b+C(3,2)ab^2+C(3,3)a^0b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. 需要注意的是C(n,m)=C(n,n-m)，所以这个展开式中的系数是对称的。

这个展开式称为牛顿二项展开式，这是伟大的科学家牛顿推导出来的，并且他还把指数推广到有理数的范围。学生阶段基本上只用到正整数指数部分的公式，也就是这篇文章主要讲的这个公式。有理数指数的牛顿二项展开式可以称为广义二项展开式，而整数指数展开式则称为狭义二项展开式。

想一想300多年前的人，数学理论并不如现在这么齐全，而牛顿就能推导出来我们现在绝大部分人还无法推导出来的公式，可见像牛顿这样的科学家有多么伟大，简直就是神一样的存在。下面老黄分享一下狭义二项展开式，运用现代数学的方法，是怎么推导出来的。

这里运用的是数学归纳法的思想，先证明当n=1时的特殊情况，很明显的(a+b)^1=a+b=C(1,0)a^1b^0+C(1,1)a^0b^1，符合二项展开式的形式。为了下面推导的方便，写成求和符号的形式，即等于∑(k=0,1)C(1,k)a^(1-k)b^k.

接下来就可以假设当n=m时，二项展开式成立，即(a+b)^m=∑(k=0,m)C(m,k)a^(m-k)b^k. 然后求(a+b)^(m+1)=a(a+b)^m+b(a+b)^m=a∑(k=0,m)C(m,k)a^(m-k)b^k+b∑(k=0,m)C(m,k)a^(m-k)b^k=∑(k=0,m)C(m,k)a^(m-k+1)b^k+∑(k=0,m)C(m,k)a^(m-k)b^k+1=a^(m+1)+∑(k=1,m)C(m,k)a^(m-k)b^k+∑(k=1,m)C(m,k)a^(m-k)b^k+b^(m+1)=a^(m+1)+∑(k=1,m)C(m,k)a^(m+1-k)b^k+∑(k=1,m)C(m,k-1)a^(m+1-k)b^k+b^(m+1)=∑(k=0,m+1)C(m+1,k)a^(m+1-k))b^k，也符合二项展开式的形式。

由数学归纳法的思想，就可以知道狭义牛顿二项展开式(a+b)^n=∑(k=0,n)C(n,k)a^(n-k)b^k. 牛顿二项展开式在数学学习中的应用非常广泛，是一定要掌握的知识。