1984年高考数学真题，难度大，正确率不到5％，你会做吗

说起高考最难的数学试卷，1984年的高考总是会被很多人提起，甚至不少人认为这一年高考数学卷的难度超过2003年，算得上高考史上最难的数学试卷。那么，本文就和大家分享一道1984年高考理科数学的真题。这道真题的难度非常大，放在现在，正确率也不到5％，那么我们一起来看一下这道题。

这道题目考查的知识点比较综合，有正余弦定理、三角恒等变换、圆的方程、求最值等等。在用正余弦定理解三角形时，“边角互化”是最基本的方法。

解法一：

比如本题中，已知cosA:cosB=b:a=4:3，那么由正弦定理就可以得到b:a=sinB:sinA，即可以得到cosA:cosB=sinB:sinA，即sinAcosA=sinBcosB。由二倍角就可以得到：sin2A=sin2B，从而得到A=B(因为a≠b，故舍去)或者A+B=π/2。所以三角形ABC就是直角三角形。

然后根据a、b的关系及勾股定理，即可求出三角形的三边，从而可以根据等面积法求出三角形内切圆的半径。即(a+b+c)r/2=ab/2，得到r=2。

到这一步后，如果用几何法表示内切圆圆心到顶点的距离会很困难，所以可以考虑建系，用坐标法求解。因为三角形ABC为直角三角形，本题要建系还是不难，可以C为原点，CA所在直线为x轴，C到A为正方向，以CB所在直线为y轴，C到B为正方向建立直角坐标系。这样很容易就可以得到内切圆的方程，从而设出点P的坐标，再用两点间距离公式表示出P到顶点的距离，化简后就变成了关于x的一次函数，再根据x的取值范围求出最大值和最小值即可。

解法一中判断三角形形状用的是边化角的方法，当然我们也可以用角化边求解。即用余弦定理表示出cosA、cosB，再代入题干的关系式中，经过化简就可以得到a^2+b^2=c^2，从而得到三角形ABC为直角三角形。

角化边和边化角各有优势。一般来说，边化角计算量更小，但是要求对三角函数掌握得很好，否则容易出错，而角化边的计算量更大，但是计算过程是数字运算，这对不少同学来说难度要小于三角函数的计算。

解法二：

按照解法一求出三角形ABC为直角三角形及内切圆半径为2，那么接下来可以用圆的参数方程进行求解。

建立与解法一一样的直角坐标系，那么内切圆的参数方程就可以设为x=2+2cosα，y=2+2sinα，这样就可以用参数表示出点P的坐标。然后再用两点间距离公式进行计算，从而得到关于参数α的一个函数关系式，然后求出最大值和最小值即可。

这道题的难度确实比较大，考查的知识也非常综合，如果是你，你能做出来吗？